(天津专用)202x版高考数学大一轮复习 8.2 空间点、线、面的位置关系精练
8.2 空间点、线、面的位置关系
挖命题
【考情探究】
考点内容解读
5年考情
预测热度考题示例考向关联考点
空间点、线、面的位置关系1.理解空间直线、平
面位置关系的定义,
并了解四个公理及
推论
2.会用平面的基本性
质证明点共线、线共
点以及点线共面等
问题
3.理解空间两直线的
位置关系及判定,了
解等角定理和推论
2013天津,17
证明异面直
线垂直
求二面角的正
弦值
★★☆
2012天津,17
求异面直线
所成角的正
切值
证面面垂直、求
线面角的正弦
值
2008天津,5
直线、平面位
置关系的判
定
充分条件
分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为5分,属于中档题.
破考点
【考点集训】
考点空间点、线、面的位置关系
1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m?α,n?α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是( )
A.垂直
B.相交
C.异面
D.平行
答案 D
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 C
3.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有( )
A.①③
B.②③
C.②④
D.②③④
答案 C
4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD 所成角的余弦值为( )
A.1
3B.√2
3
C.√3
3
D.2
3
答案 C
5.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为.
答案45°
炼技法
【方法集训】
方法1 点、线、面位置关系的判断方法
1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m⊥α,n?α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
答案 B
2.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足
AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:EH、FG、BD三线共点.
解析 (1)∵AA AA =AA
AA =2,∴EF∥AC,又EF ?平面ACD,AC ?平面ACD,∴EF∥平面ACD, 又∵EF ?面EFGH,面EFGH∩面ACD=GH,∴EF∥GH. 而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AA AA =AA
AA =3. ∴AH∶HD=3∶1. (2)证明:∵EF∥GH, 且
AA AA =13,AA AA =1
4
,∴EF≠GH, ∴四边形EFGH 为梯形, ∴直线EH,FG 必相交.
设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH ?面ABD,∴P∈面ABD, 同理,P∈面BCD,而面ABD∩面BCD=BD,∴P∈BD. ∴EH、FG 、BD 三线共点.
3.如图所示,已知l 1,l 2,l 3,l 4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l 1,l 2,l 3,l 4共面.
证明 证法一:∵A、C 、E 不共线, ∴它们确定一个平面α, 又A∈l 1,C∈l 1,∴l 1?α,
同理,l 2?α,又B∈l 1,D∈l 2,∴B∈α,D∈α, ∴l 3?α,同理,l 4?α, 故l 1,l 2,l 3,l 4四条直线共面. 证法二:∵点A 、C 、E 不共线, ∴它们确定一个平面α,
又∵A∈l1,C∈l1,
∴l1?α,同理,l2?α,
又∵F、D、E不共线,
∴它们确定一个平面β.
又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,
∴l3?β,l4?β.
而不共线的三点B、C、D可确定一个平面,
又B、C、D既在α内又在β内,
故平面α与平面β重合.
∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.
评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面α,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面α与β使得四条直线在α内或在β内,然后再证明α与β重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.
方法2 异面直线所成角的求法
4.已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4√3,则异面直线PA与MN所成角的大小是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案 A
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为( )
A.√5
2B.2
3
C.2√5
5
D.√5
3
答案 C
过专题
【五年高考】
A组自主命题·天津卷题组
1.(2008天津,5,5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )
A.a⊥α,b∥β,α⊥β
B.a⊥α,b⊥β,α∥β
C.a?α,b⊥β,α∥β
D.a?α,b∥β,α⊥β
答案 C
2.(2013天津,17,13分)如图,四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,侧棱A 1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA 1=AB=2,E 为棱AA 1的中点. (1)证明B 1C 1⊥CE;
(2)求二面角B 1-CE-C 1的正弦值;
(3)设点M 在线段C 1E 上,且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为√2
6,求线段AM 的长.
解析 解法一:如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B 1(0,2,2),C 1(1,2,1),E(0,1,0).
(1)证明:易得A 1A 1????????????? =(1,0,-1),AA ????????? =(-1,1,-1), 于是A 1A 1????????????? ·AA ????????? =0,所以B 1C 1⊥CE. (2)A 1C ???????? =(1,-2,-1).
设平面B 1CE 的法向量m=(x,y,z), 则{
A ·
B 1
C ?????? =0,A ·CE ???? =0,
即{A -2A -A =0,-A +A -A =0,消去x,得y+2z=0,
不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).
由(1)知B 1C 1⊥CE,又CC 1⊥B 1C 1,可得B 1C 1⊥平面CEC 1, 故A 1A 1????????????? =(1,0,-1)为平面CEC 1的一个法向量. 于是cos
???????? |A |·|B 1C 1???????? |=√14×√2
=-2√77, 从而sin
√21
7
. 所以二面角B 1-CE-C 1的正弦值为
√21
7
.
