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2019年考研数学基础知识复习讲义(完整版)

2019年考研数学基础知识复习讲义（完整版）

高等数学

第一章函数、极限、连续（全体）

第二章一元函数微分学（全体）

第三章一元函数积分学（全体）

常微分方程（全体）

第五章向量代数与空间解析几何（数学一）

第六章多元函数微分学（全体）

第七章多元函数积分学

§7．1 二重积分（全体）

§7．2 三重积分

§7．3 曲线积分

§7．4 曲面积分（数学一）

第八章无穷级数（数学一和数学三）

第一章函数、极限、连续

§1．1 函数

甲内容要点

一．函数的概念

1．函数的定义

设D是一个非空的实数集，如果有一个对应规则f，对每一个D

x∈，都能对应唯一的一个实数y，则这个对应规则f称为定义在D上的一个函数，记以()x f

y=，称x为函数的自变量，y为函数的因变量或函数值，D称为函数的定义域，并把实数集

()

{}D

x f

y y

Z∈

称为函数的值域

2．分段函数

如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。

例如 ()??

??>≤≤--<+==151111

2x x x x x x x f y

是一个分段函数，它有两个分段点，

1-=x 和1=x ，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数()x f y =在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

又()???<-≥==0

,x x x x x x f ，

()??

??<-=>==0,10,00,1s g n x x x x x f ，都是分段函数

3．隐函数

形如()x f y =的函数称为显函数，由方程

()0,=y x F 确定()x y y =称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，例如122=+y x ，21x y -±=，（不一定一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4．反函数

如果()x f y =可以解出()y x ?=是一个函数（单值）则称它为()x f 的反函数，记以()y f x 1-=。有时也用

()x f y 1-=表示，例如()0,2≥=x x y 解出y x =，

()0≥y 而()02≤=x x y 解出()0≥-=y y x

二．基本初等函数

1．常值函数c y =（常数） 2．幂函数αx y =（α常数）

3．指数函数x a y = (0>a ,1≠a 常数) x e y =（ 7182.2=e ，无理数）

4．对数函数x y a log =（1,0≠>a a 常数）常用对数x x y lg log 10== 自然对数x x y e ln log ==

5．三角函数x y sin =；x y cos =；x y tan =； x y c o t =；x y sec =；x y csc =。 6．反三角函数x y arcsin =；x y arccos =；

y a r c t a n =；x arc y cot =。

关于基本初等函数的概念，性质及其图象非常重要，影响深远。例如以后经常会用x x arct an lim +∞

→；

x x arctan lim -∞

→；x x e 10

lim +

→；x

x e 10

lim -→；x x ln lim 0

+→等等。就需要关于x y arctan =，x

e y =，x y ln =的图象很清晰。

三．复合函数与初等函数

1．复合函数

设()u f y = 定义域U

()x g u = 定义域X ，值域*U

如果U U ?*，则()[]x g f y =是定义在X 上的一个复合函数。其中u 称为中间变量。

2．初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。

四．考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

（1）()x f y n n ∞

→=lim

（2）()x t f y x

t ,lim →=

2．用变上、下限积分表示的函数

（1）()dt t f y x ?=0

，其中()t f 连续，则

()x f dx

= （2）()()

()

dt t f y x x ?=21??，

其中()x 1?，()x 2?可导，()t f 连续，则()[]()()[]()x x f x x f dx

112

2????'-'=

五．函数的几种性质

1．有界性：

设函数()x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有()M x f ≤则称()x f 在X 上是有界的。

2．奇偶性：

设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有

()()x f x f -=-，则称()x f 在X 上是奇函数；若对

X x ∈，都有()()x f x f =-，则称()x f 在X 上是偶函

数、奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。

3．单调性：

设()x f 在X 上有定义，若对任意X x ∈1，X x ∈2，

21x x <都有()()()()[]2121x f x f x f x f ><则称()x f 在

X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意X x ∈1，

X x ∈2，21x x <都有()()()()[]2121x f x f x f x f ≥≤则称()x f 在X 上是单调不减[单调不增]。

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

4．周期性：

设()x f 在X 上有定义，如果存在常数0≠T ，使得任意X x ∈，X T x ∈+，都有()()x f T x f =+，则称

()x f 是周期函数，称T 为()x f 的周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。

乙典型例题

一．求函数的定义域

例1．求函数()2100ln ln ln x x x f -+=的定义域

例2．求5

ln 1

-+-=x x x y 的定义域

例3．设()x f 的定义域为[]()0,>-a a a ，求

()

12-x f 的定义域例

．

设

()?

