【精选】北师大版七年级上册数学 有理数单元培优测试卷

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图，已知数轴上有A、B两点(点A在点B的左侧)，且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒.

（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是________；

（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是________个长度单位；

（3）当点A表示的数是－3时，用含t的代数式表示点P表示的数；

（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值.

【答案】（1）-4

（2）6

（3）解：当点A为-3时，点P表示的数是-3+2t；

（4）解：当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（8?2t），

解得，t＝，

当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t?8），

解得，t＝8，

∴当t＝或8秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍.

【解析】【解答】解：（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，

则|a|＋|b|＝8，又|a|＝|b|，

∴|a|＝4，

∴a＝?4，

则点A表示的数是?4；

（ 2 ）∵P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，

∴当t＝3秒时，点A与点P之间的距离为6个单位长度；

【分析】（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，两点间的距离是8及互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，到原点的距离相等即可判断得出答案；

（2）根据路程等于速度乘以时间即可得出答案；

（3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数；

（4）分当点P在线段AB上时，AP=2t，BP=（8-2t），根据AP＝2PB 列出方程，求解即可；当点P在线段AB的延长线上时，AP=2t，BP=（2t-8），根据 AP＝2PB 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案.

2．如图，已知数轴上点A表示的数为-3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12.动点P 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）. （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀

速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P到达A点时，P、Q停止

运动.设运动时间为t秒.

①当点P与点Q重合时，求t的值，并求出此时点P表示的数.

②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.

【答案】（1）9；-3+2t

（2）解：①根据题意，得：（1+2）t=12，

解得：t=4，

∴-3+2t=-3+2×4=5，

答：当t=4时，点P与点Q重合，此时点P表示的数为5；

②P与Q重合前：

当2AP=PQ时，有2t+4t+t=12，解得t= ；

当AP=2PQ时，有2t+t+t=12，解得t=3；

P与Q重合后：

当AP=2PQ时，有2（8-t）=2（t-4），解得t=6；

当2AP=PQ时，有4（8-t）=t-4，解得t= ；

综上所述，当t= 秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点

【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是-3+12=9，点P表示的数是-3+2t，

故答案为：9，-3+2t；

【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于两坐标之差的绝对值可求得点B所表示的数；根据路程=速度×时间可得点P运动的距离，再根据平移的点的坐标的性质可得点P表

示的数；

（2）①由题意可列方程求解；②分两种情况讨论求解：

P与Q重合前：

当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解；

当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；

P与Q重合后：

当AP=2PQ时，可得关于t的方程求解；

当2AP=PQ时，可得关于t的方程求解。

3．列方程解应用题

如图，在数轴上的点A表示，点B表示5，若有两只电子蜗牛甲、乙分别从A、B两

点同时出发，保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度秒，乙的平均速度为1单位长度秒请问：

（1）两只蜗牛相向而行，经过________秒相遇，此时对应点上的数是________．

（2）两只蜗牛都向正方向而行，经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙？

【答案】（1）3；2

（2）解：设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有

，

解得．

答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙

【解析】【解答】解：（1）设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，依题意有

，

解得．

．

答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是2．

【分析】（1）可设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，根据等量关系：两只蜗牛的速度和时间，列出方程求解即可；（2）可设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，根据等量关系：两只蜗牛的速度差时间，列出方程求解即可．

4．已知数轴上点A对应的数是，点B对应的数是一只小虫甲从点A出发，沿着数轴由A向B以每秒2个单位的速度爬行，到B点运动停止；另一只小虫乙从点B出发，沿着数轴由B向A以每秒4个单位的速度爬行，到A点运动停止，设运动时间为t. （1）若小虫乙到达A点后在数轴上继续作如下运动：第1次向左爬行2个单位，第2次向右爬行4个单位，第3次向左爬行6个单位，第4次向右爬行8个单位，，依此规律爬下去，求它第10次爬行后，所停点对应的数：

（2）用含t的代数式表示甲、乙的距离S；

（3）当甲、乙相距40个单位长度时，求运动时间t；

（4）若点Q是线段BA延长线上一点，QB的中点为M，QA的三等分点为N，当点Q运动

时，探究是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）解：第10次爬行所对应的数为

（2）解：当甲、乙相遇时，秒时，甲、乙相遇；

当甲到达B点是，秒；当乙到达A点时，秒；

①当时，甲、乙距离；

②当时，甲、乙距离；

③当时，乙到达A点，此时甲、乙距离 .

