三角函数恒等变换(整理)
高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换
1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若
AO m AC B
C
AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定
2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有
D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题：
①函数x
x f -=2
)(为R 上的1高调函数；
②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数；
③如果定义域为),1[+∞-的函数2
)(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞；
④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数.
其中真命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 0cos )( 的解集是（ ） A ．)3,2()1,0()2,3(ππ ??- - B ．)3,2 ()1,0()1,2(π π??-- C ．)3,1()1,0()1,3(??-- D ．)3,1()1,0()2 ,3(??- -π 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 A.)23,23( B.)23,23(- C.)3,23( D.)23,23(- 5. 复数( )在坐标平面中对应的点分别是 ,若函 数 （ 为坐标原点），则下列命题正确的是（） A ．)(x f 最大值为2 B ．)(x f 的图像向左平移 4 π 个单位后对应的函数是奇函数 C ．)(x f y =的周期为π2 D ．)(x f 的图像向左平移 4 π 后对应函数图像关于0=x 对称 6.给出下列的四个式子：①b a -1，②b a +1，③a b +1，④a b -1；已知其中至少有两个式子的值与 的值相等，则（ ） A ．θθ2sin ,2cos ==b a B ．θθ2cos ,2sin ==b a C ．2cos ,2sin θθ ==b a D ．2 sin ,2cos θ θ==b a 7. 已知集合{})(|),(x f y y x M ==，若对于任意M y x ∈)(1,1，存在M y x ∈)(2,2，使得 02121=+y y x x 成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合： ①? ?????= =x y y x M 1|),( ②{}2|),(-==x e y y x M ③{}x y y x M cos |),(==④{}x y y x M ln |),(== 其中所有“好集合”的序号是 A ．①②④ B ．②③ C ．③④ D ．①③④ 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且 ＝(b －c ，cosC)，＝(a ，cosA)， ，则cosA 的值等于（ ） 9.已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数、 ，恒有 成立，则正整数可以取的值有（ ） A ．4个 B ．5个 C ．6 个 D ．7个 10. 直线与函数 的图像相切于点，且，为坐标原点，为图像的极大值点，与轴交于点 ，过切点 作轴的垂线，垂足为 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 11.函数（ω＞0），在区间[a ，b]上是增函数，且， 则函数 在[a ，b]上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．可以取得最大值M D ．可以取得最小值－M 12、下图展示了一个由区间 到实数集R 的映射过程：区间 中的实数x 对应 轴上的点M （如图1）：将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合（从A 到B 是逆 时针，如图2）：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在x 轴上，点A 的坐标为(1,0)（如图3），图3中直线OM 的斜率为k ，则x 的象就是k ，记作)(x f k =。 有下列判断： )(x f 是奇函数；(2) )(x f 是存在3个极值点的函数；(3) )(x f 的值域 是；(4) )(x f 是区间 上的增函数。其中正确的是( ) A 、(1)(2) B 、(1)(3) C 、(2)(3) D 、(1)(4) 13.设. 若当时，恒成立， 则实数M 的取值范围是（ ） A ． B. C ． D. 14. 函数x x x x f sin 2cos 231 sin )(---= )20(π≤≤x 的值域是( ) A.]0,2 2 [- B. ]0,1[- C. ]0,2[- D. ]0,3[- 15. 如图, l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线, l 1与l 2间的距离是1, l 2与l 3间的距离是2, 正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上, 则△ABC 的边长是( ) A.32 B. 364 C.4173 D. 3 21 2 16.已知函数x x x f sin )(= ，下列命题正确的是 .（写出所有正确命题的序号） ①)(x f 是奇函数； ②对定义域内任意x ，)(x f <1恒成立； ③当2 3π = x 时，)(x f 取得极小值； ④)3()2(f f >； ⑤当0>x 时，若方程k x f =)(有且仅有两个不同的实数解)(,βαβα>，则βαβsin cos -=. 17.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间 的“折线距离”. 则坐标原点与直线 上一点的“折线距离”的最小值是____；圆 上一点与直线 上一点的“折线距离”的最小值是___. 18.给出以下四个命题： ①已知命题 ；命题 则命题 是真命题； ②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是； ③函数在定义域内有且只有一个零点； ④若直线和直线 垂直，则角 其中正确命题的序号为______．（把你认为正确的命题序号都填上） 19.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数 的图象恰好通过 个格点，则称函数 为阶格点函数，下列函数： ①; ② ；③; ④ ; 其中是一阶格点函数的有_______. 20. 已知函数)(1 1sin )(R x x x x x f ∈++-=的最大值为M ，最小值为m ，则M+m 的值 _______. 21. 在△ 中，角 的对边分别为，已知，且 ，则△ 的面积的最大值为________. 22.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且c A b B a 2 1 cos cos =-，当)tan(B A -取最大值时,角C 的值为 . 23.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为 . 24.满足条件AB=2, AC= BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 . 