1.正弦定理和余弦定理
在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则
2.S △ABC =2ab sin C =2bc sin A =2ac sin B =4R =2(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r .
1.在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 2.在△ABC 中,sin 2A =sin 2B ,?2A =2B 或2A =π-2B ,?A =B 或A +B =π 2, 3.在△ABC 中,三角形三边关系:a+b>c; a-b 4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 成等差数列?B =π3,A +C =2π 3. 5.在斜△ABC 中,tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C . 6.三角形中的射影定理 在△ABC 中,a =b cos C +c cos B ;b =a cos C +c cos A ;c =b cos A +a co 7.在△ABC 中,B b a B B A B A B A cos 2cos sin 2sin 2sin sin ,2=?=?==则 8. C bc bc c b C bc bc c b C bc c b a cos 22)(cos 22)(cos 222222-+-=--+=-+= 1.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且2bcos C =2a +c. (1)求B ;(2)若b =2,a +c =5,求△ABC 的面积. 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且bcos A =(2c -a)cos B. (1)求B ; (2)若b =13,△ABC 的面积为3,求△ABC 的周长. 3.(2017新课标Ⅱ)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求cos B ( 2)若6a c +=,ABC ?面积为2,求b . 3:已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边 ,cos sin 0a C C b c +--= (1)求A ;(2)若2a =,求sinB+sinC 的范围,(3) 若2a = 求b+c 的范围 , (4)若2a =,求ABC ?面积的最大值. 4.设锐角 ABC 的三内角,,A B C 所对边的边长分别为,,a b c ,且1,2a B A ==,则b 的取值范围为( ) A. B. ( C. ) D. ()0,2 1.在△ABC 中,若a =2,c =4,B =60°,则b 等于( )A .23 B .12 C .27 D .28 2.在△ABC 中,a =3,b =5,sin A =13,则sin B =( ) A.15 B.59 C.5 3 D .1 3.在△ABC 中,已知b =40,c =20,C =60°,则此三角形的解的情况是( ) A .有一解 B .有两解C .无解 D .有解但解的个数不确定 4.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =7,b =3,c =2,则A =________. 5在△ABC 中,A =60°,AC =4,BC =23,则△ABC 的面积等于________. 6.已知△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a =1,b =3,A =30°,则c =________. 7.(2019·莆田联考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a sin B cos C +c sin B cos A =1 2b ,且a >b , 则B =( )A.π 6 B.π3 C.2π3 D.5π6 8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin 2B +sin 2C =sin 2A +sin B sin C . ①求角A 的大小; ②若cos B =1 3 ,a =3,求c 的值. 8.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中,cos C 2=5 5,BC =1,AC =5,则AB =( )A .4 2 B.30C.29 D .25 9.(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知a ,b ,c 分别是△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边,且c =2,C =π 3,若 sin C +sin(B -A )=2sin 2A ,则A =________. 10.(2019·开封模拟)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin A +b sin B +2b sin A =c sin C . 2sin()8sin 2 B A C += (1)求C ;(2)若a =2,b =22,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长. 考点二与三角形面积有关的问题(2019·武汉调研)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且 2b cos C =2a +c . (1)求B ;(2)若b =2,a +c =5,求△ABC 的面积. 11.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 2 4 ,则C =( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6 12.(2019·沈阳模拟)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c =5,B =2π3,△ABC 的面积为1534, 则cos 2A =________. 3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b cos A =(2c -a )cos B. (1)求B ; (2)若b =13,△ABC 的面积为3,求△ABC 的周长. 考点三平面图形中的计算问题 4.如图所示,在平面四边形ABCD 中,∠ABC =3π 4 ,AB ⊥AD ,AB =1. (1)若AC =5,求△ABC 的面积; (2)若∠ADC =π 6 ,CD =4,求sin ∠CAD . 1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin A a =cos B b ,则B 的大小为()A .30°B .45° C .60° D .90° 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若A =π3,3sin 2C cos C =2sin A sin B ,且b =6,则c =(A .2 B .3C .4 3.()在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b 2=ac ,a 2+bc =c 2+ac ,则c b sin B 的值为( ) A.12 B.32 C .2 D.233 4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin A sin B =a c ,(b +c +a )(b +c -a )=3bc ,则△ABC 的形状为( )A .直 角三角形 B .等腰非等边三角形 C .等边三角形 D .钝角三角形 5.(2019·四平质检)在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边且∠A =60°,若S △ABC =33 2 且2sin B =3sin C ,则△ABC 的周长等于( )A .5+7 B .12 C .10+7 D .5+27 6.(2019·太原模拟)在△ABC 中,AB =2,AC =3,∠BAC =90°,点D 在AB 上,点E 在CD 上,且∠ACB =∠DBE =∠DEB ,则CD =________. 7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,若cos C =14,c =3,且a cos A =b cos B ,则△ABC 的面积等于. 8.(在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a cos B -c -b 2=0,a 2=72bc ,b >c ,则b c =_____. 9.(2019·惠州调研)已知△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2cos C (a cos C +c cos A )+b =0. (1)求角C 的大小; (2)若b =2,c =23,求△ABC 的面积. 10(2017·Ⅲ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知C =60°,b =6,c =3,则A =___. 11.(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,则A =( )A.π6 B.π3 C.5π 6 D.2π 3 13.