(3)AA ????????? =(0,1,0),AA 1??????????? =(1,1,1).设AA ????????? =λAA 1??????????? =(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有AA ????????? =AA ????????? +AA ????????? =(λ,λ+1,λ).可取AA ????????? =(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量. 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角, 则sinθ=|cos
=
√A 2+(λ+1)2+A 2×2=
√2
.
于是
√2=√2
6
,
解得λ=1
3
,所以AM=√2.
解法二:(1)证明:因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1,B 1C 1?平面A 1B 1C 1D 1,所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可
得B 1E=√5,B 1C 1=√2,EC 1=√3,从而B 1E 2=B 1A 12+E A 12
,所以在△B 1EC 1中,B 1C 1⊥C 1E,又
CC 1,C 1E ?平面CC 1E,CC 1∩C 1E=C 1,所以B 1C 1⊥平面CC 1E,又CE ?平面CC 1E,故B 1C 1⊥CE. (2)过B 1作B 1G⊥CE 于点G,连接C 1G.
由(1)知B 1C 1⊥CE,故CE⊥平面B 1C 1G,
得CE⊥C 1G,所以∠B 1GC 1为二面角B 1-CE-C 1的平面角.在△CC 1E 中,由CE=C 1E=√3,CC 1=2,可得C 1G=
2√63
.在Rt△B 1C 1G 中,B 1G=
√42
3
,所以sin∠B 1GC 1=
√21
7
,即二面角B 1-CE-C 1的正弦值为
√21
7
. (3)连接D 1E,过点M 作MH⊥ED 1于点H,可得MH⊥平面ADD 1A 1,连接AH,AM,则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角.设AM=x,从而在Rt△AHM 中,有MH=√2
6x,AH=
√34
6
x.在Rt△C 1D 1E 中,C 1D 1=1,ED 1=√2,得EH=√2MH=13
x.在△AEH 中,∠AEH=135°,AE=1,由AH 2=AE 2+EH 2-2AE·EHcos135°,得17
18x 2=1+1
9x 2+√2
3x,整理得5x 2-2√2x-6=0,解得x=√2.所以线段AM 的长为√2.
评析本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角,直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
3.(2012天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2√3,PD=CD=2. (1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值; (2)证明平面PDC⊥平面ABCD;
(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.
解析 (1)在四棱锥P-ABCD 中,因为底面ABCD 是矩形,所以AD=BC 且AD∥BC,故∠PAD(或其补角)为异面直线PA 与BC 所成的角.又因为AD⊥PD,所以tan∠PAD=AA
AA =2. 所以,异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2. (2)证明:由于底面ABCD 是矩形,故AD⊥CD, 又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC, 而AD ?平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.
(3)在平面PDC 内,过点P 作PE⊥CD 交直线CD 于点E,连接EB.
由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角. 在△PDC 中,PD=CD=2,PC=2√3,故∠PCD=30°. 在Rt△PEC 中,PE=PCsin30°=√3.
由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC. 在Rt△PCB 中,PB=√AA 2+B A 2=√13. 在Rt△PEB 中,sin∠PBE=AA AA =√39
13.
所以直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为√39
13.
评析本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
B组统一命题、省(区、市)卷题组
1.(2018课标Ⅱ文,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD 所成角的正切值为( )
A.√2
2B.√3
2
C.√5
2
D.√7
2
答案 C
2.(2016浙江文,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l
B.m∥n
C.n⊥l
D.m⊥n
答案 C
3.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l?α,m?β.()
A.若l⊥β,则α⊥β
B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β
D.若α∥β,则l∥m
答案 A
4.(2015广东文,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )
A.l与l1,l2都不相交
B.l与l1,l2都相交
C.l至多与l1,l2中的一条相交
D.l至少与l1,l2中的一条相交
答案 D
5.(2014广东文,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
答案 D
6.(2015四川文,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;
(3)证明:直线DF⊥平面BEG.
解析(1)点F,G,H的位置如图所示.
(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:
因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,
又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,
故BCHE为平行四边形.
所以BE∥CH.
又CH?平面ACH,BE?平面ACH,
所以BE∥平面ACH.
同理,BG∥平面ACH.
又BE∩BG=B,
所以平面BEG∥平面ACH.
(3)证明:连接FH.
因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,
因为EG?平面EFGH,所以DH⊥EG.
又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.
又DF?平面BFHD,所以DF⊥EG.
同理,DF⊥BG.
又EG∩BG=G,
所以DF⊥平面BEG.
评析本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力.
7.(2014课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA⊥平面ABCD,E 为PD 的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设AP=1,AD=√3,三棱锥P-ABD 的体积V=√3
4,求A 到平面PBC 的距离.
解析 (1)证明:设BD 与AC 的交点为O,连接EO. 因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点,所以EO∥PB.
EO ?平面AEC,PB ?平面AEC,所以PB∥平面AEC. (2)V=1
3·PA·S △ABD =1
6PA·AB·AD=√3
6AB. 由V=√34
,可得AB=3
2
.
作AH⊥PB 交PB 于H.