25. 在△ABC 中, D 为边BC 上一点,CD BD 2 1 =， ∠ADB=120° , AD=2. 若△ADC 的面积为3-, 则∠BAC= . 26.在△ABC 中, B=60°, AC=, 则AB+2BC 的最大值为 . 27. 已知)0)(3sin()(>+ =ωπ ωx x f ，)3()6(ππf f =， 且f(x) 在区间)3 ,6(π π内有最小值, 无最大值, 则ω= . 28. 在中角的对边分别为且 ， （1）判断的形状； （2）求sinA+sinB 的取值范围； （3）若，试确定的取值范围. 29. 在一个特定时段内, 以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域. 点E正北55海里处有一个雷达观测站A. 某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B, 经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sin θ=, 0°<θ<90°) 且与点A相距10海里的位置C. (Ⅰ) 求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ; (Ⅱ) 若该船不改变航行方向继续行驶, 判断它是否会进入警戒水域, 并说明理由. 答案 1.A 2.D 3.B 4. A 5. D 6. A 7. B 8. C 9. B 10. B 11. C12. B 13.D 14.B15. D 16.②④⑤①中，函数的定义域是，且 ，所以函数是偶函数，所以①不正确；② 中，设，则，所以函数 是增函数，所以，所以，所以当时，，即，又函数是偶函数，所以当时，，所以，综上所得，对定义域内任意x，<1恒成立，所以②正确；③中，由于，所以 ，所以不是的极值点，所以③不正确；④中，当时，，所以恒成立，所以函数在区间上是减函数，又,所以，所以④正确；⑤中，当时，，所以关于的方程即 有且仅有两个不同的实数解，在同一坐标系中画出函数 和函数的图象，如图所示，则这两个图象仅有两个交点，且右边的交点是直线与函数的图象相切的切点，所以 是切点，并且切线斜率，所以切线方程是，又点在切线上，所以，即，所以⑤正确. 17.，18. ①③19.③④20.221.22. 23.(2-sin 2,1-cos 2)24.225.60°26.227. 28.（1）∵，∴，----1分 由正弦定理，得，∴， ∴，----------2分 又，∴，∴， ∴即， ∴，------------3分 ∴△ABC是直角三角形.------------------------------4分 (2)由（1）知， ∴=，---6分又 ， 即的取值范围是.---------------------------8分 (3)∵，∴， 由正弦定理，得，-------------9分 设=，则, ∴，------------------------------------------10分 ∴，， 设，， 则恒成立， ∴在上是减函数， ∴的值域是，即， ∴的取值范围为.----------------------------------12分29、(Ⅰ) 如图, AB=40, AC=10, ∠BAC=θ, sin θ=. 由于0°<θ<90°, 所以cos θ==. 由余弦定理得BC==10. 所以船的行驶速度为=15(海里/小时) . (Ⅱ) 解法一:如图所示, 以A为原点建立平面直角坐标系, 设点B、C的坐标分别是B(x1, y1) , C(x2, y2) , BC与x轴的交点为D. 由题设有, x1=y1=AB=40, x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ) =30, y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ) =20. 所以过点B、C的直线l的斜率k==2, 直线l的方程为y=2x-40. 又点E(0, -55) 到直线l的距离d==3<7. 所以船会进入警戒水域. 解法二:如图所示, 设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中, 由余弦定理得cos∠ABC= ==. 从而sin∠ABC===. 在△ABQ中, 由正弦定理得, AQ===40. 由于AE=55>40=AQ, 所以点Q位于点A和点E之间, 且QE=AE-AQ=15. 过点E作EP⊥BC 于点P, 则EP为点E到直线BC的距离. 在Rt△QPE中, PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC =QE·sin(45°-∠ABC) =15×=3<7. 所以船会进入警戒水域. 37.(Ⅰ) f '(x) = =. 当2kπ- cos x>-, 即f '(x) >0; 当2kπ+ cos x<-, 即f '(x) <0. 因此f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是增函数, f(x) 在每一个区间(k∈Z) 是减函数. 高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 两角和与差的正弦、余弦、正切 1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2?利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2?灵活使用（正用、逆用、变形用）两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键? 知识点回顾 1 ?两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( a—0)= cos acos0+ sin ocsin0(C a- 0 cos( a+ 0)= cos. acos _ 0— sin__ asin_ 0(C a+ 0 sin( a—0 = sin a cos0- cos ocsin (S a—0 sin( a+ 0 = sin a cos0+ cos ocsin0(S a+ 0 tan a—tan 卩 tan( a—? ；(T a—0 1 + tan atan 卩 tan a+ tan 卩 tan(%+ ? = (T a + 0 1 —tan %tan 0 2 ?二倍角公式 sin 2 a= 2sin ： cos：； cos 2 a= cos2a—sin2a= 2cos 2a—1 = 1 —2sin2a； 2ta n a tan 2 a= . 1 —tan a 3 ?在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等?如 T a±0可变形为 tan a± tan 0= tan( a± 0(1? tan_ %tan_ 0, tan a+ tan 0 tan a—tan 0 tan %tan 0= 1 —= —1. tan a+ 0 tan a—0 4 ? 函数f( a= a cos a+ b sin a(a, b 为常数),可以化为f( a = \i a2+ b2sin( a+ 0)或f( %)='：：：［a2+ 三角函数恒等变换 ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= -m m 说明：和差角公式和二倍角公式主要用于诱导公式无法使用的复合角求值问题，对于已知部分，要尽量和所求部分找出角度之间的关系。公式优先级：二倍角》诱导公式》和差角。 题型一，和差角公式的直接应用 分为展开计算和合并计算两类。对于展开计算即给角求角问题，无论所给的是否为单角，一律看成单角并用其凑出所求角；合并计算针对于给出正余弦的和差式，要想法朝角度的和差角展开式式凑，具体为先统一为两角再合并。 