掌握抽象函数问题的常用处理方法
一、理论提示
抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识.可以说,这一类问题,是考查学生能力的较好途径,因此,在近年的高考中,这一类题目有增多和分量加重的趋势.
二、精典例题
1.函数原型法
例1:给出四个函数,分别满足①f(x+y)= f(x)+ f(y)
②g(x+y)= g(x) g(y)③h(xy)= h(x)+ h(y)④t(xy)= t(x) t(y),又给出四个函数图象
正确的匹配方案是( )
)①—丁②—乙③—丙④—甲(B )①—乙②—丙③—甲④—丁 (C )①—丙②—甲③—乙④—丁(D )①—丁②—甲③—乙④—丙 我们知道,抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。如正比例函数f(x)=kx(k 0), f(x 1)=kx 1,f(x 2)=kx 2,f(x 1+x 2)=k(x 1+x 2)= kx 1+ kx 2= f(x 1)+ f(x 2
)
可抽象为f(x+y)= f(x)+ f(y)。因此,我们可得知如下结论:
⑴抽象函数f(x+y)= f(x)+ f(y) 可由一个特殊函数正比例函数f(x)= kx 抽象而成的。
⑵抽象函数f(xy)=f(x)f(y)可由一个特殊函数幂函数f(x)=x α抽象而成的。
⑶抽象函数f(x+y)=f(x)f(y)可由一个特殊函数指数函数f(x)=a x (a >0,且a ≠1)抽象而成的。
⑷抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数对数函数f(x)=log a x(a >0,且a ≠1)抽象而成的。
(5)抽象函数f(x+y)=)
()(1)
()(y f x f y f x f -+可由一个特殊函数正切函数
f(x)=tanx 抽象而成的。
根据上述分析,可知应选D 。
2.代数演绎法
例2:设定义在R 上的函数f(x)对于任意x ,y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(1)=-2,当x >0时,f(x) <0。 ⑴判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
⑵试问:当-2003≤x ≤2003时,f(x)是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由;
⑶解关于x 的不等式
21f(bx 2)-f(x)>2
1
f(b 2x)-f(b),其中b 2≥2. 解:⑴令x=y=0,可得f(0)=0
令y=-x ,则f(0)=f(-x)+f(x),∴f(-x)= -f(x),∴f(x)为奇函数 ⑵设-3≤x 1<x 2≤3,y=-x 1,x=x 2
则f(x 2-x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1),因为x >0时,f(x)<0, 故f(x 2-x 1)<0,即f(x 2)-f(x 1)<0。
∴f(x 2)<f(x 1)、f(x)在区间[-2003、2003]上单调递减
∴x=-2003时,f(x)有最大值f(-2003)=-f(2003)=-f(2002+1)=-[f(2002)+f(1)]=-[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=-2003f(1)=4006。 x=2003时,f(x)有最小值为f(2003)= -4006。 ⑶由原不等式,得
2
1
[f(bx 2) -f(b 2x)]>f(x) -f(b)。 即f(bx 2)+f(-b 2x)>2[f(x)+f(-b)] ∴f(bx 2
-b 2
x)>2 f(x -b) 即f[bx(x -b)]>f(x -b)+f(x -b) ∴f[bx(x -b)]>f[2 f(x -b)]
由f(x)在x ∈R 上单调递减,所以bx(x -b)<2(x -b) ∴(x -b)(bx -2) <0
∵b 2≥2, ∴b ≥2或b ≤-2 ① 当b >2时,b >
b 2,不等式的解集为????????b x b x 2| ② 当b <-2时,b <
b 2,不等式的解集为????
??
