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函数的单调性

设计理念

《普通高中数学课程标准》明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。

本节课是一节概念课．函数单调性是用解析的方法来刻画函数图像的性质，如何将图像特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：

1、重视学生参与发现、掌握知识的过程．

2、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．

教材内容

本节课是苏教版必修一第二章《函数的概念与基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数的简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用函数单调性的定义解决一些简单问题．

教学目标

（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法及单调性的简单运用。

（2）过程与方法：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括、自主构建单调增函数、减函数的概念；能运用函数单调性的定义解决一些简单的问题；让学生领会数学结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

（3）情感态度价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好学习习惯与学习态度。

重点与难点

教学重点：（1）函数单调性的概念；

（2）运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性．教学难点：（1）函数单调性的概念形成；

（2）利用单调性的定义证明函数的单调性．

学情与教材分析

在本节课内容之前，学生在初中已经学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数图像对函数特征加以直观考察，了解它们的图像及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验，“图像是上升的，函数是单调增的；图像是下降的，函数是单调减的”仅就图像角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此我在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明是教学中的难点.

函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础。通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题。还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。

教学过程：

一、问题情境

1．情境：

泰兴市天气预报：2010年7月15日星期天阵雨转雷阵雨35℃～25℃微风。下图为泰兴市这一天24小时内的气温变化的大致图，观察这张气温变化图：

2、问题：（1）、观察图形，能得到什么信息？

预案：①当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；

②在某时刻的温度；

③某些时段温度升高，某些时段温度降低.

2、说出气温在哪些时间段内是升高的，怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步提高”这一特征？

图1

在这里，气温随时间变化而升高或降低，从函数角度看反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，如潮涨潮落、股票价格、降雨量等等，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。

[设计意图：从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．]

二、建构数学

问题1：观察下列函数的图象（如图1），指出图象变化的趋势.

f x () = 2?x+1

x y

(1) (2) (3)

(4) 图2

问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升(下降)趋势”的意思么？

讨论得到：

在某一区间内， ? 图象在该区间内呈逐渐上升趋势

? 图象在该区间内呈逐渐下降趋势

函数的这种性质称为函数的单调性.

问题3：如何用数学语言来准确地描述函数的单调性呢？

例如，在区间（0，+∞）上当x 的值增大时，函数y 的值也增大的事实应当如何表述？

能不能由于x=1时，y=3；x=2时，y=5，就说随着x 的增大，函数值y 也随着增大？

能不能由于x=1，2，，3，4，5，…，相应地y=3，5，7，9，…，就说随着x 的增大，函数值y 也随着增大？

通过讨论，给出f （x ）在区间I 上是单调增函数的定义：

定义：一般的，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ?，如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间。

[设计意图：以学生熟悉的函数为例，通过问题的分解，引导学生步步深入，使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言．直至找到最准确的数学语言来描述定义．这里体现以学生为主体，师生互动合作的教学新理念．]

问题4：仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义．

[设计意图：培养学生类比推理能力]

问题5：说说图2中各题的单调区间。

三、数学应用

例1 作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：

（1）y=－x 2＋2 ；（2）y=

1x （x ≠0）思考：（1）能说函数x x f 1)(=

在(,-∞)+∞上是减函数吗？（2）、能不能说，函数y=1x

（x ≠0）在定义域（－,0∞）(0,)?+∞上是单调减函数？

[设计意图：1、让学生学会利用函数的图象判断函数的单调性和单调区间，即图象法，为例2代数论证先形成直观印象. 2、通过本例使学生明白函数的单调性是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有，函数的单调区间是函数定义域的一个子集.]

例2 证明函数y=1x

（x ≠0）的单调性. 注：学生归纳运用定义法探求并证明函数单调性的步骤：

①取值；②作差变形；③定号；④判断．

[设计意图：1、先从“形”上去判断单调区间再回归定义去，从“数”的角度证明单调性，使学生认识到“形”可帮助我们探索解题思路，而定义是最 x R ∈

终解决问题的基础．2、规范解题过程、总结解题步骤是知识和方法的提炼，也是对学生学习的指导. 3、通过本例使学生进一步认识到定义中“任意”二字的必要性.]

