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福州市2018年度届高三上学期期末质检数学理试题

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ?=（） A ．()1,3 B ．()1,-+∞ C ．()1,+∞ D ．()(),11,-∞-?+∞

2.若复数

，则实数a =（）

A ．1

B ．1-

C ．1± D

．3.下列函数为偶函数的是（）

A ．tan 4y x π??=+ ??

? B ．2x

y x e =+ C ．cos y x x = D ．ln sin y x x =-

4.若2sin cos 12x x π??

+-= ???

，则cos2x =（）

A ．89-

B ．79-

C ．79

D ．7

5.已知圆锥的高为3

体积等于（）

A ．83π

B ．32

π C ．16π D ．32π

6.已知函数()22,0,

11,0,x x x f x x x

?-≤?

=?+>??则函数()3y f x x =+的零点个数是（）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（）

A ．23

B ．38

C ．44

D ．58

8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A ．14

B ．1042+

C ．

422

+21342++ 9.已知圆()2

1:582C x y ?

?-+-= ??

?，抛物线()2

:20E x py p =>上两点()12,A y -与()24,B y ，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的标准方程为（）

A ．12x =-

B ．1y =-

C ．1

2y =- D ．1x =-

10.不等式组1,

x y x y -≥??+≤?的解集记为D .有下列四个命题：

()1:,,22p x y D x y ?∈-≥ ()2:,,23p x y D x y ?∈-≥

()32

:,,23

p x y D x y ?∈-≥

()4:,,22p x y D x y ?∈-≤- 其中真命题的是（）

A ．23,p p

B ．14,p p

C ．12,p p

D ．13,p p

11.已知双曲线()22

22:10,0a x y E a b

b >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，

12122

//,5MN F F MN F F =，线段2

F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =u u u u r u u u u r ，则E 的离心率为（） A ．5 B ．15 C ．23 D ．10

12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知单位向量,a b r r 满足()

22a a b ?-=r r r

，则,a b r r 的夹角为．

14.设n 为正整数，32n

x x ?

?- ??

?展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为．

15.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移?个单位长度，得到函数2sin cos y x x =-的图象，则sin ?的值为．

16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ，O 为半圆的圆心，8

MN =

.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN 上，则裁出三角形面积的最大值为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列{}n a 中，()

*12111,2,322,n n n a a a a a n n N +-===-≥∈.设1n n n b a a +=-. （1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）设()2

412

n n

b c n =

-，求数列{}n c 的前n 项的和n S .

18.已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=?.E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F . （1）若CDE ?3

，求DE 的长；

（2）若74CF DF =，求sin DFC ∠.

19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90,224AB CD ABC CD AB CE ∠=?===，120,25BCE DE ∠=?=.

（1）证明：平面BCE ⊥平面CDE ；

（2）若4BC =，求二面角E AD B --的余弦值.

20.已知F 为椭圆22

:143x y C +=的右焦点，M 为C 上的任意一点.

（1）求MF 的取值范围；

（2）,P N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为3

4-，证明:,M N 两点的横坐标之和

为常数.

21.已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a =且()0,1x ∈，求证：

()21

f x x e x

<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,

:sin x t C y αα=??=?

（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐

标系中，直线:cos 24l πρθ?

?- ??

?（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；（2）若曲线C 上存在点到l 1

622

t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()1,f x x x R =-∈.

（1）求不等式()()

f x f x

≤--的解集；

（2）已知关于x的不等式()()1

f x f x x a

≤+--的解集为M，若

，求实数a的取值范围.

试卷答案一、选择题

1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA

二、填空题

13. 120? 14. 112 15.

三、解答题

17.解：（1）证明：因为()

*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈，1n n n b a a +=-，所以

()111211132n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a +++++++---==--()

1122n n n n

a a a a ++-=-，又因为121211

b a a =-=-=，

所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知11122n n n b --=?=，因为()2

412

n n

b c n =

-，

所以()2

412n

n n

b c n

-()()11112212142121n n n n ??

=- ?+--+??

，

所以12111111143352121n n S c c c n n ??

=+++=-+-++- ?-+??

