多元函数微分学总结
`第八章 多元函数微分学
基本知识点要求
1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.
2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理
解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.
5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.
6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.
7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.
9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析
题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题
1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o
I 时，都有
()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作
000
(,)(,)
lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。
②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若
0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。
（2）关于二元函数极限的解题思路
注意：在二元函数0
lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点
致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。
① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，
()f P 的极 限不同，则0
lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。
②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的
极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）
例1证明：2
24
(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。
【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径2x ky =。
证明：22
24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky
x ky
xy ky k
f x y x y k y y k →→→=====+++Q ， k ∴不同，极限值就不同，故
(,)(0,0)
lim (,)x y f x y →不存在。
【评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关键是选择适当的0P P →的路径，注意总结其选择路径的规律。
例
2
(,)lim
x y →= 。
【分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化，再进行等
价无穷小代换。
解：
(,)(,)lim
lim
x y x y →→=
【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则，求法一般不难，这里不再多举例子。
例3
设32
,)(0,0)(,)0
,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==?，证明函数),(y x f 在点(0,0)连续 。
【分析】：通过观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可以看出),(y x f 在(0,0)点的极限存在且为0，但不易利用例2中的评注直接求解，可以考虑将点(,)x y 转化成极坐标来表示。
证明：
32(,)(0,0)
(,)lim (,)lim x y x y f x y →→=
Q
(,)f x y ∴在点(0,0)连续。
2. 偏导数的概念
二元函数的偏导数的概念：设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内有定义? 如果极限x
y x f y x x f x ?-?+→?)
,(),(lim
00000
存在? 则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处
对x 的偏导数? 记作00y y x x x z ==??? 0
0y y x x x f
==??? 0
0y y x x x
z ==? 或),(00y x f x 。
如果极限y
y x f y y x f y ?-?+→?)
,(),(lim
00000
存在? 则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处
对y 的偏导数，记作 00y y x x y z ==??? 0
0y y x x y f
==??? 0
0y y x x y
z ==? 或f y (x 0? y 0)?
例4
设(,)f x y =则函数在原点偏导数存在的情况是
()C (0,0),(0,0)x y f f ''不存在存在 ()
D (0,0),(0,0)x y f f ''不存在不存在
（研）
解：应选【C 】
011(0,0)=lim
lim 00
x
x x x e f x x →→--'=--， 因为0011lim
lim 100x
x x x e e x x ++→→--==--，01
lim 10x x e x --→-=-- 故0011
lim lim 00
x
x x x e e x x +--→→--≠--，所以(0,0)x f '不存在。
所以(0,0)y f '存在。故选【C 】。
【评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义
讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点。
例5 设
22
(,)(0,0)
(,)34lim
2x y f x y x y
x y
→+-=+, 则 2(0,0)(0,0)x y f f ''+= （2008-北京赛）.
【分析】为了利用偏导数的定义求出(0,0)x f '和(0,0)y f '，需要写出函数的表达式，为此要想到利用结论：0
()(),lim P P f P A f P A α→=?=+其中0
0lim P P α→=。
解：22
(,)(0,0)
(,)34lim
2,x y f x y x y
x y →+-=+Q
22
(,)342,f x y x y
x y α+-∴
=++其中(,)(0,0)lim 0,x y α→=
从而2222(,)342()()f x y x y x y x y α=-+++++， 故2(0,0)(0,0)642x y f f ''+=-+=。
【评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程
中常用的思想。
3. 全微分概念及以上几个概念之间的关系
二元函数全微分的概念：如果函数(,)z f x y =在点(x ? y )的全增量
(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-可表示为
() (z A x B y o ρρ?=?+?+=? 则称函数(,)z f x y =在点(x ? y )可微分? 而称A ?x ?B ?y 为函数(,)z f x y =在点(x ? y )的全微分? 记作dz ? 即
关系：偏导连续?可微?偏导存在；可微?连续；但偏导存在≠>可微；连续≠>偏导存在
【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。
例6设?????
