2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征教学设计
用样本的数字特征估计总体的数字特征教学设计
大连市第十三中学
一、教材分析
（一）地位与作用
统计思想和方法“螺旋”式地从小学渗透到中学，这有助于人们在生活、生产实践中通过分析统计数据做出决策。教会学生分析处理统计数据是高中数学课程标准的重要内容，有着广泛的实际应用。在上一节我们已经学习了用图、表来组织样本数据，并且学习了如何通过图、表所提供的信息，用样本的频率分布估计总体的分布情况。本节课是在前面所学内容的基础上，进一步学习如何通过样本的情况来估计总体，从而使我们能从整体上更好地把握总体的规律，为现实问题的解决提供更多的帮助。并为后面选修学习随机变量的数字特征做铺垫。本小节内容课标规定3课时完成，主要有两部分内容：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差，本节课为第1课时用样本平均数估计总体平均数。
（二）学情分析
（1）学生在初中已经学习过平均数、中位数、众数、方差等数字特征，但部分学生已经遗忘。
（2）学生初步掌握了频率分布直方图、茎叶图的概念及应用。
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（3）学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
（4）学生层次参差不齐，部分学生计算能力差，个体差异比较明显。
二、目标分析
新课标指出“三维目标”是一个密切联系的有机整体，这要求我们在教学中以知识技能的培养为主线，渗透情感态度与价值观，并把这两者充分体现在教学过程中，新课标指出教学的主体是学生，因此目标的制定和设计必须从学生的角度出发，根据本节内容在教材内容中的地位与作用，结合学情分析，本节课教学应实现如下教师教学目标以及学生学习目标：
（一）教师教学目标
1.知识与技能
（1）能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数；
（2）通过选取不同样本数据得到不同的数字特征，体会数字特征的随机性；
~
（3）能用样本的众数,中位数,平均数估计总体的众数,中位数,平均数,并结合实际对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法。
2.过程与方法
通过对本节课知识的学习，初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。
3.情感态度与价值观
会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,认识统计的作用,能够理解数学知识与现实世界的联系。
（二）学生学习目标
（1）能利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数；
（2）能用样本的众数,中位数,平均数估计总体的众数,中位数,平均数,并结合实际对问题作出合理判断,制定解决问题的有效方法；
~
（3）初步体会、领悟“用数据说话”的统计思想方法。
重点难点
本节课的教学重点是利用频率颁布直方图估计总体的众数,中位数,平均数，会用样本的数字特征估计总体的平均水平；
教学难点是观察各数字特征与真实数据的关系，体会数字特征具有随机性。
三、教法、学法分析
（一）教法
基于本节课的内容特点和高一学生的年龄特征，采用探究――体验教学法为主来完成教学，为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：
1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主动参与的积极性．
:
2．在鼓励学生主动参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达．
（二）学法
在学法上我重视了：
1、让学生利用图形直观启迪思维完成从感性认识到理性思维的质的飞跃；
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，由学生自主完成课堂内容。
四、教学过程分析
（一）教学过程设计
（1）创设情境，提出问题
…
[情境导学]美国NBA在2014——2015年度赛季中，甲、乙两名
篮球运动员在随机抽取的比赛中的得分情况如图，如果要求我们根据图
中数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位得分能力更强，就应有相
应的数据作为比较依据，即通过样本数字特征对总体的数字特征进行研
究．所以今天我们开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征．
探究点一众数、中位数和平均数
问题在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，它们都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，回忆它们的定义及特点，找出上例中的众数、中位数和平均数。
思考1众数是如何定义的有什么特点
答众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．特点：(1)众数是这组数据中出现次数最多的数；(2)众数可以有一个或多个；
甲：36；乙：14、39
/cm
频率
/cm
频率思考2 中位数是如何定义的有什么特点
答 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数． ~
特点：(1)排序后找中位数；(2)中位数只有一个；(3)中位数不一定是这组数据中的数．
甲：；乙：26
思考3 平均数是如何定义的
答 平均数：一组数据的算术平均数，即x ＝1
n (x 1＋x 2＋…＋
x n )
甲：x =；乙：x =
探究点二 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 右图为70页习题2-2A 第1题学生身高频率分布直方图， 能否根据直方图估计出样本的众数、中位数、平均数
—
思考1 如何在样本数据的频率分布直方图中，估计出
众数的值
答 众数大致的值就是样本数据的频率分布直方图中最高矩形的中点的横坐标． 由直方图可估计学生身高众数应为
思考2 如何在样本数据的频率分布直方图中， 估计出中位数的值
答 在样本中，有50%的个体小于或等于中位数， 也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频 率分布直方图中，中位数使得在它左边和右边的
…
直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的 值，如图，学生身高中位数为