（3）解：①当时，，；

②当时，，；

③当时，，；

综上，运动时间t为，或20.

（4）解：设点Q对应的数是a，则M表示的数是，

①当N为靠近Q点三等分点时，N表示的数是，

，

故当N为靠近Q点三等分点时，是定值，定值为20；

②当N为靠近A点三等分点时，N表示的数是，

，

故当N为靠近A点三等分点时，不是定值.

【解析】【分析】（1）向左爬行用减法，向右爬行用加法，列出式子求出结果即可；（2）分三种情况，相遇前、相遇后和乙到达A点后，分别在数轴上找出数量关系列出式子即可；（3）借助第二问的结论，令求出t的值即可；（4）设点Q表示的数为a，用a的代数式表示出M和N表示的数，进而用t的式子表示出BN和QM的长，求出

的值，如果结果中不含有a，则式子为定值；反之则不是定值.

5．同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：

（1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________；

（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；

（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；

（4）当a=________时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是________；

（5）当a=________时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________.

【答案】（1）2；6

（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1.

（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;

（4）1；9

（5）1；2n2+3n

【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；

（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；

(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1

当a=1时

原式=3+2+5+4+……+（2n+1）+2n

=2+3+4+5+……+2n+（2n+1）

=

= 2n2+3n

故：答案为1， 2n2+3n ．

【分析】（1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；

（2）此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，从而找出1到-2 的整数即可；

（3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可；

（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可；

（5）|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）| 表示的是a到1，-2，3，-

4，5，……-2n,2n+1的距离和，故要使，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1，把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。

6．对于有理数，定义一种新运算“ ”，观察下列各式：

，，

.

（1）计算： ________， ________.

（2）若，则 ________ (填入“ ”或“ ”).

（3）若有理数，在数轴上的对应点如图所示且，求

的值.

【答案】（1）19；

（2）

（3）解：由数轴可得，

，，则，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴

.

【解析】

【解答】（1），

；

（2）∵，，，

∴

，

或

综上可知，

【分析】（1）根据定义计算即可；

（2）分别根据定义计算a b和b a，判断是否相等；

（3）由定义计算得到|a+b|=5，再根据数轴上点的位置关系判断a+b<0，再计算[（a+b）（a+b）][a+b]

7．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：

现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，……，N，M这26个字母依次对应1，2，3，……，25，26这26个自然数(见下表)．

Q W E R T Y U I O P A S D

12345678910111213

F G H J K L Z X C V B N M

14151617181920212223242526

将明文转成密文，如：，即R变为L；，即A 变为S．

将密文转换成明文，如：，即X变为P；13 3×(13－8)－1＝14，即D变为F．

（1）按上述方法将明文NE T译为密文．

（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文．

【答案】（1）解：

即NET密文为MQP．

（2）解：

即密文DWN的明文为FYC ．

【解析】【分析】（1）由图表找出N、E、T对应的自然数，再根据变换公式变成密文即可；（2）由图表找出D、W、N对应的自然数，再根据变换公式变成明文即可.

8．数轴上，，三个点对应的数分别为，，，且，到所对应的点的距离都等于7，点在点的右侧，

（1）请在数轴上表示点，位置， ________， ________；

（2）请用含的代数式表示 ________；

（3）若点在点的左侧，且，点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当且点在的左侧时，求点移动的时间．

【答案】（1）；6

（2）

（3）解：点在点的左侧，且，

，

．

设点移动的时间为秒．

当点在点的左侧时，，

解得：，

此时点对应的数为14，在点的右侧，不合题意，舍去；

当点在点的右侧且在点的左侧时，，解得：．

点移动的时间为秒．

【解析】【解答】（1）解：（1）根据题意得：，，，，

将其表示在数轴上，如图所示．

故答案为：；6

2）解：根据题意得：．

故答案为：

【分析】（1）由，到所对应的点的距离都等于7，点在点的右侧，可得出关于，的一元一次方程，解之即可得出，的值；（2）由点，对应的数，利用两点间的距离公式可找出的值；（3）由点在点的左侧及的值可得出的值，设点移动的时间为秒，分点在点的左侧和点在点的右侧且在点的左侧两种情况考虑，由，找出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