=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f ，（1）),(y x f 在（0，0）点是否连续？（2）求(,)x f x y '；（3）),(y x f 在（0，0）点是否可微；（4）(,)x f x y '在（0，0）点是否连续。（天津工业大学竞赛题）
【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义。
解 (1)由夹逼准则
0(,)sin
f x y xy xy ≤=≤ ，
(,)(0,0)
lim (,)0(0,0)x y f x y f →==因此
，故(,)0,0f x y 在（）点连续。
(2)当(,)(0,0)x y ≠时
(,)2sin
x f x y x '=,
当(,)(0,0)x y =，利用偏导数的定义得
00(0,0)(0,0)0
(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x
?→?→+?-'===??，
故2,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x x y f x y x y ?
≠?'=??=? 同理可得
(3)为了考察),(y x f 在(0,0)点是否可微，我们来考察
[(0,0)(0,0)]x y z f x f y ''?-?+?
是否为ρ=
[(0,0)(0,0)]
0x y z f x f y ρ
?-?-?≤
=
≤
0(0,0)x y =→?→?→，
故0
[(0,0)(0,0)]
lim
0x y z f x f y ρρ
→?-?-?=，即[(0,0)(0,0)()x y z f x f y o ρ?-?-?=
所以),(y x f 在(0,0)点可微。 （4
）由于
(,)(0,0)
(,)(0,0)
lim
(,)lim (2sin
x x y x y f x y x →→'=
不存在，
所以(,)x f x y '在(0,0)点不连续。
【评注1】利用偏导数和全微分的定义讨论函数偏导数的存在性和可微性，既是重
点也是难点，需掌握。
【评注2】若),(y x f 在(0,0)点连续，且偏导数存在，则判别),(y x f 在0,0（）点是否
可微，需考察[(0,0)(0,0)]x y z f x f y ''?-?+?
是否为ρ=
【评注3】此例验证了偏导数连续是可微的充分条件，而非必要条件。
【评注4】注意这几个概念之间的关系与一元函数的有关结论的不同之处。 例 7设函数(,)||(,)f x y x y x y ?=-,其中(,)x y ?在点(0,0)的一个邻域内连续,证明:
(,)f x y 在点(0,0)处可微的充要条件为(0,0)0?=。（2007-天津赛）
证明：（必要性）已知()x,y f 在点(0,0)处可微，故()00,f x '与()00,f y '都存在。而
()()()()
00000000,0lim
lim x x x x x,,x x,f x x
???→→--?'==， 其中0
||(,0)
||(,0)
lim (0,0),lim (0,0),x x x x x x x
x
????+
-
→→==-由于()00,f x '存在，故()000=,?。 （充分性）已知()000=,?，类似于必要性的过程容易推出(0,0)0,(0,0)0.x y f f ''==欲证()x,y f 在点(0,0)处可微，只需证
注意到：
2≤
≤，
所以
()02x,y ?≤
≤。
又
()()(,)(0,0)
lim 000x y x,y ,??→==
，由夹逼定理知
(,)lim
0x y →=。
从而()x,y f 在点(0,0)处可微，并且()0d =x,y f 。
【评注】此题是一元函数中的重要结论“设()x ?在x a =点连续，则()||()f x x a x ?=-在x a =可导的?()0a ?=”在多元函数中的推广，但证明过程要比一元函数复杂的多。
题型2 多元函数的偏导数的计算
1. 复合函数求导 例8 设函数20
sin (,,)1xy t F x y z dt t =+?，则220
2
x y F
x
-=?=
?（2011-研）
解：
2sin 1()
F y xy
x xy ?=?+，为了计算简便，由偏导数的定义，可得 222
222
000
2
2sin 24(14)cos 216sin 2()414(14)x x x y F x x x x x x x x --==?+-'===?++。 【评注】()()00
00,,,x x x
x y y f x y f x y ==''=同时()000(,)
,,x df x y f x y dx
'=
()()0
00,,x x y y y y f x y f x y ==''=，同时()000(,)
,y df x y f x y dy
'=
， 利用后者往往可以大大简化计算，此例的解答就是利用的后者。
例9设???
