平面向量及其应用试题及答案百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！

2．若a →，b →，c →

是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→

=，则a b →→

= B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→

= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→

D ．若a b a b →

→

→

→

+=-，则a b →→

⊥

3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知

cos cos 2B b

C a c

=-，

ABC S =

△b = ）

A ．1cos 2

B =

B ．cos 2

B =

C ．a c +=

D ．a c +=4．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列

ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>

B ．若a b >，则cos2cos2A B <

C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径

D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=

5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，

2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）

A ．//P

B CQ B ．2133

BP BA BC =

+ C ．0PA PC ?<

D ．2S =

6．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6

A a c π

===则角C 的大小

是( ) A ．

6

π

B ．

3

π C ．

56

π D ．

23

π 7．已知点()4,6A ，33,2B ??- ???

，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）

A ．14,33?? ???

B ．97,2?? ???

C ．14,33??-- ???

D ．(7，9)

8．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b

C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立

D ．在ABC 中，

sin sin sin +=+a b c

A B C

9．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）

A ．2

AB AB AC B ．2

BC CB AC C ．2AC

AB BD

D ．2

BD

BA BD

BC BD

10．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，

则（ ）

A ．12

AF AD AB =+ B ．1

()2

EF AD AB =

+ C ．2133

AG AD AB =

- D ．3BG GD =

11．设a 为非零向量，下列有关向量

||

a

a 的描述正确的是（ ） A ．|

|1||

a a =

B ．

//||

a a a

C ．

||

a a a =

D ．

||||

a a a a ?=

12．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ?中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ?中，不等式sin cos A B >恒成立

C ．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC ?必是等腰直角三角形

D ．在ABC ?中，若060B =，2b ac =，则ABC ?必是等边三角形 13．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）

A ．0A

B BA B ．AB B

C AC C ．AB AC BC +=

D ．00AB +=

14．对于ABC ?，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ?为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >

C ．若8a =，10c =，60B ?=，则符合条件的ABC ?有两个

D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?是钝角三角形 15．已知ABC ?的面积为3

2

,且2,3b c ==,则A =( ) A ．30°

B ．60°

C ．150°

D ．120°

二、平面向量及其应用选择题

16．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=?，2AB BC ==，1AD =，则

BD AC ?=（ ）

A ．2-

B ．3-

C ．2

D ．5

17．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（ ） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．等边三角形

18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，

，.①若A B >，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则

ABC 一定为直角三角形；④若3

B π

=

，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是

(

)

3+∞，.以上结论中正确的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

19．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ?===，点D 在边BC 上，且

27

sin BAD ∠=

，则CD 等于（ ）

A 23

B 3

C 33

D 43

20．在ABC 中，若()()

0CA CB CA CB +?-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．无法确定

21．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．

1

()2

a b + B ．

1

()2

a b - C ．

1

2

a b + D ．12

a b +

22．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A ．

33

23

B ．

5323 C ．7323 D ．83

23

23．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，

2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）

A 3

B ．1

C ．

12

D ．

32

24．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且

3

03

aGA bGB cGC ++

=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

25．在ABC 中，()

2

BC BA AC AC +?=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．直角三角形

26．题目文件丢失！

27．在ABC ?中，60A ∠=?，1b =，3ABC S ?，则2sin 2sin sin a b c

A B C

++=++（ ）

A ．

39

3

B 263

C 83

D ．2328．在ABC ?中，下列命题正确的个数是（ ）

①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ?的内心，且

()()20OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?为等腰三角形；④0AC AB ?>，则

ABC ?为锐角三角形．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

29．奔驰定理：已知O 是ABC ?内的一点，BOC ?，AOC ?，AOB ?的面积分别为A S ，

B S ，

C S ，则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的

结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点，A ，B ，C 是ABC ?的三个内角，且点

O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则必有（ ）

A ．sin sin sin 0A OA

B OB

C OC ?+?+?= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=

D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?=

30．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()