?≤≤<≤=42 ,220

,1x x x g 求

()()()12-+=x g x g x f 的定义域，并求??

??23f 。

二．求函数的值域

例1．求3

-=x e y 的值域

例2．求()()??

??>--≤≤---<-==2,2122,52

,323x x x x x x x f y 的值

域，并求它的反函数

三．求复合函数有关表达式

1．已知()x f 和()x g ，求()[]x g f

例1．已知()1

-=x x

x f ，求()??

????-11x f f

例2．设()2

1x x x f +=

，求()()[]()

重复合

n x f x f f f n =

例3．设()??

?>≤-=2

42x x x x f ，求()[]x f f

2．已知()x g 和()[]x g f ，求()x f 例1．设()

x e e e f x x x ++=+21，求()x f

例2．已知()

x x xe e f -='，且()01=f ，求()x f

例3．设()x x f sin =，求()x f '

例

4．已知()x x f 2c o s 3s i n

-=，求证()x x f 2c o s 3c o s +=

3．已知()x f 和()[]x g f ，求()x g

例．已知()()x x f +=1ln ，()[]x x g f =，求()x g 解：()[]x f

x g 1

-=实际上为求反函数问题

()[]()[]x x g x g f =+=1ln ，()x e x g =+1 ()1-=x

e x g

4．有关复合函数方程

例．设()x x f x x f 2311-=??

??-+，求()x f

四．有关四种性质

例1．设()()x f x F ='，则下列结论正确的是[ ] （A ）若()x f 为奇函数，则()x F 为偶函数。（B ）若()x f 为偶函数，则()x F 为奇函数。（C ）若()x f 为周期函数，则()x F 为周期函数。（D ）若()x f 为单调函数，则()x F 为单调函数。

解：（B ）不成立，反例()2

x x f =，()13

+=x x F （C ）不成立，反例()1cos +=x x f ，

()x x x F +=sin

（D ）不成立，反例()x x f 2=，()2x x F =在

()+∞∞-,内

（A ）成立。证明：()()()?+=x dt t f F x F 0

0，f 为

奇函数

()()()()()()?

?---+=+=-x

u d u f F dt t f F x F 0

()()()?=+=x x F du u f F 0

0 ()x F ∴为偶函数。

例2．求()

(

)[

]

dx x x e e x x I x x 1ln 11

25?--++-+=

§1.2 极限

甲内容要点

一．极限的概念与基本性质

1．极限的定义

（1）A x n n =∞

→lim （称数列{}n x 收敛于A ）

任给0>ε，存在正整数N ，当N n >时，就有

ε<-A x n 。

（2）()A x f x =+∞

→lim

任给0>ε，存在正整X ，当X x >时，就有

()ε<-A x f 。（3）()A x f x =-∞

→lim

任给0>ε，存在正数X ，当X x -<时，就有()ε<-A x f

（4）()A x f x =∞

→lim

任给0>ε，存在正数X ，当X x >时，就有

()ε<-A x f

（5）()A x f x x =→0

lim

任给0>ε，存在正数δ，当δ<-<00x x 时，就有()ε<-A x f

（6）()A x f x x =+

→0

lim （用()00+x f 表示()x f 在0x 的右极限值）

任给0>ε，存在正数δ，当δ<-<00x x 时，就有()ε<-A x f

（7）()A x f x x =-

→0

lim （用()00-x f 表示()x f 在0x 的左极限值）

任给0>ε，存在正数δ，当00<-<-x x δ时，就有()ε<-A x f

其中()00+x f 称为()x f 在0x 处右极限值，

()00-x f 称为()x f 在0x 处左极限值。

有时我们用()A x f =lim 表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质，有时我们把()n f x n =，把数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。

2．极限的基本性质

定理1．（极限的唯一性）设()A x f =lim ，

()B x f =lim ，则B A =

定理2．（极限的不等式性质）设()A x f =lim ，

()B x g =lim

若x 变化一定以后，总有()()x g x f ≥，则B A ≥ 反之，B A >，则x 变化一定以后，有()()x g x f > （注：当()0≡x g ，0=B 情形也称为极限的保号性）

定理3．（极限的局部有界性）设()A x f =lim 则当x 变化一定以后，()x f 是有界的。定理4．设()A x f =lim ，()B x g =lim 则（1）()()[]B A x g x f +=+lim （2）()()[]B A x g x f -=-lim

（3）()()[]B A x g x f ?=?lim （4）()()B

x g x f =lim

()0≠B （5）()[]()