??+?
??
? ??=x y g y x xy,f z ，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数。求
y
x z
x z ?????222,。（2005-天津赛） 【分析】本题是典型的利用复合函数求导法则求二阶偏导数的常规题。
解：
g x
y
f y yf x z '-'+'=??2211， 【评注1】多元复合函数的求导法则是重点，应理解链式法则的内涵。常见的链式
法则有：
①(),(,)z f u u x y ?==：
,z dz u z dz u x du x y du y
????=?=????? ②(,),(),()z f u v u x v x ?ψ===：
dz z du z dv
dx u dx v dx
??=+
?? ③(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ?ψ===：x v v z x u u z x z ?????+?????=??，y
v v z y u u z y z ?????+?????=??
④z ?f (u ? x ? y )? 且u ??(x ? y )：x u u z x z ?????=??? dy dv v z y u u z y z ???+?????=???
其它情形可以此类推，此例中就涉及到①和③。
【评注2】若f 具有二阶连续偏导数，则2112
f f ''='', 注意将此两项进行合并. 例10设)],2([2x xy f z ?=，这里f 可导且?具有连续偏导数，求y
z
x z ????,. 解：
[]x y x xy f x
x xy f x z 22)],2([)],2([21
22?'+?'?'=???'=??????
? 【评注】注意区分何时该用全导数记号，何时该用偏导数记号。
例11设x u z x t t x y z y x f u ??===，求，，又),(),(),,(ψ?，u
z
??. 解： 由上述表达式可知,x z 为自变量, 所以
()''''''''''y z y t z z y t z z u y
f f f f f f z z
?ψ?ψ??=+=+=+??。 【评注】类似于一元函数，对于多层的复合关系，先要分清变量间的关系，然后逐层利用复合函数的链式法则即可。
例 12 设变换?????+=+=y
x v y
a x u 2把方程0212222=??-??-??y z y z y x z 化为20z u v ?=??，试确定a .（2003-天津赛）。
【分析】利用变量替换，借助求解多元复合函数的偏导数使方程变形，是常见题型，
这里注意把握好,
,z z
z x y
????与中间变量,u v 及自变量,x y 的树形关系： 解：计算一、二阶偏导数： v z u z x v v z x u u z x z ??+??=?????+?????=??，
??
? ????+???=???+???=?????+?????=??v z u z a y y v z y a u z y v v z y u u z y z 2112， 2
2222222v z
v u z u z x z ??+???+??=??，
???
? ?????+????+???+??? ????+???-=??-y v z y a v u z y a u z y v z u z a y y z 1412212222222322， 代入方程0212222=??-??-??y z
y
z y x z ，得到 以题意有??
???≠-=-
0204
12
a a ，所以2-=a . 例13设二元函数()x,y u 具有二阶偏导数，且()0≠x,y u ，证明()()()y g x f x,y u =的充要
条件为：y
u
x u y x u u ?????=???2。（2009-天津赛） 证明：（必要性）若()()()y g x f x,y u =，
则()()()()()()y g x f y x u y g x f y u y g x f x u ''=???'=??'=??2，，，显然有y u
x u y x u u ?????=???2。 （充分性）若y u x u y x u u ?????=???2，则0u u u
u y x x y
??????-?= ???????， 由于()0≠x,y u ，所以
02
=?????-??? ??????=?????
