数学-高二-河北省唐山一中2013-高二上学期期中考试数学理试题

唐山一中2013-2014学年度第一学期期中考试

高二年级数学（理）试卷

说明：1.考试时间120分，满分150分。

2.将卷I 答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷II 用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

卷Ⅰ：（选择题共60分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 抛物线2

ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（ ）

A ．8

1

B ．8

1- C ．8

D ．-8

2．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图 是直角梯形(如图所示，45ABC ∠=2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的面积为( ).

A ．222+

B ．4+22

C ．22+

D ． 21+

3.已知椭圆C ：x 2

2＋y 2

＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA

＝3FB →，则|AF →

|＝ ( )． A. 3 B ．2 C. 2 D ．3 4. 直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |

4

＝1( )

A ．没有交点

B ．只有一个交点

C ．有两个交点

D ．有三个交点

5. 过双曲线()22221,0x y a b a b

-=>的左焦点1F ，作圆222

x y a +=的切线交双曲线右支于

点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是 （ ） A b a MO MT -=- B b a MO MT ->- C b a MO MT -<- D b a MO MT --与的大小不确定

（第1页共6页）

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积

为( )．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π

7.直线y = x + b 与曲线x=21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ）

（A ）|b|=2 （B ）11b -<≤或b =C ）1b -≤≤

（D ）以上都错

8. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P

满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝4

5

，则双曲线的渐近线方程为( )

A ．3x ±4y ＝0

B ．4x ±3y ＝0 C.3x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝0 9. 圆()

()x y -+-=23

3162

2

与y 轴交于A 、B 两点，与x 轴的一个交点为P ，

则∠APB 等于（ ） A.

π6 B. π4 C. π3 D. π2

10.直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2

＝1从左到右的交点依次为 A 、B 、C 、D ，则|AB|

|CD|

的值为( )

A ．16

B ．4 C.14 D.1

16

11. 若圆010442

2

=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[

π

π (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2

,0[π

(第2页，共6页)

12. 已知A B P ()()-1010，，，，是圆C ：()()x y -+-=3442

2

上的任意一点，则

PA PB 22

+的最大值与最小值各位多少（ ）

A.100,65

B. 65,20

C.100,20

D.100,45

卷Ⅱ（非选择题 共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．

13．已知P 是双曲线x 264－y 2

36

＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，

则|PF 2|的值为________．

14. 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(2

2

=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为

32，则=a .

15.设21,F F 分别是椭圆

116

252

2=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标 为)4,6(，则1PF PM +的最大值为 ．

16.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择5个顶点，它们可能是如下各种几何形体的5个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) .（其中a b ≠） ①每个侧面都是直角三角形的四棱锥； ②正四棱锥；

③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均 为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体

④有三个侧面为直角三角形，另一个侧面为等腰三角形的四棱锥

(第3页，共6页)

三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）

已知三角形ABC ?的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C （1） 求BC 边上的高所在直线的方程； （2） 求BC 边上的中线所在直线的方程。

18. （本小题满分12分）

已知点(2,0)P 及圆C ：2

2

6440x y x y +-++=.

(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为42，求直线l 的方程； (2)设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当P 恰为MN 的中点时， 求以线段MN 为直径的圆Q 的方程．

(第4页，共6页)

19. （本小题满分12分）

学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 2

25＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨

迹是以y 轴为对称轴、M(0，

64

7

)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时跟踪航天器．

(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；

(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

20. （本小题满分12分）

已知圆C :()()25212

2

=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈

（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；

（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时 直

线l 的方程．

(第5页，共6页)

21. （本小题满分12分）

已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角 坐标系xoy .

(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.

22.（本小题12分）

设点P 是圆x 2

+y 2

=4上任意一点，由点P 向x 轴作垂线PP 0，垂足为P o ，且3

2

O O MP PP =

． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）设直线l ：y=kx+m(m ≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C 交于

不同的两点A ，B ．

（1）若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，求实数m 的取值范围；

（2）若以AB 为直径的圆过曲线C 与x 轴正半轴的交点Q ，求证：直线l 过定点(Q

点除外)，并求出该定点的坐标．

(第6页，共6页)

唐山一中2013-2014学年度第一学期期中考试

高二年级数学（理）答案

二、填空题

13. 33 14. 0 15. 15. 16. ①③④ 三、解答题

17. 解：（1）如图，作直线AD BC ⊥，垂足为点D 。 781

606

BC k -=

=-- ………………… 1分 BC AD ⊥

1

6AD BC

k k ∴=-

= ………………3分 由直线的点斜式方程可知直线AD 的方程为：

()064y x -=-

化简得： 624y x =- ……………5分 （2）如图，取BC 的中点()00,E x y ，连接AE 。

____________考号_______________班级________姓名_____________ ………装………………………订………………… 线 …………………

由中点坐标公式得000632

871522

x y +?==???+?==??，

即点153,

2E ??

