工科数学分析教学大纲

工科数学分析教学大纲

课程编号：

学分：11

学时：165（其中讲课学时：131，习题课学时：34，上机学时：0）先修课程：初等数学

适用专业：机械类、电气类培优班

教材：《高等数学》（上、下册），同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2007年第6版

《高等数学》（上、下册），田立新主编，江苏大学出版社，2007

年第1版

开课学院：理学院

一、课程的性质与任务

工科数学分析是工科院校某些专业的一门重要的基础理论课程。通过这门课程的学习，要使学生系统地获得微积分与常微分方程的基本知识（基本概念，必要的基础理论和常用的运算方法），培养学生具有比较熟练的运算能力、抽象思维和形象思维能力、逻辑推理能力、自学能力以及一定的数学建模能力，正确领会一些重要的数学思想方法，使学习受到数学分析的基本概念、理论、方法解决几何、物理及其它实际问题的初步训练，以提高抽象概括问题的能力和应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学习后继课程和知识的自我更新奠定必要的基础。

二、课程的基本内容及要求

（一）极限与连续

基本要求：

1. 理解极限的概念，理解极限的ε-N，ε-δ，ε-X定义的含义，理解函数左、右极限的概念，掌握极限存在与左、右极限之间的关系，掌握利用极限定义证明某些简单的极限的方法。

2. 掌握极限的性质及四则运算法则。

3. 掌握极限性存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握用两个重要极限求极限的方法，了解实数连续性的几个等价命题。

4. 理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小替换求极限。

5. 理解函数在一点处连续和间断的概念，理解函数的一致连续性概念。

6. 了解初等函数的连续性，掌握讨论连续性的方法，会判别间断点的类型。

7. 理解闭区间上连续函数的性质，会用介值定理讨论方程根的存在性。

重点：

极限概念，无穷小量，极限的四则运算，函数的连续性。

难点

极限的定义，实数连续性等价命题，函数的一致连续性概念。

（二）一元函数微分学

基本要求：

1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，了解函数的可导性和连续性的关系，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率，了解微分概念中所包含的局部线性化思想。

2. 熟练掌握导数与微分的运算法则及导数的基本公式，了解一阶微分形式的不变性。

3. 熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数的计算，会求分段函数的导数，会计算常用简单函数的n阶导数，会求函数的微分。

4. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。

5. 理解并会用Rolle定理、Lagrange中值定理，了解并会用Cauchy中值定理。

6. 理解函数的极值概念，熟练掌握利用导数求函数的极值，判断函数的增减性、凸性、求曲线的拐点及函数作图（包括求渐近线）的方法，会解决应用题

中简单的最大值和最小值问题。

7. 熟练掌握利用L′Hospital法则求未定式极限的方法。

8. 理解并会用Taylor定理，掌握e x、sin x、cos x、ln(1+x)及(1+x) 的Maclaurin 公式,了解Taylor定理中用多项式逼近函数的思想。

重点

1.导数、微分的概念，导数的几何意义，初等函数导数的求法。

https://www.sodocs.net/doc/0c12279901.html,grange中值定理、Taylor公式、L′Hospital法则，函数增减性的判定，函数的极值及其求法，最值问题。