1计算： （1）??+??20sin 80sin 20cos 80cos = ； （2）??+??55cos 10cos 35cos 80cos = ； （3）cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π＝ ； （4）－sin 3πcos 6π+sin 6πcos 3π =__________； （5） sin 2πcos 6π－cos 2πsin 6π = _________ ； （6）cos 3πcos 6π+sin 6πsin 3π =____________； （7）cos 4πcos 2π－sin 2πsin 4 π =_____________； 三角函数 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β ，(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .(T (α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . 3．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . 4．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋ b 2，cos φ＝ a a 2＋ b 2. 练习题： 1．sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( ) A.22 B.12 C.32 D ．－22 2.(2016·全国丙卷)若tan α＝34 ，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 3．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010 ，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255 C.55 D ．－55 4．若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12 (x ∈R)，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2 的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 2019年 1.（2019北京9）函数f (x )=sin 2 2x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④ 3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ，且π4g ??= ???3π8f ?? = ??? A.2- B. D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0， 2 π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C ． 3 D 5 5.（2019江苏13）已知tan 2 π3tan 4αα=-? ?+ ?? ?，则πsin 24α??+ ?? ?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)若1 sin 3 α=，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 2．（2016年全国III ）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= A ． 6425 B ．4825 C ．1 D ．1625 3．（2016年全国II ）若3 cos( )45π α-=，则sin 2α=（ ） A ．7 25 B ．15 C ．15- D ．725- 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-= A ． B C ．12- D ．1 2 5．（2015重庆）若tan 2tan 5 π α=，则 3cos()10sin() 5 π απ α- -＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则 A ．0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A ．32 π αβ-= B ．22 π αβ-= C ．32 π αβ+= D ．22 π αβ+= 8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则 2222sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19- B ． 13 C ．1 D ．72 三角函数题型分类总结 一．求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（06福建）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江） 已知cos( )2 π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 9. 若 cos 2π2sin 4αα=- ?? - ? ? ?cos sin αα+= 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． §6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）. 5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则. 13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。 第四节 简单三角函数的恒等变换 知识梳理 一、将二倍角公式变形可得到的公式 1．降幂公式：sin 2α＝ __________ ，cos 2 α＝_________，sin αcos α＝_________. 2．升幂公式：1＋cos α＝____________， 1－cos α＝____________. 答案：1.1－cos 2α2 1＋cos 2α2 12sin 2α 2.2cos 2α2 2sin 2α 2 3．半角公式：sin α 2 ＝± 1－cos α2，cos α 2 ＝± 1＋cos α2，tan α 2 ＝± 1－cos α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α 1＋cos α . 注意：等号后的正、负号由α 2 所在的象限决定． 二、辅助角公式 a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2·sin ()x ＋φ，其中sin φ＝ b a 2＋b 2 ，cos φ＝a a 2＋ b 2 ， 即tan φ＝b a . 基础自测 1．已知cos ? ????x －π6＝－33，则cos x ＋cos x －π3＝( ) A ．－233 B ．±23 3 C ．－1 D ．±1 解析：∵cos ? ????x －π6＝－33，∴32cos x ＋12sin x ＝－33， ∴cos x ＋cos ? ????x －π3＝3 2cos x ＋32sin x ＝332cos x ＋12sin x ＝3×? ?? ??－33＝－1. 故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝sin 2 x ＋3sin x cos x 在区间???? ??