??b x b x x 2|或 ③ 当b=-2时,不等式的解集为{}
R x x x ∈-≠且,2|
当b=2时,不等式解集为φ
评注:本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中,若f(x)满足f(x+y)= f(x)+ f(y),则f(x)是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上,对于抽象函数往往存在奇偶性:
(1)若函数y=f(x)满足f(x+y)= f(x)+ f(y),则f(x)是奇函数 (2)若函数y=f(x) 满足f(x)+f(y)=f(
xy
y
x ++1),则f(x)是奇函数
(3)若函数y=f(x) 满足f(x+y)=
)
()(1)
()(y f x f y f x f -+,则f(x)是奇函数
(4)若函数y=f(x) 满足f(x+y)+ f(x-y)=2 f(x) f(y),f(x)≠0,则f(x) 是偶函数。
例3:已知函数y=f(x)的定义域为R ,且对于一切实数x 满足
f(x+2)= f(2-x),f(x+7)= f(7-x) Ⅰ、求证: f(4-x)= f(x),f(14-x)= f(x);
Ⅱ、试问y=f(x)是否为周期函数,若不是,说明理由;若是,求出它的一个周期;
Ⅲ、已知x ∈[]7,2时,f(x)=x 2,求当x ∈[]20,16时,函数y=f(x)的表达式,并求此时f(x)的最大值和最小值。
Ⅰ、证明: f(4-x)= f []2)2(+-x =f [])2(2x --= f(x) f(14-x)= f []7)7(+-x =f [])7(7x --= f(x)
Ⅱ、解:f(x)= f []2)2(+-x = f(4-x)= f [])3(7x +- = f []7)3(++x = f(x+10)
∴y=f(x)是周期为10的周期函数 Ⅲ、当x ∈[]17,16时,x-10∈[]7,6
∴ f(x)= f(10-x)=(x-10)2
当x ∈[]20,17时, 24-x ∈[]7,4
∴ f(x)= f(x-10)= f [])24(14x --= f(24-x)= (24-x)2
∴ f(x)=[][]
?????∈-∈-20,17,)24(17,16,)10(22
x x x x
当x ∈[]17,16时,f(x)的最小值为36,且f(x)<49 当x ∈[]20,17时, f(x)的最小值为16,最大值49
∴f(x)的最大值为49和最小值为16。
评注:本题函数f(x)以抽象函数为相关背景。考查了函数的概念、周期性、最值等基础知识;深刻考查了运算能力和逻辑思维能力。本题解决的关键是充分利用f(x+2)= f(2-x),f(x+7)= f(7-x)这一条件。事实上
(1) 满足f(x+a)= )
(1
x f (a 是大于零的常数),则f(x)是周期为2a 的周期函数。
(2) 满足f(x+a)= f(x-a)(a ≠0)的函数f(x)是以2|a|为周期的函数。 (3) 满足f(a+x)= f(a-x), f(b+x)= f(b-x) (b >a)的函数f(x)是以
2(b-a)为周期的函数。
(4) f(x)是奇函数,满足f(a+x)= -f(a-x)(a ≠0)的函数f(x)是以2a
为周期的函数。
(5) f(x)是偶函数,满足f(a+x)= -f(a-x)(a ≠0)的函数f(x)是以4a
为周期的函数。
综上所述,由于抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。故关于有关抽象函数问题的解决,我们往往可以从上述三个方面给予考虑,总是比较奏效的。
3.特殊值法
例4.已知定义在R 上的函数()f x 满足: (1)值域为()1,1-,且当0x >时,()10f x -<<; (2)对于定义域内任意的实数,x y ,均满足:()()()
()()
1f m f n f m n f m f n ++=
+
试回答下列问题:
(Ⅰ)试求()0f 的值;
(Ⅱ)判断并证明函数()f x 的单调性; (Ⅲ)若函数
()f x 存在反函数()g x ,求证:
21111
511312g g g g
n n ????????+++> ? ? ? ?++??
?
?????
. 讲解:(Ⅰ)在()()()()()1f m f n f m n f m f n
++=
+中,令0,0m n >=,则有
()()()
()()
010f m f f m f m f +=+.即:()()()()()100f m f m f f m f +=+????. 也即:()()()2
010f f m ??-=??
.
由于函数()f x 的值域为()1,1-,所以,()()2
10f m ??-≠??
,所以()00f =.
(Ⅱ)函数()f x 的单调性必然涉及到()()f x f y -,于是,由已知
()()()
()()
1f m f n f m n f m f n ++=
+,我们可以联想到:是否有
()()()
()()
1f m f n f m n f m f n --=
-?(*)
这个问题实际上是:()()f n f n -=-是否成立?