? ??????u y
u x u x u y u u u x u y ， 即
0ln =??? ??????x u y ，因此
x u ??ln 不含y ，故可设()ln u
x x
??=?。从而有
()()y ψx x u +=?d ln ?，
()()()()d d e e e x x ψy x x ψy u ??+??==?，
即()()()y g x f x,y u =。
【评注】此题的难点在充分性的证明上，注意是涉及到了关于商的偏导数运算法则的逆运算，看似简单，实际上非常能考察大家的基本功。
2. 隐函数求导
例14 设有三元方程1ln =+-xz
e y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点0,1,1（）
的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）
（A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数),(y x z z =；
（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(y x z z =； （C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z x y y =和),(y x z z =；
（D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(z x y y =。（2005-研）
解：应选[D]
令,,)ln 1,xz F
x y z xy z y e =-+-（ 显然,,)ln 1xz F x y z xy z y e =-+-（在0,1,1（）
点的一个邻域内具有连续的偏导数导数，且0,1,1F(）=0,而(0,1,1)
,1,1)20,xz
x F y ze
=+=≠（0
故可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(z x y y =。 【评注】本题考查了对隐函数存在定理的三个条件及结论的理解。
例15设()x,y z z =是由xy z z
=+e 所确定的二元函数，求：22x
z
??，y 2???x z 。（2010-天
津赛）。
【分析】此例是最基本的隐函数求导问题，可以直接利用隐函数的求导公式：
z x F F x z -=??z y F F y
z -=??，也可以方程(,,)=0x y z F 两边分别对x ，y 求偏导数。
解1：利用隐函数的求导公式。
令(,,)=z+e z F x y z xy -，则由隐函数的求导公式得
11x z z z F z y y x e e F '?-=-=-=?++'，11y z z z F z x x
y e e F '?-=-=-=?++'
，
()()32222e 1e e 1e
z z z z
y x z y x z +-=+??-=??，()()
322e 1e e 11e 1e e 1z z z z z z xy y z y y
x z +--+=+??-+=??? 解2:将等式xy z z =+e 两边分别对x ，y 求偏导数：
y x z x z z =??+??e ，z
y
x z e
1+=??， x y z y z z =??+??e ，z x y z e
1+=??， ()()32222e 1e e 1e
z z z z
y x z y x z +-=+??-=??，()()
322e
1e e 11e 1e e 1z z z z z z xy y z y y x z +--+=+??-+=???。 【评注】一般地，若利用z x F F x z -=??，z y F F y
z -=??求隐函数的二阶偏导数时，应注意到z
仍然是,x y 的函数，需进一步利用复合函数的求导法则去求，这是难点。
例16设函数(,)z z x y =是由方程11
(,)0F z z x y
+-=确定的隐函数，其中F 具有连续
的二阶偏导数，且(,)(,)0,u v F u v F u v =≠求证：2
20z z
x y x y
??+=??和222
3
322()0z z z x xy x y y x x y y ???+++=????。(2011-北京赛) 解：令11
(,,)(,)G x y z F z z x y
=+-，则由隐函数的求导公式得
121212121
()()
x z F G F z
x x G F F x F F '-''?=-
=-=
?'
''''++ ， 22
2212121
()
y z F G F z
y y G F F y F F '?