π4，π2上的最大值是( ) 能运用和与差的三角函数公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆. 三角函数 三角恒等变换知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2 α 所在的象限。 来判断 3 α 所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）弧长公式： ；半径公式： ； 扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个 异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ； =αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线； 比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。 （三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 三角函数知识点总结 1、任意角。 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、 叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 6、弧度制与角度制的换算公式 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则L= ． S= 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是 () 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限 余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、同角三角函数的基本关系：(1) ;(2) 。 12、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???．()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ???． 口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式 ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 三角函数恒等变换练习题 1．（2019?四川模拟）在ABC ?中，若1tan tan tan tan ++=B A B A ，则=C cos （ ） A ．22- B ．2 2 C ．21- D ．2 1 2．（2019?重庆模拟）在锐角ABC ? 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C b a s i n 2=，则C B A tan tan tan ++的最小值是（ ） A ．4 B ．33 C ．8 D ．36 3．（2018?云南期末）=84tan 36tan 3-84tan 36tan ???+?（ ） A ．3- B ．3 C ．33- D ．3 3 4．（2018?武汉期末）=??+??+?18tan 12tan 18tan 60tan 12tan 3（ ） A ．33 B ．3 C ．1 D ．3 5．（2018?青羊期末）=24tan tan21+tan24+tan21????（ ） A ．1 B ．1- C ．3 D ．3- 6．（2018?贵阳期中）ABC ?的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若32=c ， B A tan tan + B A tan tan 33-=，则AB C ?的面积的取值范围是（ ） A ．),3[∞+ B ． C ．1(2 D ． 7．（2018?江西期中）在A B C ?中，角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，0=++GC GB GA ，且0=?GB GA ，若 C m B A B A tan tan tan tan tan =+，则实数m 的值是（ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．5 1 8．（2018?武汉模拟）在A B C ?中，?=60C ，12tan 2tan =+B A ，则=?2t a n 2t a n B A ． 9．（2018?金安期末）在A B C ?中，若B A B A tan tan 3333tan tan =+ +，则角=C ． 10．（2018?金水期中）在A B C ?中，已知三内角满足C A B +=2，则 2 t a n 2t a n 32t a n 2t a n C A C A ++的值为 ． 11．（2018?上海期中）在锐角ABC ?中，若C B A sin sin 3sin =，则C B A tan tan tan ??的最小值是 ． 12．（2017?浙江月考）在ABC ?中，12tan 2tan =+B A ，则2 tan C 的取值范围为 ． 13．（2018?江苏模拟）在锐角ABC ?中，若A tan ，B tan ，C tan 依次成等差数列，则C A tan tan ? 函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈?且 2、 当n 为奇数时， a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. 5、指数函数解析式：()1,0≠>=a a a y x 6、指数函数性质： 7、指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； 8、对数恒等式：log a N a N = 9、基本性质：01log =a ，1log =a a . 10、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=?? ? ??；⑶M n M a n a log log =. 11、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 12、重要公式：log log n m a a m b b n = 13、倒数关系：a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a . 三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο ο ο οοο----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，?????? ?=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征； 2.灵活使用 (正用、逆用、变形用 )两角和与差的正弦、余弦、 正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－ β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋ β)＝cos_αcos_β－ sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－ β)＝sin_αcos_β－ cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋ β)＝sin_αcos_β＋ cos_αsin_β (S α＋β) tan α－ tan β (T α－ β tan( α－ β)＝ 1＋ tan αtan β ) tan α＋ tan β (T α＋ β tan( α＋ β)＝ 1－ tan αtan β ) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ 2 sin cos ； cos 2α＝cos 2α－sin 2 α＝2cos 2α－ 1＝ 1－ 2sin 2α； tan 2 α＝ 2tan α 2 . 