L L

111421n ??=- ?+??

n =

+. 18.解：解法一：（1）依题意，得60BCD DAB ∠=∠=?，因为CDE ?

的面积S ，

所以1sin 2CD CE BCD ??∠=

所以12sin 602CE ???，

解得1CE =，

根据余弦定理，得DE =

=. （2）依题意，得3060ACD BDC ∠=?∠=?,，设CDE θ∠=，则060θ?<

在CDE ?中，由正弦定理得sin sin CF DF

ACD

θ=

∠，

4DF =，

所以sin 2CF DF θ=

，

所以cos θ=

所以(

)1sin sin 302DFC θ∠=?+=+=解法二：（1）同解法一.

（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=?∠=?,，设CDE θ∠=，则060θ?<

4DF =

，则DF =，由余弦定理，得2222DF CD CF CD CFcos ACD =+-?∠，

得227416x x =+-，

解得x =

x =

又因为1

CF AC ≤=

x ≤

，所以x =

所以DF =

在CDF ?中，由正弦定理，得sin sin CD DF

CFD ACD

∠∠，

得sin CFD ∠=

. 19.解：（1）证明：因为//,90AB CD ABC ∠=?，所以CD BC ⊥.

因为42,CD CE DE ===,222 C D CE DE +=，所以CD CE ⊥，因为BC CE C ?=，所以CD ⊥平面BCE . 因为CD ?平面CDE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .

（2）由（1）知，CD ⊥平面BCE ，故以点C 为坐标原点，分别以CB CD u u u r u u u r

、

的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -

所以()()()

()4,0,2,400,3,0,0,0,4A B E D -，，，所以()()

4,0,2,3,2AD AE =-=--u u u r u u u r

，

设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =r

，

则00AD n AE n ??=???=??

u u u r r u u u r r

，所以4205320x z x z -+=???-+-=??

，

取1x =，则()

1,33,2n =r

，

又因为平面ABD 的一个法向量为()0,1,0m =u r

，

所以()

3336

cos ,1133

n m =?++r u r

，所以二面角E AD B --36

20.解：解法一：（1）依题意得2,3a b ==，所221c a b =-=，所以C 的右焦点F 坐标为()1,0，设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ，则22143

M M x y +=，

所以()()222

2231134M M M M MF x y x x =-+=-+-

()2

21124444

M M M x x x =

-+=-，又因为22M x -≤≤，所以2

19MF ≤≤，所以13MF ≤≤，

所以MF 的取值范围为[]1,3.

（2）设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ，

设直线PM PN 、斜率分别为12k k 、，则直线PM 方程为()1P P y y k x x -=-，由方程组()22

11,43

P P x y y y k x x ?+

=???-=-?

消去y ，得 ()()22

2221

1111348484120P P P P P P k x

k k x y x k x k x y y +--+-+-=，

由根与系数关系可得()112

1834P P M P k k x y x x k -+=

+，

故()211112

1184833434P P P P P

M P k k x y k x k y x x x k k ---=

-=++，

同理可得()222

2834P P N P k k x y x x k -+=

+，

又123

k k ?=-，

故()22112

221338844343344P P P P N P x y k k x y k k x x k k ????--- ???

-????+===+??

+- ?

??1216843P P x k y k ++，则1216843

P P

N P x k y x x k +=-+2112148334P P P M k x k y x x k --=-

=-+，从而0N M x x +=.

即M N 、两点的横坐标之和为常数.

解法二：（1

）依题意得2,a b ==

1c =，

所以C 的右焦点F 坐标为()1,0，设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ，设C 上的任意一点M

的坐标为()

2cos αα，则(

))

()2

2cos 1cos 2MF αα

α=-+

=-，

又因为1cos 1α-≤≤，所以2

19MF ≤≤，所以13MF ≤≤，

所以MF 的取值范围为[]1,3.