思考3 如何在样本数据的频率分布直方图中估计出平均数的值
答 平均数是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点，因此，每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和为平均数．
思考4 从样本数据可知，该样本的众数是166、172，中位数是171，平均数是，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗
答 因为样本数据频率分布直方图只是直观地表明分布的形状，从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估计值与数据分组有关，所以估计的值有一定的偏差．
思考5 根据众数、中位数、平均数各自的特点，你能分析它们对反映总体存在的不足之处吗 答 (1)众数体现了样本数据的最大集中点，但它对其它数据信息的忽视使得无法客观反映总体特征；
,
(2)中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但
/元
它对极端值的不敏感有时也会成为缺点；
(3)由于平均数与每一个样本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质．也正因如此，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低．
探究点三 利用样本的众数、中位数、平均数估计总体的平均水平
例1.从某大型企业全体员工某月的月工资表中随机抽取50名员工的月工资资料如下（单位：元）：
800 800 800 800 【
800
1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 、
1000 1000 1000 1200 1200 1200 1200 1200
！ 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 。
1200
1200 1200 1200 1200 1200 1200 1500 ?
1500 1500 1500 1500
1500 1500 2000 2000 >
2000 2000 2000 2500 2500 2500 （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；
（2）以750为第1组起点，300为组距，画出频率分布直方图，并用直方图估计平均数、中位数、众数； !
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平
（4）该公司高级管理层工资较高选取数据时加入了部分高管的工资，现将后5个数据改为8000,8000,8000,10000,10000，求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数. 解：（1）该公司职工月工资的平均数为1320（元）、 中位数1200（元）、众数1200（元）；
（2）如图可估计平均数为1314（元）、 中位数1200（元）、众数1200（元）；
（3）由此可估计该公司职工月工资为1320元，但根 据频率分布情况，70%员工工资低于平均数，而中位数和
众数都是1200元，所以1200元更能反映这个公司多数员工的平均工资水平。 《
（4）更改数据后该公司职工月工资的平均数为1970（元）、中位数1200（元）、众数1200（元）
反思与感悟：样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息。平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大。在估计总体平均水平时应结合频率分布选取适当的数字特征。
课堂练习：
1．若x 是10021,,,x x x 的平均值，1a 为4021,,,x x x 的平均值，2a 为100241,,,x x x 的平均值，则下列式子中正确的是（ ）
A.100604021a a x +=
B.100406021a a x +=
C.21a a x +=
D.2
2
1a a x +=
2.若M 个数的平均数是X ，N 个数的平均数是Y ，则这M+N 个数的平均数是 .
3.某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下表：
、
(2)若董事长、副董事长的工资分别从5 500元、5 000元提升到30 000元、20 000元，那么公司职工新的平均数、中位数和众数又是什么
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平
4．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你应当如何对这次射击作出评价
注：学生自主思考平均数相同时如何从其他角度分析数据，还有那些数字特征。引出下一节课用样本标准差估计总体标准差内容，由学生课下预习。
课堂小结：
1．如何从样本数据中求众数、中位数、平均数
—
2．如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数
3．利用众数、中位数、平均数估计总体的数字特征时各自的优缺点。
当堂检测：1．下列说法错误的是
( )
A ．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C ．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D ．众数是一组数据中出现次数最多的数
2．已知一组数据为13,10,,4,1,8x --且这组数的中位数是7，那么数据中的众数是（ ） A.7 B.6 C.4 D.10
3.数据11,10,8,7,7,5的中位数、众数、平均数分别是
4．某高校有甲，乙两个数学建模兴趣班，其中甲班40人，乙班50人．现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是______分．
课后作业：计算70页练习中各题的平均数，预习方差、标准差内容。 板书设计：
设计感想：本堂课在初中学习的众数、中位数、平均数的基础上，学习了利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,这是一种近似估计，但都能说明总体的分布特征，各有优缺点，先让学生自主探究，讲解时紧扣课本内容，讲清讲透，使学生活学活用，会画频率分布直方图,会利用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数,对总体作出正确的估计。
以上就是我对本节课的理解和设计，敬请各位专家、评委批评指正。谢谢！