由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH, 又BC∩BP=B,故AH⊥平面PBC. 又AH=
AA ·AA AA =3√13
13
, 所以A 到平面PBC 的距离为3√1313
.
评析本题考查直线和平面平行、垂直的判定方法以及空间距离的计算,考查了空间想象能力.
C 组 教师专用题组
(2014陕西文,17,12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC 的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA 于点E,F,G,H. (1)求四面体ABCD 的体积; (2)证明:四边形EFGH 是矩形.
解析 (1)由该四面体的三视图可知,
BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1, ∴AD⊥平面BDC,
∴四面体ABCD 的体积V=1
3×1
2×2×2×1=2
3. (2)证明:∵BC∥平面EFGH,
平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH, ∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH. 同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形EFGH 是平行四边形.
又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形EFGH 是矩形.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2019届天津七校联考期中,4)已知m,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β
B.若m∥n,m ?α,n ?β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥β
D.若m∥n,m∥α,则n∥α 答案 C
2.(2018天津杨村一中热身训练,4)已知命题p:“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”的充要条件是“l⊥α”;命题q:若平面α⊥平面β,直线a ?β,则“a⊥α”是“a 平行于β”的充分不必要条件,则正确命题是( )
A.p∧q
B.(?p)∧q
C.(?p)∧(?q)
D.p∨(?q) 答案 B
3.(2018天津南开中学第三次月考,5)若m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中真命题是( ) A.若m⊥β,m∥α,则α⊥β
B.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β
C.若m ?β,α⊥β,则m⊥α
D.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ 答案 A
4.(2019届天津七校联考期中,8)在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为线段A 1B 上的动点,则下列结论正确的有( ) ①三棱锥M-DCC 1的体积为定值; ②DC 1⊥D 1M;
③∠AMD 1的最大值为90°; ④AM+MD 1的最小值为2.
A.①②
B.①②③
C.③④
D.①②④ 答案 A
二、填空题(每小题5分,共5分)
5.(2019届天津新华中学期中,10)已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 .
①若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 ②若m,n 平行于同一平面,则m 与n 平行 ③若α,β不平行···
,则在α内不存在···
与β平行的直线
④若m,n 不平行···
,则m 与n 不可能···
垂直于同一平面
答案 ④
三、解答题(共75分)
6.(2017天津南开中学第五次月考,17)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC=BC=1
2AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD. (1)证明:DC 1⊥BC;
(2)求二面角A 1-BD-C 1的大小.
解析 (1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.
由于D 为AA 1的中点,故DC=DC 1.又AC=1
2AA 1,所以D A 12+DC 2
=C A 12,所以DC 1⊥DC.而
DC 1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC 1⊥平面BCD.又BC ?平面BCD,故DC 1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC 1,且BC⊥CC 1,且DC 1∩CC 1=C 1,则BC⊥平面ACC 1,所以CA,CB,CC 1两两相互垂直.
以C 为坐标原点,AA ????????? 为x 轴的正方向,AA ????????? 为y 轴的正方向,AA 1??????????? 为z 轴的正方向,|AA ????????? |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
由题意知A 1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C 1(0,0,2), 则A 1D ???????? =(0,0,-1),AA ????????? =(1,-1,1),AA 1??????????? =(-1,0,1). 设n=(x,y,z)是平面A 1B 1BD 的法向量, 则{
A ·BD ???? =0,A ·A 1
D ?????? =0,即{A -A +A =0,
A =0,令x=1,则y=1,因此可取n=(1,1,0).
同理,设m=(a,b,c)是平面C 1BD 的法向量,则{A ·BD ???? =0,A ·DC 1
?????? =0,即{A -A +A =0,
-A +A =0,令a=1,则c=1,b=2,故可取m=(1,2,1).从而cos
2
.
又易知二面角A 1-BD-C 1为锐二面角, 故二面角A 1-BD-C 1的大小为30°.
7.(2017天津南开一模,17)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,PA=PB,PA⊥PB,F 为CP 上的点,且BF⊥平面PAC. (1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值;
(3)在棱PD 上是否存在一点G,使GF∥平面PAB?若存在,求PG 的长;若不存在,说明理由.
解析 (1)证明:∵BF⊥平面PAC,PA ?平面PAC, ∴BF⊥PA,
又PA⊥PB,PB∩BF=B,∴PA⊥平面PBC, 又BC ?平面PBC,∴PA⊥BC, 又∵底面ABCD 是正方形, ∴AB⊥BC,又PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB,∵BC ?平面ABCD, ∴平面PAB⊥平面ABCD.
(2)作PE⊥AB,垂足为E,连接EC,由(1)知平面PAB⊥平面ABCD,又平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PE⊥平面ABCD,则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成角. ∵PA=PB,PA⊥PB,AB=2, ∴PE=1,PB=√2,
∴在Rt△PBC 中,由勾股定理得PC=√6, ∴在Rt△PEC 中,sin∠PCE=AA AA =√6
6,
∴直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值为√6
6.