为此,我们首先考虑函数()f x 的奇偶性,也即()()f x f x -与的关系.由于()00f =,所以,在(
)()()()()
1f m f n f
m n f m f n ++=
+中,令n m =-,得()(
)0f
m f m +-=.所以,函数()f x 为奇函数.故(*)式成立.所以,()()()()()1f m f n f m n f m f n -=--????.任取12,x x R ∈,且12x x <,则
210x x ->,故
()210f x x -<且()()211,1f x f x -<<.所以,
()()()()()212121
10f x f x f x x f x f x -=--???
所以,函数()f x 在R 上单调递减.
(Ⅲ)由于函数()f x 在R 上单调递减,所以,函数()f x 必存在反函数
()g x ,由原函数与反函数的关系可知:()g x 也为奇函数;()g x 在()1,1-上单调递减;且当10x -<<时,()0g x >.为了证明本题,需要考虑()g x 的关系
式.在(*)式的两端,同时用g 作用,得:()()()()1f m f n m n g f m f n ??--=??-?
?,
令()(),f m x f n y ==,则()()
,m g x n g y
==,则上式可改写为:()()1x y g x g y g xy ??
--= ?-??
.
不难验证:对于任意的(),1,1x y ∈-,上式都成立.(根据一一对应). 这样,我们就得到了()g x 的关系式.这个式子给我们以提示:即可以将
2131n n ++写成1x y
xy
--的形式,则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端.
事实上,由于
()()()()()()21
11
1211
1211131121111212n n n n n n n n n n n n -
++++==
=++++-????
--? ? ?++++????
, 所以,21113112g g g n n n n ??????
=- ? ? ?++++??????.
所以,211151131g g g n n ??????
+++ ? ? ?++??????
1111112334121122111222g g g g g g n n g g n g g g n ??????????????????=-+-+- ? ? ? ? ? ???????
++??????????
????????????=- ? ?
+??????????=+-> ? ? ?
+??????
点评:一般来说,涉及函数奇偶性的问题,首先应该确定()0f 的值.
三、反馈练习
1.(2001年全国高考题)设()f x 是定义在R 上的偶函数,其图像关于
直线y x =对称,对任意121,0,2x x ??
∈????
都有()()()1212
f x x f x f x +=?,且()10f a =>.
(Ⅰ)求12f ??
???
及
14f ?? ???
; (Ⅱ)证明:()f x 是周期函数;
(Ⅲ)记122n a f n n ?
?=+ ??
?,求()lim ln n n a →+∞.
2.(2002北京高考题)已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,a b R ∈都满足:()()()f a b af b bf a ?=+
(Ⅰ)求()()0,1f f 的值;
(Ⅱ)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若()()
()*
222,
n n f f u n N
n -==∈,求数列{}n
u 的前n 项的和n
S
.
[答案与提示:1.(Ⅰ)1/21/411,
24f a f a ??
??
== ? ?????
;
(Ⅱ)略;(Ⅲ)()lim ln 0n n a →+∞=. 2.(Ⅰ)()()010f f ==;(Ⅱ)奇函数;(Ⅲ)112n
n S ??
=- ???
.] 3.定义在R 上的函数()f x 满足:对任意实数,m n ,总有
()()()f m n f m f n +=?,且当
0x >时,()01f x <<. (1)试求()0f 的值;
(2)判断()f x 的单调性并证明你的结论; (3) 设()()()(){}(
)({}2
2
,1,,1,A x y f x f y f B x y f ax y a R =
?>=-=∈,
若A B ?=?,试确定a 的取值范围. (4)试举出一个满足条件的函数()f x . 讲解:(1)在()()()f
m n f m f n +=?中
,令1,0m n ==.得:
()()()110f f f =?.因为()10f ≠,所以,()01f =.
(2)要判断()f x 的单调性,可任取12,x x R ∈,且设12x x <.在已知条件
()()()f m n f m f n +=?中,若取21,m n x m x +==,则已知条件可化为:()()()
2121f x f x f x x =?-.