20c a c b ?--=，则b c ?的最大值

为（ ）

A ．

5

4

B ．2

C ．

174

D ．4

31．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2

26,c a b =-+3

C π

=

，则

ABC 的面积为（ ）

A ．6

B ．

33

C ．33

D ．3

32．已知ABC 中，1,3,30a b A ?===，则B 等于（ ）

A ．60°

B ．120°

C ．30°或150°

D ．60°或120°

33．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，

BC 3EC =，F 为AE 的中点，则BF ＝（ ）

A ．21

33

AB AD - B ．

12

33

AB AD -

C ．21

33

AB AD -

+ D ．12

33

AB AD -

+ 34．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形

D ．等边三角形

35．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

()()(2a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为

A ．3

)2

B ．

C ．3(2

D ．3

(2

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】

对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】

对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；

对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，

∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．

故选：ACD

【点睛】

本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．

3．AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，

整理可得：， 可得，

∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确

解析：AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简

cos cos 2B b

C a c

=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2

B =

，结合范围()0,B π∈，可求3B π

=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理

可得a c += 【详解】 ∵

cos sin cos 22sin sin B b B

C a c A C

==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，

可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1

cos 2

B =

，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3

B π

=

，

∵ABC S =△3b =，

∴

11sin 42224

ac B a c ac ==???=， 解得3ac =，

由余弦定理得()()2

2

22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，

解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．ABD 【分析】

对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【

解析：ABD 【分析】

对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得

sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1

2

s S ab C =和正弦定

理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】

对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得

()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；

对于B ，若sin sin a b A B >?>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即

cos2cos2A B <，故B 正确；

对于C ，2

11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22

S ab C R A R B C R A B C ==???=，故C 错

误；

对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C

A B C B C

+=-+=--?，则

tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．

5．BCD 【分析】

本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；

再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确.

解：因为，，

所以B 是的中点，P 是的

解析：BCD 【分析】

本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】

解：因为20PA PC +=，2QA QB =，

所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；

因为()

121

333

BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+

-=+，故选项B 正确； 因为

11

2223132

APQ ABC

AB h

S S AB h ??==?△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.

6．BD 【分析】

由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD.

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握

解析：BD 【分析】

由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得

sin sin a c

A C

=,

∴ sin sin 2

c C A a ==,而a c <,

∴ A C <, ∴

566

C π

π<<, 故3C π

=

或

23

π. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

7．ABC 【分析】

先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】 由点，，则

选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选

解析：ABC 【分析】

先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】

由点()4,6A ，33,2

B ??

- ??

?

，则972，AB ??

=-- ??

?

选项A . 914

73023

??-?--?= ???,所以A 选项正确.

选项B. 9977022??

-?

--?= ???

,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023????

-?---

?-= ? ?????

,所以C 选项正确. 选项D. 979702??

-?--?≠ ???

,所以选项D 不正确

故选：ABC 【点睛】

本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.

8．ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中

解析：ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C

R B C

+=+＝左边，故该选项正确.

【详解】

对于A ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；

对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2

π

，∴a ＝b 或a 2+b 2

＝c 2，故该选项错误；

对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ?a ＞b ?A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；

对于D ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】

对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形

解析：AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2

cos AB AB AC AB AC A AB AC

AB AC

，故A 正确；

对于B ，

2

cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC

CB AC

，

故B 错误； 对于C ，

2

cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD

BD

AB

,故C 错误； 对于D ，2

cos BD BA BD

BA BD ABD BA BD BD BA

,

2

cos BD BC BD

BC BD CBD BC BD

BD BC

,故D 正确.

故选：AD. 【点睛】

本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.

【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误 【详解】 ，即A 正确 ，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示

由其性质有 ∴，即C 错误 同理 ，

解析：AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+

、1

()2

EF AD AB =+、21

33AG AD AB =

+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 11

22

AF AD DF AD DC AD AB =+=+

=+，即A 正确 11

()()22

EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示

由其性质有

||||1

||||2

GF GE AG CG == ∴211121

()333333

AG AE AC AD AB BC AD AB =

+=++=+，即C 错误 同理21212

()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =

+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1

()3

GD AD AB =-

∴2BG GD =，即D 错误

【点睛】

本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系

11．ABD 【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】

表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确， ，所以D 正确. 故选：ABD

解析：ABD 【分析】

首先理解a

a

表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】

a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以

1a

a =正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a

a a

=不正确，

cos 0a a a

a a a a a a a

?==?=，所以D 正确. 故选：ABD 【点睛】 本题重点考查向量

a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a

a

表示与向量a 同方向的单位向量.