9．阅读下列材料：

1×2＝（1×2×3－0×1×2），

2×3＝（2×3×4－1×2×3），

3×4＝（3×4×5－2×3×4），

由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5＝20．

读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；

（2）1×2＋2×3＋3×4＋…＋ n×（ n＋1）＝________；

（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________．

【答案】（1）解：1×2+2×3+3×4+…+10×11，

= ×（1×2×3-0×1×2）+ ×（2×3×4-1×2×3）+ ×（3×4×5-2×3×4）+…+ ×（10×11×12-9×10×11），

= ×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），

= ×10×11×12，

=440；

（2） n（n+1）（n+2）

（3）1260

【解析】【解答】解：（2）∵1×2+2×3+3×4= ×3×4×5，

∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= n（n+1）（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=

×7×8×9×10=1260．

故答案为：

n（n+1）（n+2）；1260．

【分析】（1）根据题目信息列出算式，然后提取，进行计算即可得解；（2）观察不难发现，两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数的积减去与前面的数的积的

，然后列出算式进行计算即可得解；（3）根据（2）的规律类比列式进行计算即可得解．

10．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化.

（1）平移运动

①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动个单位长度，再向正方向移动个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是(________)

A. B.

C. D.

②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，……，依次规律跳，当它跳2019次时，落在数轴上的点表示的数是________.

（2）翻折变换

①若折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合，则表示2019的点与表示________的点重合；

②若数轴上A、B两点之间的距离为2019（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且

A、B两点经折叠后重合，则A点表示________B点表示________.

③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为________.（用含有a，b的式子表示）

【答案】（1）D；-1010

（2）-2017；-1008.5；1010.5；

【解析】【解答】解：①∵笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，

∴（-3）+（+2）=-1

故答案为：D.

②∵一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位…

∴-1+2-3+4-…+2018-2019

=（-1+2）+（-3+4）+…+（-2017+2018）-2019

=1+1+…-2019

=1009-2019

=-1010

故答案为：D，-1010.

（2）①∵折叠纸条，表示-1的点与表示3的点重合

∴对称中心为：，

∴2019-1=2018，

∴与表示2019的点重合的点在1的左边，

∴1-2018=-2017.

②∵数轴上A、B两点之间的距离为2019，折痕与①折痕相同

∴点B和1，点A和1之间的距离相等，

∴点A和1之间的距离为2019÷2=1009.5

∵A在B的左侧，

∴点A表示的数为1-1009.5=-1008.5

点B表示的数为：1009.5+1=1010.5；

③根据以上规律可知数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为

.

故答案为：-2017、-1008.5、1010.5、.

【分析】（1）点在数轴上平移的规律为：左减右加，列式计算。

（2）①根据点在数轴上平移的规律为：左减右加，由题意可知奇数次向左，偶数次向右，再列式可求出结果；②由题意可知点B和1，点A和1之间的距离相等，先求出它们之间的距离，再根据点A在点B的左侧，可得到点A和点B表示的数；③根据前两题的规律，利用中心对称的性质，可得到数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数。

11．阅读下列材料:对于排好顺序的三个数: 称为数列 .将这个数列如下式进行计算: ，，，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列的“关联数值”.

例如：对于数列因为

所以数列的“关联数值”为6.进一步发现:当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“关联数值”，如:数列的“关联数值”为0；数列的“关联数值”为 3...而对于“ ”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“关联数值"的最大值为6.

（1）数列的“关联数值”为________；

（2）将“ ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值是________，取得“关联数值”的最大值的数列是________ （3）将“ ” 这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“关联数值”的最大值为10，求的值，并写出取得“关联数值”最大值的数列.

