曲线积分与曲面积分_期末复习题_高等数学(下册)_(上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案
一、选择题 1．曲线积分
()sin ()cos x
L f x e ydx f x ydy ??--?
??与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = B
A.
1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1
()2
x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则
C
ydx xdy
x y -+=+?? C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2
2
41x y +=的正向，则
224C
ydx xdy
x y -+=+?? D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上2
2
1y z +≤，则
2
22()x
y z ds ∑
++=?? D
A.0
B. π
C. 14
π D. 12
π
5．设222:C x y a +=，则22
()C
x y ds +=?? C
A.2
2a π B. 2
a π C. 32a π D. 3
4a π 6. 设∑为球面2
2
2
1x y z ++=
，则曲面积分
∑
[ B ]
A.4π
B.2π
C.π
D.1
2
π
7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分
?
=L
yds [ C ]
A. 21
B. 2
1
- C. 22 D. 22-
8. 设I=?
L
ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,
则I=[D ]
A.
655 B.1255 C.6155- D. 12
1
55- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.
?-l ydy xdx 21； B. ?-l xdx ydy 2
1
；
C.
?-l xdy ydx 21； D. ?-l
ydx xdy 21
。
10．设2
2
2
2
:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 C
A.1
4S
S xds xds =???? B.1
4S
S yds yds =????
C.
1
4S
S zds zds =???? D.1
4S
S xyzds xyzds =????
二、填空题
1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分
?=+-L y dy x e
ydx )(2
-2
2.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则??=-+-+-s
dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(0
3.
?
=++-12
2
22y x y
x xdy
ydx =π2-
4．曲线积分
22
()C
x y ds +?
?，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5
．设∑为上半球面)0z z =
≥，则曲面积分()222ds y x z ∑
++??= 32π
6. 设曲线C 为圆周2
2
1x y +=,则曲线积分
()2
23d C
x
y x s +-?? 2π .
7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分?=+C ds )y
x (
8. 设∑为上半球面z
=，则曲面积分
∑
的值为 8
3
π。
9. 光滑曲面z=f （x ，y ）在xoy 平面上的投影区域为D ，则曲面z=f （x ，y ）的面积是
????+??+=D
d y
z
x z S σ22)()(
1 10．设L 是抛物线3
y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)L
x y dx -=?
12
11、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，
222()I x y z ds Γ
=++=?则曲线积分 ()221ππ+ 。
12、设L 为222
x y a +=的正向，则
22L xdy ydx
x y -=+?? 2π 。
三、计算题 1
．L
?
，其中L 为圆周221x y +=，直线y x =及x 轴在第一象限所围图形的边界。
解：记线段OA
方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπ
θθ
=?≤≤?=? 线段OB 方程0,01y x =≤≤。
则原式＝
OA
?
＋
AB
?
＋
OB
?
＝0
＋40
ed π
θ?＋1
x e dx ?
＝2(1)4
e e π
-+ ＃
2
．
[ln(L
y xy x dy +++，其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线
段0,0y x π=≤≤所围闭区域D 的正向边界。 解：
利用格林公式，P =
[ln(Q y xy x =+，则
P y
?=?
2Q y x ?=?故原式＝
(
)D
Q P
dxdy x y ??-=????2D
y dxdy =??sin 20
x
dx y dy π
?
?
＝
3014
sin 39
xdx π=? ＃ 3．22
L
y dx x dy +?
，其中L 为圆周2
2
2
x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。
解：L 的参数方程为cos sin x R t
y R t
=??=?，t 从0变化到π。
故原式＝
22220
[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π
-+?
＝3
22
[(1cos )(sin )(1sin )cos ]R
t t t t dt π
--+-?＝343
R - ＃ 4．求抛物面2
2
z x y =+被平面1z =所割下的有界部分∑的面积。
解：曲面∑的方程为2
2
,(,)z x y x y D =+∈，这里D 为∑在XOY 平面的投影区域
22{(,)1}x y x y +≤。
故所求面积＝
D
=
D
2
00
1
6
dπθπ
==
??＃
5、计算(sin)(cos)
x x
L
e y my dx e y m dy
-+-
?，其中L为圆222
()(0)
x a y a a
-+=>的上半圆周，方向为从点(2,0)
A a沿L到原点O。
解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式
(sin)
x
P e y my
=-，cos
x
Q e y m
=-，cos
x
P
e y m
y
?
=-
?
，cos
x
Q
e y
x
?
=
?