''?=-=-=-
?'''''++，由于(,)(,)0,u v F u v F u v =≠ 所以2
222
121222121212
()0()()F F F F z z x
y x y x y x F F y F F F F ''''-??+=?+?-==??''''''+++。
将等式2
20z z x y x y
??+=??两边分别对,x y 求偏导数，得到 2222220z z z x x y x x y x ???++=????，即222222z z z x y x x y x x ???+=-???? 222
2220z z z x y y x y y y ???++=????，即222222z z z x y y x y y y ???+=-????， 将上面的第一个式子两边同乘,x 第二个式子两边同乘y ，然后相加并注意到
2
20z z x y x y
??+=??和22z z x y y x ??=????，得到222
3322()0z z z x xy x y y x x y y ???+++=????。 【评注】在证明第二个等式时，若先利用
z z
x y
????、的表达式去求三个二阶偏导数，再代入待证明的等式的左端，显然很麻烦，而设法利用第一问的结果，两边同时对,x y 求偏导，问题便迎刃而解了。
例17 设),,(z y x f u =，0),,(2=z y x ?，x y sin =，其中?,f 具有连续的一阶偏导数，且
0≠??z ?，求dx
du
.（2002-天津赛） 【分析】在求导之前要先分析清楚变量之间的关系，对于此题，变量,,u y z 都为x 的
一元函数。
解：三式两端同时对x 求全导数得： 整理可得：
3
21cos 2???''?+'-=x x dx dz
33
2121cos 2cos f x x f x f dx dy
'''?+'-'?+'=???。
【评注】分清函数关系后，此题也可以视为是利用方程组求导数的方法求得的隐函
数的导数。
例18设???-=+=)
,(),(2
y v x u g v y v ux f u ，其中g f ,具有一阶连续偏导数，求x v
x u ???? , 【分析】这是典型的由方程组组成的隐函数的求导问题，方程组两边直接对x 求偏导数即可。
解：方程组两端同时对x 求偏导得：
由此可知，当0)12)(1(1221≠'
--'-'g f yvg xf 时有
12211221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--'?'-=?? ， 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v
''--'-'-'+''=??.
题型3多元函数微分学在几何中的应用
1. 空间曲线的切线和法平面方程
例19曲线?????=+-=++
243
444222z y x z y x 在点)1,1,1(M 处的切线方程为 .（2003-天津赛）
解：方程组两边对x 求全导数得0120x yy zz y z ''++=??''-+=?，解之得222z x y y y y x z y z -?'=?+?
?+?'=-
?+?
，
从而(1,1,1)(1,1,1)0,1y z ''==-，故(1,0,1)T =-r
。
【评注】一般地，若?：()
()()x t y t z t ?ψω=??
=??=?
，则在0t t =处，000((),(),())T t t t ?ψω→
'''=；
若?：()
()
y y x z z x =??=?，则在0x x =处，切向量00(1,(),())T y x z x →''=；
若?：(,,)0
(,,)0F x y z G x y z =??=?，则在0000(,,)M x y z 点，00(1,(),())T y x z x ''=r （注意条件），此例
题属第三种情形。
例20螺旋线cos sin (02)x y z θ
θθπθ=??
=≤≤??=?
上与平面0x y z ++=平行的切线有（ ）
（A ）1条； （B ）2条； （C ）3条； （D ）4条.(2012-天津赛) 解：应选（B ）
(sin ,cos ,1)T θθ→
=-，(1,1,1)n →
=，
依题意T n →→
⊥，即sin cos 10θθ-++=，故11,2
π
θθπ==，
所以12(1,0,1),(0,1,1)T T →
→
=-=-，
故切线方程为
112,101011
z x y x y z π
π-
-+-====--。 【评注】此题的切向量属例19【评注】中的第一种情形。 例21设函数),(y x f 在点0,0（）附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f =-=，(0,0)3
x f =-则
(0,0)()3A dz dx dy =+；
(B)曲面(,)(0,0,(0,0))3,1,1z f x y f =在点的法向量为（）
； ()C 曲线??
?==0
)
,(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 处的切向量为(1,0,3); (D)曲线?
?
?==0)
,(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 处的切向量为(3,0,1);（2001-研） 解：应选()C
函数),(y x f 在点,0（0）的两个偏导数存在，并不一定能保证函数),(y x f 在点0,0（）可
微，因此()A 不正确。
由于偏导数存在不一定能保证曲面(,)z f x y =在相应点处存在切平面，即便切平面存在，其(0,0,(0,0))3,1,-1f 在点的法向量也应为（），故(B)不正确。
曲线???==0),(y y x f z 的参数方程为0(,0)
x x y z f x =??=??=?
，从而其切向量为(1,0,3)，故()C 正确。
【评注】此题的概念性很强，所涉及的知识点也较多，易犯的典型错误是选()A 。 2.空间曲面的切平面和法线方程
例22曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 。（2003-研）
【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n ρ
，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n ρ
平行确定.