???

……………………7分 由直线的两点式方程可知直线AE 的方程为：15

02

434

y x --=

-- ………………………9分 化简得：15

302

y x =-+ ……………………………………10分

18. 解:（1）设直线l 的斜率为k （k 存在），

则方程为0(2)y k x -=-. 即02=--k y kx

又圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =，

=， 解得34

k =-. …3分

所以直线方程为3

(2)4

y x =-

-， 即 3460x y +-=. ……4分

当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件. ……6分 所以直线l 的方程为2x =或3460x y +-=………………………7分 （2

）由于CP =8分

所以弦心距d ==4MN =……10分

故以MN 为直径的圆Q 的方程为22

(2)4x y -+=. ……12分

19. 解：(1)设曲线方程为y ＝ax 2

＋

647，由题意可知，0＝64a ＋64

7

，……2分 ∴a ＝－1

7

.

∴曲线方程为y ＝－17x 2＋64

7

. …………4分

(2)设变轨点为C (x ，y )， 联立?????

x 2100＋y 2

25＝1，

y ＝－17x 2

＋64

7，

得4y 2

－7y －36＝0.

∴y ＝4或y ＝－9

4

(不合题意，舍去)． ………………6分

由y ＝4得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)．

∴C 点的坐标为(6,4)，…………10分 此时|AC |＝25，|BC |＝4.

故当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令

……………………………12分

20. 解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l , 可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,…………2分 所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点. 由方程组??

?=-+=-+04,072y x y x 解得?

??==1,

3y x 即两直线的交点为A )1,3( ………3分

又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d , ……………4分 所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交…………5分 (2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .

BD 为直线被圆所截得的最短弦长. …………7分

此时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以. 即最短弦长为54. ………………9分 又直线AC 的斜率2

1-=AC k ,

所以直线BD 的斜率为2. …………11分

此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即…………………12分 21. (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()(

)(

)

1,2,

0,2,

0,2-.

设椭圆的标准方程是()0122

22>>=+b a b

y a x .

()(

)()

(

)

()

2

240122012

222

2

2

2

>=-+-+

-+--=

+=BC

AC a 则………………3分

2=∴a 224222=-=-=∴c a b ………………5分

∴椭圆的标准方程是.1242

2=+y x ……………………6分

(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x

联立方程:???=++=4

222

2y x kx y 消去y 整理得,()048212

2=+++kx x k …………7分 有22

1221214

,218k x x k k x x +=+-

=+

若以MN 为直径的圆恰好过原点,则OM ⊥,

所以02121=+y y x x , ………………………………9分

所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即(

)()0421212

12

=++++x x k x

x k

所以,()

0421*******

2

22=++-++k k k k …………………10分 即,021482

2

=+-k

k 得.2,22±==k k …………………11分 所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .

所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点…12分 22.解：（Ⅰ）设点(),M x y ，()00,P x y ，则由题意知)0,(00x P .

由),(00y x x MP --=，),0(00y PP -=，且003

2

MP PP =， 得),0(2

3

),(00y y x x -=

--. 所以??

???-=-=-,23

,000y y x x 于是?????==.32,00y y x x ……1分 又42020=+y x ，所以43

422

=+y x .

所以，点M 的轨迹C 的方程为13

42

2=+y x .…3分 （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B .

联立?????=++=,134

,2

2y x m kx y 得0)3(48)43(2

22=-+++m mkx x k . 所以，0)3)(43(16)8(2

22>-+-=?m k mk ，

即0432

2

>-+m k . ① ………………5分

且???

????

+-=?+-=+.43)3(4,43822

21221k m x x k mk x x （i ）依题意，21212y y k x x =，即2

1212

kx m kx m k x x ++=?.

()222121212x x k k x x km x x m ∴=+++.

0)(221=++∴m x x km ，即0)438(2

2

=++-m k

mk km . 0m ≠，01)438(2

=++-∴k k

k ，…………………6分 解得432=k .将4

32

=k 代入①，得62

所以，m 的取值范围是)6,0()0,6( - ……………………8分

（ii ）曲线13

42

2=+y x 与x 轴正半轴的交点为)0,2(Q . 依题意，⊥， 即0=?.

于是0),2(),2(2211=--?--y x y x .

∴04)(2212121=+++-y y x x x x ，

即0))((4)(2212121=+++++-m kx m kx x x x x ，

04)438()2(43)3(4)1(2

2

222

=+++-?-++-?+∴m k mk km k m k .化简， 得041672

2=++k mk m . ……………….13分

解得，k m 2-=或7

2k m -=，且均满足0432

2>-+m k ……9分

当k m 2-=时，直线l 的方程为)2(-=x k y ，直线过定点)0,2((舍去)； …10分

当72k m -=时，直线l 的方程为)72(-=x k y ，直线过定点)0,7

2

(. ………11分

所以，直线过定点)0,7

2

(. ………12分