于是(sin)(cos)
x x
L
e y my dx e y m dy
-+-
?＋(sin)(cos)
x x
OA
e y my dx e y m dy
→
-+-
?
＝
2
2
D
m a
m dxdy
π
=
??
而(sin)(cos)
x x
OA
e y my dx e y m dy
→
-+-
?＝20000
a
dx+=
?，于是便有
(sin)(cos)
x x
L
e y my dx e y m dy
-+-
?＝2
2
m a
π
＃6．222222
()()()
L
y z dx z x dy x y dz
-+-+-
?，其中L为球面2221
x y z
++=在第一
卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。
解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程
cos
sin
x
y t
z t
=
?
?
=
?
?=
?
，t从
2
π
变化到0。
于是
222222
()()()
AB
y z dx z x dy x y dz
-+-+-
?＝022
2
[sin(sin)cos(cos)]
t t t t dt
π
--
?＝4
3
由对称性即得
222222222222
()()()3()()()4 L AB
y z dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz
-+-+-=-+-+-=??
＃
7．(1)(1)(1)
x dydz y dzdx z dxdy
∑
+++++
??，其中∑为平面1,0,
x y z x
++==0,
y= 0
z=所围立体的表面的外侧。
解：记
1
∑为该表面在XOY平面内的部分，
2
∑为该表面在YOZ平面内的部分，
3∑为该表面在XOZ 平面内的部分，4∑为该表面在平面1x y z ++=内的部分。 1∑的方程为0,01,01z y x x =≤≤-≤≤，根据定向，我们有
1
(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++??＝1
(1)z dxdy ∑+??＝01011
2
x y x
dxdy ≤≤≤≤--
=-??
同理，
2
1(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-?? 3
1(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-?? 4∑的方程为1,01,01z x y y x x =--≤≤-≤≤，故
4
(1)z dxdy ∑+=
??01
012(2)3
x y x
x y dxdy ≤≤≤≤---=
??
， 由对称性可得
4
(1)x dydz ∑+=
??4
2(1)3
y dzdx ∑+=
??， 故
4
(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=??
于是所求积分为11
2322
-
?= ＃ 8．计算曲面积分：()[2sin()](3)x y
S x y z dydz y z x dzdx z e dxdy +
++++++++??，其中
S +为曲面1x y z ++=的外侧。
解：利用高斯公式，所求积分等于
1
(123)u v w dxdydz ++≤++???=11
6832g g g =8 ＃ 9. 计算I=??++s
xzdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立
体的表面外侧
解：设V 是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体 由Gass 公式得:
I=???++V
dxdydz z y x )(
=???---++y
x x dz z y x dy dx 10
1010)( =
8
1
＃
10．计算I=
?
Γ
-+ydz x dy zy dx x 2233,其中Γ是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)
的直线段AB 解：直线段AB 的方程是
1
23z
y x ==；化为参数方程得： x=3t, y=2t, z=t, t 从1变到0， 所以：
I=?Γ-+ydz x dy zy dx x 2233
＝
3221
[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt ?+?-??
＝4
87
870
13-
=?dt t ＃ 11. 计算曲线积分I=
??
-+-AMO x
x
dy y e dx y y e
,)2cos ()2sin ( 其中?
AMO 是由点
A(a,0)至点O(0, 0) 的上半圆周ax y x =+22
解：在x 轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将?
AMO 扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段OA 上, ?-
=-+-OA
x x dy y e dx y y e 0)2cos ()2sin (
从而?
?
?
?
?
-
?
=
+=AMO
OA
AMOA
AMO
又由Green 公式得:
???
≤+=
=
-+-AMOA ax
y x x
x
a dxdy dy y e dx y y e
224
2)2cos ()2sin (2
π ＃
12. 计算曲线积分dz y dy x dx z L
3
33++?其中L 是z=2)(22y x +与z=322y x -- 的交
线沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L 写成参数方程:
x=cost, y=sint, z=2 t: 0π2→
于是: dz y dy x dx z L
3
33++?=??+-ππ20
420
cos sin 8tdt dt t =π4
3
另证：由斯托克斯公式得
dz y dy x dx z
L 333
++?=??∑
-+-+-dxdy x dxdz z dydz y )03()03()03(222
22:2,1z x y ∑=+≤上侧，则：
2221
3
3
3
2
32
001
33
3cos 4L
x y z dx x dy y dz x dxdy d r dr π
θθπ+≤++===?????? ＃ 13. 设曲面S 为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S 的面积I 解：S 在xoy 平面的投影区域为：{}
10,10),(≤≤-≤≤=x x y y x D xy