解 令 22),,(y x z z y x F --=，则
x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .
设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x n --=→
，其与已知平面
042=-+z y x 平行，因此有
1
1
422200-=
-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .52
020
0=+=y x z 故所求的切平面方程为
0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x 。
【评注1】两平面平行，则它们的法向量成比例，但并不一定相等。
【评注2】一般地，若曲面方程为(,,)0F x y z =，则在0000(,,)M x y z 点，切平面的法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z →
=。
例23 求曲面??
?
??===v
z v u y v
u x S 2sin cos :，在2,4u v π==处的切平面方程。
【分析】S 为曲面的参数方程，分别将2,4
u v π
==
代人曲面S 的方程中，得在曲面上
过点)2π
的两条空间曲线方程，这两条曲线在点)2
π
的切线所确定的平面
就是所求的切平面。
解：将2,4u v π
==
代人S
的方程，得曲面上一点)2
π
， 将2u =代人曲面方程得在曲面上的一条空间曲线的参数方程2cos 2sin 2x v
y v z v =??
=??=?
，其切向量
为1(T =r ，将4
v π
=
代人曲面方程得在曲面上的另一条空间曲线的参数方程
222x u y u z π?=?
?
??
=??
?=???
，其切向量为2
(22T =r ，从而切平面的法向量为
12
2
i j k
n T T
=?==
r
r r
r r
r
，故所求的切平面方程为
()0
2
x y z
π
-+-=，
4
2
z
π
+=+。
例24在椭球面1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
z
b
y
a
x
上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线
段。（2009-天津赛）
【分析】只需按题设要求一步一步去做即可，关键是建立完切平面方程后，应注意到切点满足椭球面方程，最好把切平面方程化简成平面的截距式方程。
解：设()1
2
2
2
2
2
2
-
+
+
=
c
z
b
y
a
x
x,y,z
F，切点为
000
(,,)
x y z，
2
2
a
x
F
x
=
'，
2
2
b
y
F
y
=
'，
2
2
c
z
F
z
=
'，
故该点处切平面的法向量为000
222
222
(,,)
x y z
n
a b c
→
=，
切平面方程为()()()0
2
2
2
2
2
2
0=
-
+
-
+
-z
z
c
z
y
y
b
y
x
x
a
x
，即1
2
2
2
=
+
+
z
c
y
b
x
a
z
y
x
。
依题意，有截距()0
2
2
2
>
=
=
=k
k
z
c
y
b
x
a
，即
k
c
z
k
b
y
k
a
x
2
2
2
,
,=
=
=。
由于切点在椭球面上，故有1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
??
?
?
?
?
+
??
?
?
?
?
+
??
?
?
?
?
c
k
c
b
k
b
a
k
a
，即1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
k
c
k
b
k
a
，
从而解得2
2
2c
b
a
k+
+
=，
于是有
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
b
a
c
,z
c
b
a
b
,y
c
b
a
a
x
+
+
=
+
+
=
+
+
=。
切平面方程为2
2
2c
b
a
z
y
x+
+
=
+
+。
题型4与函数的全微分、方向导数和梯度有关的题
例25设函数()
f u可微,且()1
2
f'=,则()
22
4
z f x y
=-在点(1,2)处的全微分()
1,2
d z=（研）
解：22
(1,2)
(1,2)
1
8(4)84
2
z
x f x y
x
?
'
=-=?=
?
，22
(1,2)
(1,2)
2(4)2
z
y f x y
y
?
'
=--=-
?
，
()
1,2(1,2)(1,2)
d 42z z
z
dx dy x dy x y ??=
+=-??。 【评注】一般地，若(),,z f x y =则()
00001,2(,)(,)
d x y x y z z
z
dx dy x y ??=
+??；
若(),,,u f x y z =则000000000000(,,)
(,,)(,,)
(,,)du
x y z x y z x y z x y z u u u dx dy dz x y z ???=
++???。
例26.设函数),(y x z z =由方程2=+----x y z xe x y z 所确定，则
=dz （2006-天津赛）.