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin B +sin A (sin C -cos C )=0,a =2,c =2,则C =( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π 3 14.(2019·郑州二模)在△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2cos 2A +B 2-cos 2C =1,4sin B =3sin A ,a -b =1,则c 的值为( )A.13 B.7 C.37 D.6 (15.在△ABC 中,已知a =2,b =6,A =45°,则满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确 16△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos C (a cos B +b cos A )=c . (1)求C ; (2)若c =7,△ABC 的面积为33 2 ,求△ABC 的周长. 1.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不确定 2.在△ABC 中,若b =a sin C ,c =a cos B ,则△ABC 的形状为 3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin A sin B =a c ,(b +c +a )(b +c -a )=3bc ,则△ABC 的形状为( )A .直 角三角形 B .等腰非等边三角形C .等边三角形 D .钝角三角形 4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π 3 ,则△ABC 的面积是( ) A .3 B.932 C.33 2 D .335.在△ABC 中,a =3,b =26,B =2A .(1)求cos A 的值. (2)求c 的值. 6. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知(a -3b )·cos C =c (3cos B -cos A ).(1)求sin B sin A 的值;(2)若c =7a ,求角C 的大小. 7.在△ABC 中,已知asinA-csinC=(a-b )sinB, △ABC 外接圆的半径为. (1)求C ; (2)求△ABC 的面积S 的最大值. 必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中,已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解:::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。 例2在ABC 中,已知 ,C=30°,求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。 解:∵C=30°, ,∴由正弦定理得: sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin (150°-A ). ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°,即A=75°时,a+b 取得最大值 2 ; ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A <150°,∴0°<A <150°, ∴-75°<75°-A <75°,∴cos75°<cos(75°-A)≤1, ∴> 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2:利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中,2 a ·tanB=2 b ·tanA ,判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC 的形状。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中; (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等; (3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: ①延长中线构造全等三角形; ②利用翻折,构造全等三角形; ③引平行线构造全等三角形; ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: 1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”. 2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”. 3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的 思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是 全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相 等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答. 常见辅助线写法: ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线,垂足为D ⑶延长AB至C,使BC=AC ⑷在AB上截取AC,使AC=DE ⑸作∠ABC的平分线,交AC于D ⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点 三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°, ∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则 2.S △ABC =2ab sin C =2bc sin A =2ac sin B =4R =2(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r . 1.在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A +B =90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B =c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 (1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =2 1ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高); (2)?S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。 一、知识梳理 1.内角和定理:在ABC ?中,A B C ++=π;sin()A B +=sin C ;cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角,反之亦然. 2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一:R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二: ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三:::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四: sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一:2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二: 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ,可求出角C ,再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ,由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ,求出a ,再由余弦定理,求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ,由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ,由正弦定理sin sin a b A B = ,求出另一边b 的对角B ,由C =π-(A +B ),求出c ,再由sin sin a c A C =求出C ,而通过sin sin a b A B = 求B 时,可能出一解,两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一:利用正弦定理解三角形必修五解三角形常考题型非常全面
初中几何经典培优题型(三角形)
三角形解答题单元培优测试卷
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解三角形的必备知识和典型例题及习题
正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师
高二解三角形综合练习题