1－ tan α 3． 在准确熟练地记住公式的基础上， 要灵活运用公式解决问题： 如公式的正用、 逆用和变形用等． 如 T α±β 可变形为 tan α± tan β＝ tan( α±β)(1tan_ αtan_ β)， tan αtan β＝ 1－ tan α＋ tan β tan α－ tan β ＝ － 1. tan α＋β tan α－ β 4． 函数 f(α)＝ acos α＋ bsin α(a ，b 为常数 )，可以化为 f(α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋ φ)或 f(α)＝ a 2＋ b 2 cos(α－ φ)， 其中 φ 可由 a ， b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源 ] 三角变换中的 “三变 ” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是 “配凑 ”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有 “切化弦 ”、 “升幂与降幂 ”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有 “常值代 换 ”、 “逆用变用公式 ”、 “通分约分 ”、 “分解与组合 ”、 “配方与平方 ”等． 热身训练 2 1 tan α 1． 已知 sin(α＋ β)＝ ， sin(α－ β)＝－ ，则 的值为 _______． 3 5 tan β 三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 2、六组诱导公式 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sin α= 2 2tan 21tan 2 α α +, cos α= 22 1tan 21tan 2 αα -+ 3、形如asin α+bcos α的化简 asin α+bcos α22a b +α+β).其中cos β2 2 a b +,sin β2 2 a b + 三、简单的三角恒等变换 1、用cos α表示sin 2 2α,cos 22α,tan 22 α sin 22α = 1cos 2α -; cos 22α=1cos 2α+; tan 22 α=1cos 1cos αα -+ 注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。 2、用cos α表示sin 2α,cos 2α,tan 2 α sin 2α=1cos 2α -± cos 2α=1cos 2 α+± tan 2α= 3、用sin α,cos α表示tan 2 α tan 2α=sin 1cos 1cos sin αααα -= + 四、常用数据: 30456090、 、、的三角函数值 6sin15cos 75- == ,4 2615cos 75sin +== 3275cot 15tan -== ,3215cot 75tan +== 注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+ 2 21cos 1cos cos ,sin 2 222 α ααα +-= = 等. 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式. ⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。 ①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; 配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、 2 2 αβ αβ α+-= + 、2 2 αβ αβ β+-= - 、()ααββ=+-等. ③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 ④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 ⑤引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=a b 确定。 1、三角函数式的化简 ※相关※ （1）2()k k Z απ+∈，α-，πα±， 2 πα±的三角函数值是化简的主要工具。使用 诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式； （2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如： 52()22 π παπα+=++等。 注：若k πα+出现时，要分k 为奇数和偶数讨论。 《三角函数恒等变换》知识归纳与整理 一、 基本公式 1、必须掌握的基本公式 （1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±) ( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα±=±) ( 异名乘积的和与差 T T T T T β αβαβα 1) (±=± （2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22 = S C S C C 2 22222112ααααα -=-=-= 差点等于1 T T T 2 212α αα -= （3） 半角的三角函数 212 C S α α-± = 2 12 C C α α+± = C C T α α α +-± =112 θ θ θθθsin cos 1cos 1sin 2 -=+= T 2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差 ][21)()(C C C C βαβαβα-++= =S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-= （2） 和差化积 ][22 2 C S S S βα βαβα-+=+ ][22 2 C S S S βαβαβα+-=- ][22 2 C C C C βα βαβα-+=+ ][22 2 S S C C βα βαβα-+-=- （3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式） T T S 2 2 212α α α+ = T T C 22 2211αα α +-= T T T 2 2 212α α α- = （4） 辅助角公式 )sin(cos sin 2 2 ?++= +x x b x a b a 其中：a b = ?tan 常见的几种特殊辅助角公式： ① )4 sin(2cos sin π + =+x x x ② )3sin(2cos 3sin π +=+x x x ③ )6 sin(2cos sin 3π + =+x x x ④ )4sin(2cos sin π -=-x x x ⑤ )3 sin(2cos 3sin π -=-x x x ⑥ )6 sin(2cos sin 3π -=-x x x三角函数恒等变换(整理)
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