解1:
令(,,)=z y x F x y z z y x xe ----+
1111z y x z y x z y x z y x
x z y x z y x z
F z e xe e xe x xe xe F ------------'?-+--+=-=-=?++'，
11111z y x z y x
y z y x z y x z F z xe xe y xe xe F --------'?--+=-=-==?++'
故1d 1z y x z y x
z y x
z z e xe z dx dy dx dy x y xe ------??-+=+=
+??+。 解2：由全微分形式不变性，得()0z y x z y x dz dy dx e dx xe dz dy dx ------++--=，故
1d 1z y x z y x
z y x
e xe z dx dy xe -------+=++。
【评注】求由隐函数所确定的函数的全微分时，既可以先利用隐函数的求导方法求出偏导数，再利用全微分的计算公式得dz ，也可以利用全微分形式不变性得dz
例27函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处，沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为 （2005-天津赛）。
解：
(1,0,1)12u x ?=
=
?
，(1,0,1)0u y ?==?，
(1,0,1)1
2u z ?==?，
(2,2,1)l AB ==-r u u u r ，221cos ,cos ,cos ,333
αβγ==-=
(2,2,1)
(2,2,1)(2,2,1)(2,2,1)1
cos cos cos 2
f
u u u l
x y z αβγ----????=
++=????。
【评注】一般地，
000000(,)
(,)cos (,)cos x y x y f f x y f x y l
αβ?=+?，
000000000000(,,)
(,,)cos (,,)cos (,,)cos x y z x y z f f x y z f x y z f x y z l
αβγ
?=++?，其中
cos ,cos ,cos αβγ是向量l r
的方向余弦。
例28.函数(,)arctan
x
f x y y
=在点(0,1)处的梯度等于 。（2008-研） 解：
2
2
2
(0,1)
(0,1)
(0,1)
(0,1)
11,
01()1()x f f y y x x x y
y
y -
??=
==
=??++，
所以(0,1)(0,1)
(0,1)f
f gradf i j i x y ??=+=??r r r 。
【评注】一般地，000000(,)((,),(,))x y gradf x y f x y f x y =；
000000000000(,,)((,,),(,,),(,,))x y gradf x y z f x y z f x y z f x y z =。
例289求,,a b c 的值，使函数232(,,)f x y z axy byz cx z =++在点(1,2,1)M -处沿z 轴正方向的方向导数有最大值64.
解：2223(,,)3,(,,)2,(,,)2x y z f x y z ay cx z f x y z axy bz f x y z by cx z '''=+=+=+，
(1,2,1)43,(1,2,1)4,(1,2,1)22x y z f a c f a b f b c '''-=+-=--=-，
设(1,0,0)l =r
，则cos 1,cos 0,cos 0αβγ===，
故
(1,2,1)
(1,2,1)cos (1,2,1)cos (1,2,1)cos x y z f f f f l
αβγ-?'''=-+-+-?43a c =+，
由方向导数与梯度的关系知，当(1,0,0)l =r
的方向与梯度
(1,2,1)(43,4,22)gradf a c a b b c -=+--的方向一致时，方向导数达到最大值。
据题意有436440220a c a b b c +=??
-=??-=?
，故4,16a b c ===。
【评注】方向导数沿梯度的方向达到最大值，且其最大值为梯度的模。
题型5 与多元函数极值有关的题
例30已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且
222
(,)(0,0)
(,)lim
1()
x y f x y xy
x y →-=+，则 (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点； (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点； (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点； (D) 无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.
（研）
【分析】 由题设，容易推知(0,0)0f =，因此点(0,0)是否为(,)f x y 的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内(,)f x y 是恒大于零、恒小于零还是变号.