难点

Lagrange中值定理，Taylor公式。

（三）一元函数积分学

基本要求：

1. 理解原函数、不定积分和定积分的概念及性质，了解定积分中值定理。

2. 熟练掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法。

3. 会求简单有理函数、简单的三角函数有理式及简单无理函数的积分。

4. 理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握Newton-Leibniz公式。

5. 熟练掌握用微元法建立一些常见的几何量和物理量的定积分表达式，从而求出这些量的方法。

6. 了解用梯形法和抛物线法求定积分的近似值的思想。

7. 理解两类反常积分的概念，会计算一些简单的反常积分，知道反常积分的审敛法（比较法和极限法）。

重点：

1. 原函数、不定积分和定积分的概念，积分中值定理，基本积分公式。

2. 不定积分和定积分的换元法和分部法，变上限的定积分作为上限的函数及其求导定理，Newton-Leibniz 公式。

3. 微元法。 难点：

定积分概念，变上限的定积分作为上限的函数及其求导定理，微元法。 （四）常微分方程 基本要求

1. 理解微分方程的阶及其解、通解、初始条件和特解等基本概念。

2. 熟练掌握一阶变量可分离方程和线性方程的识别和解法。

3. 掌握一阶齐次方程和Bernoulli 方程的识别和解法，从中领会用变量代换求解微分方程的思想。

4. 会识别及解全微分方程。

5. 掌握用降阶法求解)y f(y,y )y f(x.y f(x),y (n)'='''=''=和型的方程。

6. 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

7. 熟练掌握二阶常系数线性齐次及非齐次方程（其中自由项是

x B x A Ae x P x n γβαsin cos ,),(+以及它们的和与积）的解法，了解高阶常系数线性齐

次方程的解法。

8. 了解用常数变易法解二阶常系数线性微分方程的思想。 9. 掌握Euler 方程的识别及解法。 10. 知道微分方程的幂级数解法。

11. 会用微分方程或方程组解决一些简单的应用问题。 12. 知道简单的常系数线性微分方程组的解法。 重点

微分方程的概念、通解、特解，变量可分离方程与一阶线性方程的解法，线性微分方程解的结构，二阶常系数线性方程的解法。

（五）无穷级数

基本要求：

1. 理解级数的收敛、发散及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质，

2. 掌握几何级数和p级数的收敛性。

3. 掌握正项级数的比较审敛法及其极限形式和根值审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。

4. 掌握交错级数的Leibniz定理，并会估计符合Leibniz定理条件的交错级数的截断误差。

5. 理解无穷级数的绝对收敛和条件收敛的概念，知道任意项级数的审敛步骤。

6. 理解函数项级数收敛域及和函数的概念，知道一致收敛概念和优级数判别法，知道一致收敛级数的性质。

7. 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求一些幂级数的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

8. 了解函数展开为Taylor级数的充分必要条件。

9. 熟练掌握e x,Maclaurin

x

x

和α

+展开式，会用间接法将

sin的

x+

x

1(

)

,

1

)

cos

,

ln(

一些简单函数展成幂级数，了解利用将函数展成幂级数进行近似计算的思想。

10. 了解用三角函数逼近周期函数的思想，理解Fourier级数的概念，了解函数展开为Fourier级数的Dirichlet定理，会将定义在[-l l,]上的函数展开为Fourier级数，会将[0，l]上的函数展成正弦级数或余弦级数，知道Fourier级数的复数形式。

重点：

1. 无穷级数收敛和发散的概念，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，

2. 幂级数的收敛半径和收敛域的求法，Taylor级数，函数的幂级数展开。

3. Fourier级数，函数展开为正弦或余弦级数。

难点：

正项级数的比较审敛法及其极限形式，条件收敛级数的判定，级数求和，函数项级数一致收敛的概念，用间接法将函数展为Taylor级数。

（六）多元函数微分学

基本要求：

1. 理解点集、邻域、区域及多元函数的概念。

2. 了解二元函数的极限和连续的概念，知道有界闭区域上连续函数的性质。

3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充分条件和必要条件，理解方向导数和梯度的概念。

4. 熟练掌握复合函数和隐函数的求导法则，掌握求高阶偏导数的方法，掌握方向导数和梯度的求法。

5. 知道二元函数的Taylor公式。

6. 掌握空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的求法，知道Frenet 标架，会求空间曲线的曲率和挠率。

7. 理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用Lagrange 乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。

重点：

多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，偏导数的计算，Lagrange乘数法。难点：

多元函数的极限概念，复合函数的高阶偏导数，二元Taylor公式。

（七）多元函数积分学

基本要求：

1. 理解二重积分、三重积分、两类曲线积分及两类曲面积分的概念和性质。

2. 熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）和三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标和球面坐标）。

3. 知道重积分的一般换元法则，会用一般换元法则计算一些简单的二重积分和三重积分。

4. 知道含参变量常义积分与反常积分的概念及性质，会求一些简单的含参变量积分。

5. 熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算法，了解两类曲线积分，两类曲面积分之间的区别和联系。

6. 掌握Green公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。

7. 掌握Gauss公式并会利用它计算曲面积分，了解Stokes公式，并能利用它计算某些曲线积分。

8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

9. 了解场的基本概念和某些特殊场，知道散度，旋度的概念，并会计算。重点：

二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分的概念与计算方法，Gauss公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

难点：

重积分化为累次积分时积分上、下限的确定，第二型曲面积分的概念与计算。

三、课程学时分配

注：数学实验内容穿插其中，没有单独列出。

制定人：丁丹平

审定人：李医民

批准人：

2007年9月10日

课程简介

课程编号：

课程名称：工科数学分析

英文名称：Mathematical Analysis for Technology

学分：11

学时：165（其中讲课学时：136，习题课学时：29，上机学时：0）课程内容：高等数学（A）主要内容是：函数与极限，导数与微分，中值定理与导数的应用，不定积分，定积分及其应用，向量代数与空间

解析几何，多元函数微分学，重积分，曲线积分与曲面积分，无

穷级数与常微分方程。通过本课程的学习，使学生掌握高等数学

的基本知识，培养和提高学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空

间想象能力，以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力。选课对象：机电类、管理类本专科各专业一年级学生。

先修课程：初等数学（包括平面解析几何）

教材：《高等数学》（上、下册），同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2007年第6版

《高等数学》（上、下册），田立新主编，江苏大学出版社，2007

年第1版