12．ABD 【分析】

对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得

解析：ABD 【分析】

对于选项A 在ABC ?中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >?>?>，即可判断出

正误；对于选项B 在锐角ABC ?中，由

02

2

A B π

π

>>

->，可得

sin sin()cos 2

A B B π

>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ?中，由

cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ?中，利用余弦定理可得：

2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =?，即可得到ABC ?的形状，即

可判断出正误. 【详解】

对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ?中，A ，(0,

)2

B π

∈，

2

A B π

+>

，∴

02

2

A B π

π

>>

->，

sin sin()cos 2

A B B π

∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；

对于C ，在ABC ?中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：

sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈， 22A B ∴=或222A B π=-，

A B

∴=或2

A B π

+=， ABC ?∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.

对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，

可得2

()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===?，故正确.

故选：ABD . 【点睛】

本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.

13．AB 【解析】 【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；

，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误；

，所以错误. 故选：A B. 【点睛】

本题主要考查了向量加法的

解析：AB 【解析】 【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0AB

BA AB AB

，正确；

AB BC

AC ，由向量加法知正确；

AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；

0,AB AB +=，所以00AB +=错误.

故选：A B . 【点睛】

本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.

14．BD 【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，

对于A ，若，则或， 当A ＝

解析：BD 【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ?中，

对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2

A B π

+=

时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，

对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B

=，即sin sin A B >成立．故B 正确；

对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，

∴222

cos 02a b c C ab

+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ?是钝角三角形，故D 正确；

综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】

本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

15．BD 【分析】

由三角形的面积公式求出即得解. 【详解】 因为, 所以, 所以,因为, 所以或120°. 故选：BD 【点睛】

本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

解析：BD 【分析】

由三角形的面积公式求出sin 2

A =即得解. 【详解】 因为13sin 22

S bc A ==,

所以

13222

A ?=,

所以sin 2

A =

,因为0180A ??<<, 所以60A =或120°. 故选：BD 【点睛】

本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【解析】

分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ?转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：

BD AC ?=()()AD AB AB BC -+=

2211

()()24222

BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 17．D 【分析】

先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】

因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ， 所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3

B π

=，

所以3

A B π

==，所以ABC 是等边三角形.

故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 18．B 【分析】

由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误. 【详解】

①由正弦定理及大边对大角可知①正确； ②可得A B =或2

A B π

+=

，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；

③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=， 结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+ 可知cos sin 0=A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =， 因为0A π<<，所以2

A π

=

，因此③正确；

④由正弦定理

sin sin a b A B =

得sin sin a B b A ==， 因为三角形有两解，所以

2,332

A B A πππ

>>=≠

所以sin 2A ??

∈ ? ???

，即)

b ∈，故④错误.

故选：B 【点睛】

本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题. 19．A 【分析】

首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值. 【详解】

AB =

3==，

222cos 2AB BC AC B AB BC +-∴===

? 又因为角B 是三角形的内角，所以6

B π

=

，

90BAC ∴∠=，

sin BAD ∠=

，cos BAD ∴∠==，

sin cos 7

DAC BAD ∴∠=∠=

， 在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD B

AD BAD ?=∠，

在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC C

AD DAC

?=

∠，

(

)

17

7

DC DC ?

?

=

，解得：DC =

. 故选：A 【点睛】

本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型. 20．C 【分析】

利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2

2

22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案． 【详解】 解：

在ABC 中，(CA CB + 2

2

22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，

a b ∴=，

ABC ∴为等腰三角形， 故选：C ． 【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 21．D 【分析】

根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】

在ABC ?中，M 是BC 的中点， 又,AB a BC b ==， 所以11

22

AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 22．B 【分析】

如解析中图形，可在HAB ?中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ?中求出直角边

HO 即旗杆的高度，最后可得速度．

【详解】

如图，由题意45,105HAB HBA ∠=?∠=?，∴30AHB ∠=?， 在HAB ?中，

sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102

sin 45sin 30HB =

??

，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=?=，