解：应选（A ） 由
1)
(),(lim
2
22)
0,0(),(=+-→y x xy
y x f y x 知，分子的极限必为零，从而有(0,0)0f =, 且222222(,)()[()]f x y xy x y o x y -=+++ y x ,(充分小时），于是
特殊地，当x y =且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当x y -=且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是(,)f x y 的极值点，应选(A). 【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想（见例5的评注）。
例31设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0） （A ）不是(,)f x y 的连续点 ； （B ）不是(,)f x y 的极值点； （C ）是(,)f x y 的极大值点 ； （D ）是(,)f x y 的极小值点 。 解;应选 （ D ） 因dz xdx ydy =+可得
,z z
x y x y
??==??， 221z
A x ?==?，20z
B x y ?=
=??，221z C y ?==?，又在（0，0）处，0,0z z x y
??==??， 210AC B -=>，10A =>，故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点。
【评注】此题主要考察了极值的充分条件：设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域
内连续且有一阶及二阶连续偏导数? 又0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==， 令
000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C === ，则
① AC?B 2>0时具有极值? 且当A<0时有极大值? 当A>0时有极小值? ② AC?B 2<0时没有极值? ③ AC?B 2?0时可能有极值? 也可能没有极值?。
例32设z=z(x,y)是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值.
【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，为此先求出一阶偏导数，再令其为零即可确定驻点，然后用二元函数极值的充分条件确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点，并求出相应的极值.
解： 因为 0182106222=+--+-z yz y xy x ，方程两边分别对,x y 求导数得 02262=??-??--x
z z x z y
y x ， 0222206=??-??--+-y
z
z y z y
z y x . 令 ??
?????=??=??0,0y
z x
z
得 ???=-+-=-,0103,03z y x y x 故 ???==.,3y z y x
将上式代入0182106222=+--+-z yz y xy x ，可得 ?????===3,3,9z y x 或 ???
??-=-=-=.3,3,
9z y x
由于 02)(22222222=??-??-??-x
z
z x z x z y ，
02)(22222022222=??-??-??-??-??-y z
z y z y z y y z y z ，
对于驻点)3,3,9(，
61)3,3,9(2
2=??=x
z
A ，21
)3,3,9(2-=???=y
x z B ，3
5
)
3,3,9(2
2=
??=y
z C ， 故036
12>=-B AC ，又061
>=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为
z(9,3)=3.
对于驻点)3,3,9(---，类似地，由
61)3,3,9(2
2-=??=---x z A ，21
)3,3,9(2=???=---y x z B ，3
5
)3,3,9(2
2-=??=---y
z C ， 可知036
12>=
-B AC ，又061
<-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，
极大值为z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论了隐函数求极值问题，关键是：求可能的极值点时应注意,,x y z 满
足原方程，当然也可以利用公式x z F z
x F '?=-'?及y z F z y F '?=-'?求两个偏导数，但由于此题需要
求出二阶偏导数在驻点处的偏导数值，故在求,,A B C 时，还是用此例的方法运算量小。 例
33 设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy +=, 且
))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值.（2008-北京赛）
【分析】为证明),(y x g 在)0,0(取得极值,必须找出),(y x g 在)0,0(的各个二阶导数，为此需求出(,)f x y 在(1,0)点的一阶偏导数，由已知条件自然会想到利用微分的概念。 解 ：因为))1(()1(),(22y x o y x y x f +-+---=,
由全微分的定义知 0)0,1(=f ，1)0,1()0,1(-='='y x f f .
x f y e f g xy x 221?'+?'='，y f x e f g xy y 221?'+?'=' ，0)0,0(='x g ， 0)0,0(='y g
21112121222(2)(2)22xy xy
xy xy xx g f e y f x e y f e y f e y f x x f ''''''''''''=?+?+?+?+?+，
x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211?''+?''++?'+?''+?''=''， 21112121222(2)(2)22xy xy xy xy yy g f e x f y e x f e x f e x f y y f ''''''''''''=?+?+?+?+?+，