【答案】（1）-4

（2）7；-3、4、2

（3）解：∵-3=-3，-3+(-6)=-9，-3+(-6)-a=-9-a，a>0，

∴-9-a<-9<-3，

∴数列3、-6、a的“关联数值”为-3，

∵-3=-3，-3+a=a-3，-3+a-(-6)=a+3，a>0，

∴-3<-3+a

∴数列3、a、-6的“关联数值”为a+3，

∵-(-6)=6，-(-6)+a=a+6，-(-6)+a-3=a+3，a>0，

∴a+6>6，a+6>a+3，

∴数列-6、a、3的“关联数值”为a+6，

∵-(-6)=6，-(-6)+3=9，-(-6)+3-a=9-a，a>0，

∴9>9-a，9>6，

∴数列-6、3、a的“关联数值”为9，

∵-a=-a，-a+(-6)=-a-6，-a+(-6)-3=-a-9，a>0，

∴-a-9<-a-6<-a，

∴数列a、-6、3的“关联数值”为-a，

∵-a=-a，-a+3=3-a，-a+3-(-6)=9-a，a>0，

∴-a<3-a<9-a，

∴数列a、3、-6的“关联数值”为9-a，

∵a>0，这些数列的“关联数值”的最大值为10，

∴-3、9、-a、9-a不符合题意，

∵a+6>a+3，

∴a+6=10，

解得：a=4.

取得“关联数值”最大值的数列为-6，4、3.

【解析】【解答】（1）∵-4=-4，-4+(-3)=-7，-4+(-3)-2=-9，

∴数列的“关联数值”为-4.

故答案为-4（2）“4、-3、2”这三个数按照不同的顺序排列有4、-3、2；4、2、-3；-3、4、2；-3、2、4；2、4、-3；2、-3、4共6种排列顺序，

由（1）得数列的“关联数值”为-4.

∵-4=-4，-4+2=-2，-4+2-(-3)=1，

∴数列4，2，-3的“关联数值”为1，

∵-(-3)=3，-(-3)+4=7，-（-3）+4-2=5，

∴数列-3、4、2的“关联数值”为7，

∵-(-3)=3，-(-3)+2=5，-(-3)+2-4=1，

∴数列-3、2、4的“关联数值”为5，

∵-2=-2，-2+4=2，-2+4-(-3)=5，

∴数列2、4、-3的“关联数值”为5，

∵-2=-2，-2+(-3)=-5，-2+(-3)-4=-9，

∴数列2、-3、4的“关联数值”为-2，

∴这些数列的“关联数值”的最大值是7，取得“关联数值”的最大值的数列是-3、4、2

故答案为7；-3、4、2

【分析】（1）根据材料所给计算方法计算即可；（2）按不同顺序计算出“关联数值”即可；（3）按不同顺序计算出“ ” 这三个数的“关联数值”，根据a>0，这些数列的“关联数值”的最大值为10，求出a值即可.

12．阅读材料，回答下列问题：

数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题。例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；

在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为|3?1|=2；

在数轴上,有理数5与?2对应的两点之间的距离为|5?(?2)|=7；

在数轴上，有理数?2与3对应的两点之间的距离为|?2?3|=5；

在数轴上,有理数?8与?5对应的两点之间的距离为|?8?(?5)|=3；……

如图1，在数轴上有理数a对应的点为点A，有理数b对应的点为点B，A，B两点之间的距离表示为|a?b|或|b?a|，记为|AB|=|a?b|=|b?a|.

（1）数轴上有理数?10与?5对应的两点之间的距离等于________；数轴上有理数x与?5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为________；若数轴上有理数x与?1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于________；

（2）如图2，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为?2，动点P表示的数为x.

①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x?4|=________；若|x+2|+|x?4|═10，则x=________；

②根据阅读材料及上述各题的解答方法，|x+2|+|x|+|x?2|+|x?4|的最小值等于________ .【答案】（1）5；x+5；1或?3

（2）6；6或?4；8

【解析】【解答】(1)根据绝对值的定义：

数轴上有理数?10与?5对应的两点之间的距离等于5；

数轴上有理数x与?5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；

A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或?3，(2)①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x?4|=6；

若|x+2|+|x?4|═10，则x=6或?4；

②|x+2|+|x|+|x?2|+|x?4|的最小值，

即x与4,2,0,?4之间距离和最小,这个最小值=4?(?4)=8.

故答案为：5，|x+5|，1或?3；6，6或?4，8.

【分析】（1）根据绝对值的定义：数轴上有理数-10与-5对应的两点之间的距离等于5；数轴上有理数x与-5对应的两点之间的距离用含x的式子表示为|x+5|；若数轴上有理数x 与-1对应的两点A，B之间的距离|AB|=2，则x等于1或-3；（2）①若点P在点M，N之间，则|x+2|+|x-4|=6；若|x+2|+|x-4|═10，则x=6或-4；

②|x+2|+|x|+|x-2|+|x-4|的最小值，这个最小值=4-（-2）=6．