四、回顾小结

1、函数单调性的定义．

2、判断、证明函数单调性的方法：图象法（仅用于判断）、定义法（①取值；②作差变形；③定号；④判断．）

3、单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．函数的单调性是函数的局部性质，它反映了函数定义域内某个区间上函数值的增减变化和图象的升降趋势．以后我们将继续学习运用函数的单调性解决数学问题及生活实际问题．

五、布置作业

1、课本37页 1，2，5，6、7

2、补充：在一碗水中，加入一定量的糖，糖加得越多糖水就越甜．你能结合函数1

)(+=x x x f 运用所学过的数学知识来解说这一现象吗？ [设计意图：通过本题让学生体会到数学来源于生活，也用于解决生活中的问题.学生在自我探索中体会到成功解决实际问题的快乐，从而激发学生的数学学习兴趣.]

教学反思：

本人所在学校是一所三星级学校，属于中等生源。在对于一些抽象概念的理解上存在困难。因此我在课堂上先通过实例，再通过具体函数耐心引入，并以问题串的形式加以抽象提炼得出函数单调性的概念。让学生在这一过程中体会概念的形成过程，并且在今后的学习中有所用。使用函数单调性定义证明具体函数的单调性又是一个难点，使用函数的单调性定义证明是对函数单调性概念的深层理解，给出一定的步骤“取值、作差、变形、定号”是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，作差法也是以后要学习的不等式证明方法中比较法的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫。

本节课加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图像的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画，让学生在学习知识过程中体会解决问题的方法。

但是由于在概念的引入上花费的时间较长，从而导致课堂容量不是太大，有部分基础较好的同学有吃不饱的现象，因此需要在分层教学上加强注意。

函数单调性讲解及常见类型(整理)

函数的单调性题型一判断、讨论、证明函数的单调性 1 判断函数 y=x- 1 在其定义域上的单调性。 x 2 讨论并证明 y=x+ 1 在定义域上的单调性。 x 3 定义在R 上的函数 f （x ）对任意不相等实数 a ，b 总有 f （a ）- f （b ） >0成立，则必有 a -b A 、函数 f （x ）是先增加后减小 B 、函数 f （x ）是先减小后增加 C 、f （x ）在R 上是增函数 D 、f （x ）在 R 上是减函数 4已知 f （x ） =（2k +1）x + b 在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（） 5 已知函数 f （x ） = x 2 +bx +c ,x （0,+）是单调函数，则实数b 的取值范围为（） A .b 0. B .b 0 C .b 0 D , b 0 6 已知 f （x ） = x 2 -2（1-a ）x + 2在（- ,4］上是减函数，求实数a 的取值范围。题型二抽象函数的单调性 1、已知 f （x ）是定义在［-1,1］上的增函数，且 f （x-2）f （ 8 （ x — 2））的解集是 A 、（2， 16 ) B 、（ —∞， 7 ） C 、（ 2 ，+ ∞） D 、（2， 16 )

题型四用图形讨论函数单调性 1 函数y=|x—3|—|x+1|的单调递减区间是。 2画出函数y=-x2+2x +3的图像，并指出函数的单调区间. 3 画出函数y=|x| 的图像，并判断其单调性。 4画出函数y=|x2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。题型五基本初等函数的单调性问题 1.设函数y = x2-4x+3,x[1,4]，则f（x）的最小值和最大值为（） A.-1 ，3 B.0 ，3 C.-1，4 D.-2，0 2．函数f（x）=—x2+2（a—1）x+2 在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是 A 、a≥5 B 、a≥3 C、a≤3 D、a≤—5

必修一函数的单调性专题讲解(经典)

第一章函数的基本性质之单调性一、基本知识 1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当 21x x <时，都有 ))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。重点 2．证明方法和步骤：（1）取值：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；（2）作差：)()(21x f x f -；（3）变形：（如因式分解、配方等）；（4）定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；（5）根据定义下结论。 3．常见函数的单调性时，在R 上是增函数；k<0时，在R 上是减函数（2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数，（k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数，（3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加；当0