（2）设P M 、两点坐标分别为()(),,,P P M M x y x y ，线段PM PN 、的中点分别为E F 、，点E 的坐标为

(),E E x y ，直线PM PN OE 、、的斜率分别为123k k k 、、，

由方程组22

1,43

3P P M M x y x y ?+=????+=??得222234P M P M y y x x -=--，所以34

P M P M P M P M y y y y x x x x -+?=--+，

所以

P M E P M E y y y x x x -?=--，

所以1334k k ?=-，

又因为123

4k k ?=-，

所以23k k =，所以//PN OE ，

所以MN 的中点在OE 上，同理可证：MN 的中点在OF 上，所以点O 为线段MN 的中点. 根据椭圆的对称性，

所以M N 、两点的横坐标之和为常数.

21.解：解法一：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，

()()()222

2111212ax ax a x ax f x a x a x x x

+---'=-+-==

， ①若0a =时，则()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减； ②若0a >时，当1

x a

=时，()0f x '=；当1

x a

<时，()0f x '<；当 1

x a >

时，()0f x '>. 故在10,a ?? ???上，()f x 单调递减；在1,a ??

+∞ ???上，()f x 单调递増；

③若0a <时，当1

2x a

=-时，()0f x '=；当12x a <-

时，()0f x '<；当12x a >-时，()0f x '>. 故在10,2a ??- ???上，()f x 单调递减；在1,2a ??

-+∞ ???上，()f x 单调递増.

（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证

()

f x x e x +-

<，只需证2

1ln 11x x x e x

-+-<，

即证()()

31ln 1x x x x x e -<+-.

设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-. 当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增. 所以()

1(1)g x g <=. 设函数()

31()x h x x x e =+-，则()

23()23x h x x x x e '=+--. 设函数233()2p x x x x =+--，则()2163p x x x '=--. 当()0,1x ∈时，()()0180p p ''?=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=，

从而函数()p x 在()00,x 上单调递增；在()0,1x 上单调递减.

当()00,x x ∈时，()()002p x p >=，当()0,1x x ∈时，()()0140p x p <-

故存在()10,1x ∈，使得()10h x '=，

即当()10,x x ∈时，()0p x >，当()1,1x x ∈时，()0p x < 从而函数()h x 在()10,x 上单调递增；在()1,1x 上单调递减. 因为()()01,1h h e ==，

故当()0,1x ∈时，()()01h x h >= 所以()()

()31ln 1,0,1x x x x x e x -<+-∈，即()()21

1,0,1x

f x x x e x

<∈. 解法二：（1）同解法一. （2）若0a =且()0,1x ∈，欲证

()

1x f x x e x +-

<，

只需证2

1ln 11x x x e x

-+-<，

即证()()

31ln 1x x x x x e -<+-.

设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-. 当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增. 所以()

1(1)g x g <=. 设函数()()

()31,0,1x h x x x e x =+-∈，

因为()0,1x ∈，所以3x x >，所以311x x +->，又1x e e <<，所以()1h x >，所以()()1h g x x <<，即原不等式成立.

解法三：（1）同解法一. （2）若0a =且()0,1x ∈，欲证

()21

f x x e

<，

只需证

1ln 11x x x e x

-+-<，由于01ln 0,1x x e e ->>=，则只需证明21

1ln 1x x x

-+-

<，只需证明2 01ln x x x -+>，令()()()2 0,1

ln 1g x x x x x =-+∈，则()322

21112120x x x g x x x x x x ---'=--=<<，则函数()g x 在()0,1上单调递减，则()()10g x g >=，所以201

ln x x x

>成立，即原不等式成立.

22.解：（1）因为直线l

的极坐标方程为cos 4πρθ?

?-= ??

?cos sin 2ρθρθ+=，

所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,

sin x t y αα=??=?

（α参数，0t >）

所以曲线C 的普通方程为2

221x y t

+=，

由22

22,1,x y x y t

+=???+=??消去x 得，()

2221440t y y t +-+-=，所以()()

22016414t t ?-+-<=，

解得

0t < 故t

的取值范围为(.

（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l

的距离d =

，

故d

解得t =

又因为0t >，所以t =23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ?-+-≤，

1,323,x x ??-≤?

解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，

所以03x ≤≤，

故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.

（2）因为31,2M ??

? ???，

所以当31,2x ??