由于210x x ->,所以()2110f x x >->.为比较
()()21f x f x 、的大小,只需考虑()1f x 的正负即可.在()()()f m n f m f n +=?中,令m x =,n x =-,则得()()1f x f x ?-=.∵ 0x >时,()01f x <<,
∴ 当0x <时,()()
1
10f x f x =
>>-.又()01f =,所以,综上,可知,对于任意1x R ∈,均有()10f x >.∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--???.
∴ 函数()f x 在R 上单调递减.
(3)首先利用()f x 的单调性,将有关函数值的不等式转化为不含f 的式 子.()()()22
2211f x f y
f x
y ?>+<即
,(()10f ax y f -+==,
即
0ax y -=.由A B ?=?
,所以,直线0ax y -=与圆面221x y +<无
公共点.所以,
1≥.解得:11a -≤≤.
(4)如()12x
f x ??
= ???
.
点评:根据题意,将一般问题特殊化,也即选取适当的特值(如本题中令
1,0m n ==;以及21,m n x m x +==等)是解决有关抽象函数问题的非常重要的
手段;另外,如果能找到一个适合题目条件的函数,则有助于问题的思考和解决.
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D
7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:
()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任
高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题 1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则 (1)若=)(x f 10,则x= ;(2))(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象(请使用直尺) (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A , 试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式 观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ 换元法(3)13)2(2++=-x x x f D P C P A P B
待定系数法 (4)已知()x f 是一次函数,且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。 (复合函数的解析式)---代入法 (5)已知1)(2-=x x f ,1)(+=x x g ,求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-,则函数)1(-x f 的定义域为 。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-,则函数)1(+x f 的定义域为 。 练习:1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ,求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数,且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+,求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ,)()2(x f x g =+,求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-,(3,0),且(0)3h =-,求()h x ;
抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f +=
因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(,
专题2.3构造函数法解不等式问题(小题) 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握,导数是函数单调性的延伸,如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ,则单调性就变的相当隐晦了,另外在导数中的抽象函数不等式问题中,我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性,而是包含()f x 的一个新函数的单调性,因此构造函数变的相当重要,另外题目中若给出的是'()f x 的形式,则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数,因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ,因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如:'()0f x >,则我们知道原函数()f x 是单调递增的,若'()10f x +>,我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的,因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程,只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数,那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候,但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可,例如()g x 的原函数是不能准确的找到的,但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ,则也能大致将那个函数看成是原函数,例如'()()g x m x x =,或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式,我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。构造函数模型总结: 关系式为“加”型: (1)'()()0f x f x +≥构造''[()][()()] x x e f x e f x f x =+(2)'()()0xf x f x +≥构造''[()]()() xf x xf x f x =+(3)'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()] n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+(注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型
导数运算中构造函数解决抽象函数问题 【模型总结】 关系式为“加”型 (1)'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+ (2)'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ (3)'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ (注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型 (1)'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== (2)'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[ ]'f x xf x f x x x -= ! (3)'()()0xf x nf x -≥ 构造121 ()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== (注意对x 的符号进行讨论) 小结:1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典型例题: 例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数,'()()()'()0f x g x f x g x +<,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集 变式:设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,当0x <时,'()()()'()0f x g x f x g x +>,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集. 例 2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-,若有穷数列*()()()f n n N g n ??∈???? 的前n 项和等于3132,则n 等于 . 变式:已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,
冷世平之高考复习专题资料 第 1 页 共 7 页 抽象函数解题策略 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强,灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质,通过局部性质或图象的局部特征,利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等),这样就能突破“抽象”带来的困难,做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想,寻找具体的函数模型,再由具体函数模型的图象和性 【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<,则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<,则函数(21)f x -的定义域为 【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的,可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。 【例2】已知()f x 的定义域为R +,且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立,若(8)4f =,则(2)_____f = 【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中,令4x y ==,得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==,(4)2f ∴=,又令2x y ==,得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。 1.()f x 的定义域为(0,)+∞,对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =,则 _____ f =12 2.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =,则 (2)(4)(6)(2000) ______(1)(3)(5)(1999) f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) ______(1)(3)(5)(7) f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n =
高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,