河南省商丘市第一高级中学2021-2022高一数学下学期期末考试试题 文
河南省商丘市第一高级中学2021-2022高一数学下学期期末考试试
题 文
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．平均数是3 B ．方差是2 C ．极差是4 D ．中位数是4
2. =?585sin ( ) A ．
21 B ．2
1
- C ．22 D ．22-
3.已知向量)1,2(),,1(-==m m .若⊥，则=m （ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．2
4.在}5,3,1{和}4,2{两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是（ ） A ．
21 B ．31 C ．41 D ．6
1 5. 已知直线m l ,和平面βα,，且α⊥l ，β//m ，下列说法正确的是（ ） A ．若βα⊥，则m l ⊥ B ．若βα⊥，则m l // C ．若m l ⊥，则βα// D ．若m l //，则βα⊥
6.在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，若B c C b a sin cos +=，则角=B （ ）
A ．
6π B ．4π C ．125π D ．3
2π 7．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数)3
22sin(π
+=x y 的图象（ ）
A ．向右平移3π个单位长度
B ．向左平移3π
个单位长度
C ．向右平移32π个单位长度
D ．向左平移3
2π
个单位长度
8．已知函数??
?>-∈=π
ππx x x x x f ,lg ]
,[|,sin |2)(，54321,,,,x x x x x 是方程m x f =)(的五个不相
等的实根，则54321x x x x x ++++的取值范围为（ ）
A ．),0(π
B ．),(ππ-
C ．)1,(lg π
D ．)100,(π 9. 在数列}{n a 中，82=a ，25=a ，且n n n a a a =-++212，（*N n ∈），则1021a a a +++ 的值是（ ）
A ．10-
B ．10
C ．50
D ．70
10.在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且直线0cos cos =++B A y bx 与
=++A B y ax cos cos 0平行，则ABC ?一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰或直角三角形 11. 已知平面向量，满足1||||==，2
1
-=?PB PA ，若3||=，则||的最大值为（ ）
A ．15+
B ．32
C ．12+
D ．13+ 12.已知函数)0,0)(sin(2)(π?ω?ω<<>+=x x f ，2)8
(=
π
f ，0)2
(=π
f ，且)
(x f 在),0(π上单调，下列说法正确的是（ ）
A ．2
1
=ω B ．函数)(x f 在]2
,[π
π-
-上单调递增
C ．226)8
(-=
-
π
f D ．函数)(x f y =的图象关于点)0,4
3(π
对称
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数)sin()(?+=x x f )(R x ∈是偶函数，则=?cos ．
14.已知向量)1,1(=，)2,1(-=，则向量在向量方向上的投影为______.
15.在棱长为2的正方体内随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都大于1的概率为_____.
16.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：22)()(b y a x -+-可以转化为平面上点),(y x M 与点),(b a N 的距离.结合上述观点，若
1)2()1(1
222=++-=-d c b
a ，则22)()(d
b
c a -+- 的最小值是 ．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. （本小题满分10分）
设函数2
1)(sin cos )2
cos()(2-
---=x x x x f ππ
. （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若11023)(-=
αf ，且)83,8(ππα∈，求)8
(π
α-f 的值.
18. （本小题满分12分）
已知数列}{n a 是等差数列，11=a ，λ+=12a ，133-=λa . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若1
1
+=
n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .
19. （本小题满分12分）
2019年“五一”期间，高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（t km /）分成六段：[60,65),)70,65[ [70,75),
[75,80),[80,85),[85,90)后得到如下图所示的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速的估计值；
（2）若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，求车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率．
20. （本小题满分12分）
在ABC ?中，已知内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且A C 2
1=
. （1）若125cos =
C ，求a c
的值； （2）若8
1
cos =A ，20=+c a ，求b 的值.
21. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线l ：42-=x y ，设圆C 的半径为1，圆心在
l 上.
（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；
（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
22. （本小题满分12分）
某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与当月销售价x （单位：元/件）之间的关系，收集了5组数据进行了初步处理，得到如下表：
（1）统计学中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若||r ]1,75.0[∈，则认为相关性很强；若)75.0,3.0[||∈r ，则认为相关性一般；若]25.0,0[||∈r ，则认为相关性较弱.请计算相关系数r ，并说明y 与x 之间的线性相关关系的强弱（精确到01.0）； （2）求y 关于x 的线性回归方程；
（3）根据（2）中的线性回归方程，估计当售价x 定为多少时，月销售金额最大？
（月销售金额=月销售量?当月售价） 附注：参考数据：85.12165≈.
参考公式：相关系数∑∑∑===----=
n
i i
n i i
n
i i
i
y y
x x y y x x r 1
2
1
2
1
)()()
)((，
线性回归方程a x b y
???+=中，()
∑∑==---=n
i i
n
i i
i
x x y y
x x b 1
2
1
)
)((?，x b y a
??-=.