∈ ???

时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立，

而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ?--+-≤?-≤--，因为31,2x ??

∈ ???

，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+，

由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ??

∈ ???

恒成立，

所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22??????

2018年全国各地高考数学一模试卷(理科)及答案解析(合集)

2018年全国普通高等学校招生高考数学模拟试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知集合A={x|2﹣x＞0}，B={x|（）x＜1}，则（） A．A∩B={x|0＜x≤2}B．A∩B={x|x＜0}C．A∪B={x|x＜2}D．A∪B=R 2．（5分）已知i为虚数单位，a为实数，复数z满足z+3i=a+ai，若复数z是纯虚数，则（） A．a=3 B．a=0 C．a≠0 D．a＜0 3．（5分）我国数学家邹元治利用如图证明勾股定理，该图中用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（） A．B．C．D． 4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=6π，则tan a5=（）A．B．C．﹣D．﹣ 5．（5分）已知函数f（x）=x+（a∈R），则下列结论正确的是（） A．?a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递增 B．?a∈R，f（x）在区间（0，+∞）内单调递减 C．?a∈R，f（x）是偶函数 D．?a∈R，f（x）是奇函数，且f（x）在区间（0，+∞）内单调递增 6．（5分）（1+x）（2﹣x）4的展开式中x项的系数为（） A．﹣16 B．16 C．48 D．﹣48 7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）

A．π+4+4 B．2π+4+4 C．2π+4+2 D．2π+2+4 8．（5分）若a＞1，0＜c＜b＜1，则下列不等式不正确的是（） A．log2018a＞log2018b B．log b a＜log c a C．（a﹣c）a c＞（a﹣c）a b D．（c﹣b）a c＞（c﹣b）a b 9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的n值为11，则判断框中的条件可以是（） A．S＜1022？B．S＜2018？C．S＜4095？D．S＞4095？ 10．（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y=g（x）的图象重合，则（） A．g（x）=2sin（2x+）B．g（x）=2sin（2x+）C．g（x）=2sin2x D．g（x）=2sin（2x﹣） 11．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C与P、Q两点，则+的值为（） A．B．C．1 D．2 12．（5分）已知数列{a n}中，a1=2，n（a n+1﹣a n）=a n+1，n∈N*，若对于任意的

2018-2019学年福州数学初三二检质量检测试卷

2018-2019学年福州数学初三二检质量检测试卷一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1. 下列天气预报的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） 2. 地球绕太阳公转的速度约110 000千米／时，将110 000用科学记数法表示，其结果是（） A.6101.1? B.5101.1? C.41011? D.6 1011? 3. 已知△ABC ∽△DEF ，若面积比4：9，则它们对应高的比是（） A.4:9 B. 16:81 C. 3:5 D. 2:3 4. 若正数x 的平方等于7，则下列对x 的估算正确的是（） A. 1＜x ＜2 B. 2＜x ＜3 C. 3＜x ＜4 D. 4＜x ＜5 5. 已知b a ∥，将等腰直角三角形ABC 按如图所示的方式放置，其中锐角顶点B ，直角顶点C 分别落在直线b a 、上，若∠1=15°，则∠2的度数是（） A.15° B.22.5° C.30° D.45° 第5题第8题 6. 下列各式的运算或变形中，用到分配律的是（） A.662332=? B.222)(b a ab = C.由52=+x 得25-=x D.a a a 523=+ 7. 不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的a 个白球，b 个红球，c 个黄球，则任意摸出一个球，是红球的概率是（） A.c a b + B.c b a c a +++ C.c b a b ++ D.b c a + 8. 如图，等边三角形ABC 边长为5，D 、E 分别是边AB ，AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF=2，则BD 的长是（） A.724 B.8 21 C.3 D.2 9. 已知Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD 平分∠BAC ，则点B 到射线AD 的距

2018年高考理科数学模拟试题1

2018学年高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，，{} =21B x x a a A =-∈，，则=( ) A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A.i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中，13521a a a ++=，24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 2 1e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在5 2)(y x x ++的展开式中，含2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数())2log(x a x f -=在)1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.11<<