高一文科数学试题参考答案及评分标准
一．选择题（每小题5分，共60分）
1—4DDAC 5—8 DBAD 9—12BCBB
二．填空题（每小题5分，共20分）
13. 0 14. 55- 15. 61π- 16.
155
3- 三．解答题
17.解析：（1）因为
1)4
2sin(221)2cos 2(sin 2121sin cos sin )(2-+=-+=-
-=π
x x x x x x x f ，……2分 所以)(x f 的最小正周期为ππ
==2
2T .…………………………………………………3分 由Z k k x k ∈+≤+≤-,224222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤-,8
83π
πππ，…………4分
所以函数)(x f 的单调增区间为[8
,83π
πππ+-k k ],Z k ∈.…………………………5分
（2）因为110231)42sin(22)(-=-+=πααf ，所以5
3
)42sin(=+πα.…………6分 由)8
3,8(
π
πα∈，知),2(42πππ
α∈+
，所以5
4
)42cos(-=+πα.…………………7分 所以1]4
)42sin[(221]4)8(2sin[22)8
(--+=-+-=
-
ππαππαπ
αf …………8分 10
3
1)22542253(221]4sin )42cos(4cos )42[sin(22-=-?+?=-+-+=
ππαππα.…10分
18.解析:（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则)1()13(1)1(+--=-+=λλλd ，…………2分
解得d ==2λ，………………4分
又11=a ，所以122)1(1-=?-+=n n a n ，
所以数列}{n a 的通项公式为：)(12*
N n n a n ∈-=………………6分
（2）))
12(1
)12(1(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ……………………8分
)1
21121(21)7151(21)5131(21)311(21+--++-+-+-=n n T n
12)1211(21)12112171515131311(21+=
+-=+--++-+-+-=
n n
n n n …………12分 19解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 …………2分 这40辆小型车辆的平均车速为：
77405.8745.82105.77125.7285.6745.622=?+?+?+?+?+?（t km /）……5分
（2）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =??=（辆）…………6分
车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =??=（辆）…………………………7分 设车速在[60,65)的车辆设为,a b ，车速在[65,70)的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本事件有：
(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,),(,)(,)
a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f 共15种…………9分
其中车速在[65,70)的车辆至少有一辆的事件有：
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)
(,),(,),(,),(,),(,),(,)
a c a d a e a f
b
c b
d b
e b
f c d c e c f d e d f e f 共14种 …………………11分
所以，车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为14
15
P =
. ……………………………12分 20.解析：（1）由正弦定理知：C
C C A C a c cos 21
2sin sin sin sin =
==，…………2分 所以a c 的值是5
6
.……5分
（2）由（1）知C a c cos 21=，又),0(π∈A ，)2
,0(2π
∈=∴A C ，
4
32cos 12cos
cos =+==∴A A C ，………………7分
3
2
=∴a c 与20=+c a 联立解得8,12==c a .…………9分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得8
182812222?
?-+=b b ， 化简得：,08022
=--b b 解得8-=b 或10=b ，负的舍去.10=∴b .…………12分
21.解析：（1）由题意，圆心C 是直线42-=x y 与1-=x y 的交点，解得点)2,3(C ，……1分
设圆C 的切线方程为3+=kx y ，由题意，
11
|233|2
=+-+k k ，………………3分
解得0=k 或4
3
-
.…………………………4分 故所求切线方程为3=y 或01243=-+y x .……………………5分
（2） 圆心在直线42-=x y 上，∴圆C 的方程为1)]2(2[)(2
2
=--+-a y a x ， 设),(y x M ，MO MA 2= ，2
2222)3(y x y x +=-+∴，整理得：
4)1(22=++y x ，……8分
∴点M 在以)1,0(-D 为圆心，2为半径的圆上，由题意，),(y x M 在圆C 上，
∴圆C 与圆D 有公共点，则12|12|+≤≤-CD ，即3)32(122≤-+≤a a ，……10分
???≤-≥+-0
125081252
2a a a a ，512
0≤≤?a ，………………11分 所以点C 的横坐标a 的取值范围为]5
12
,0[.………………12分
22解析：（1）由表中数据和附注中的参考数据得，5,7==y x ，……………………1分
10)
(5
12
=-∑=i i
x x ，5.16)(5
1
2=-∑=i i y y ，……………………………………2分
5.12))((5
1
-=--∑=i i i y y x x ，97.05
.16105
.12-≈?-≈
r ， (3)
分
因为]1,75.0[|97.0|||∈-≈r ，所以说明y 与x 的线性相关关系很强.………………5分
（2）由（1）可知()
25.110
5
.12)
)((?1
2
1
-=-=
---=∑∑==n
i i
n
i i
i
x x y y
x x b
，…………………………7分 所以75.137)25.1(5??=?--=-=x b y a
，…………………………8分 所以75.1325.1?+-=x y
.…………………………9分 （3）由题意可知，月销售额的预报值x x x y z
137501250?1000?2
+-=??=（元） 或者x x x y z
75.1325.1??2+-=?=（千元）……………………10分 则当5.5=x 时，z
?取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大.…12分