B x g A x f =lim ()0>A

二．无穷小

1．无穷小定义

若()0lim =x f ，则称()x f 为无穷小

（注：无穷小与x 的变化过程有关，01

lim

=∞→x

x ，当∞→x 时，x 1为无穷小，而0x x →或其它时，x

不

是无穷小）

2．无穷大定义

任给0>M ，当x 变化一定以后，总有()M x f >，则称()x f 为无穷大。记以()∞=x f lim

3．无穷小与无穷大的关系

在x 的同一个变化过程中若()x f 为无穷大，则

()

x f 1

为无穷小，若()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则

()

x f 1

为无穷大

4．无穷小与极限的关系

()()()

x A x f A x f α+=?=lim

其

中

()0l

i m =x α

5．两个无穷小的比较

设()0lim =x f ，()0lim =x g ，且()()

l x g x f =lim

（1）0=l ，称()x f 是比()x g 高阶的无穷小，记以()()[]x g x f 0=

称()x g 是比()x f 低阶的无穷小。（2）0≠l ，称()x f 与()x g 是同阶无穷小。（3）1=l ，称()x f 与()x g 是等价无穷小，记以

()()x g x f ~

6．常见的等价无穷小

当0→x 时

x x ~s i n ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan 2

c o s 1x x -，x e x ~1-，()x x ~1ln +，()x x αα~11 -+

7．无穷小的重要性质

有界变量乘无穷小仍是无穷小

三．求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则

2．两个准则

准则1．单调有界数列极限一定存在

（1）若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数）

则A x n n =∞

→lim 存在，且m A ≥

（2）若n n x x ≥+1（n 为正整数）又M x n ≤（n 为正整数）

则A x n n =∞

→lim 存在，且M A ≤

准则2．（夹逼定理）设()()()x h x f x g ≤≤ 若()A x g =lim ，()A x h =lim ，则()A x f =lim

3．两个重要公式

公式1．1sin lim

0=→x

x 公式2．e n n

n =??? ??+∞→11lim ；e u u

u =??

??+∞

→11lim ；

()e v v

v =+→10

1lim

4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）

当0→x 时，()

n n

x n x x x e 0!

!212+++++= ()()()

1212530!121!

5!3s i n ++++-+++-=n n n

x n x x x x x

()()()

n n

n x n x

x x x 22420!21!

4!21c o s +-+-+-=

()()()

n n

n x n

x x x x x 01321l n 132+-+-+-=++

()()

121

215301

2153a r c t a n +++++-+-+-=n n n x n x

x x x x

()()

()()[]

n n x x x !

11!

21112 ---+

+-+

+=+ααααααα

6．洛必达法则

法则1．（

型）设（1）()0lim =x f ，()0lim =x g （2）x 变化过程中，()x f '，()x g '皆存在（3）()()

A x g x f =''lim

（或∞）则()()

A x g x f =lim

（或∞）

（注：如果()()

x g x f ''lim

不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()()

x g x f lim

不存在且不是无穷大量情形）

法则2．（

∞

型）设（1）()∞=x f lim ，()∞=x g lim （2）x 变化过程中，()x f '，()x g '皆存在（3）()()

A x g x f =''lim

（或∞）则()()

A x g x f =lim （或∞）

7．利用导数定义求极限

基本公式：()()

()0000lim

x f x x f x x f x '=?-?+→? [如果存在]

8．利用定积分定义求极限

基本公式 ()?∑=??

? ??=∞→1

011l i m dx x f n k f n n k n [如果存

在]

9．其它综合方法

10．求极限的反问题有关方法

乙典型例题

一．通过各种基本技巧化简后直接求出极限

例1．设0≠m a ，0≠n b 求

01110

111lim b x b x b x b a x a x a x a n n n n m m m m x ++++++++----∞→

例2．设0≠a ，1

→+++n n ar ar a

解：()

a r r a ar

ar a n n n n -=--=+++∞→-∞

→111lim lim 1

特例（1）求

()???

???????? ??-+-??? ??+??? ??-+∞→n

n n 321323232lim 132 解：例2中取32=a ，3

-=r ，可知原式

5232132

=??

? ??--=

（2）34

323131121211lim

? ??+++??? ??+++∞

→n

n 例3．求n

n n

n n 3223lim 11+-++∞→

例4．设l 是正整数，求()

∑=∞

→+n

k n l k k 11

lim

特例：（1）()111

lim 1=+∑

=∞→n

k n k k

（2）()

21lim 1=+∑=∞→n

k n k k

例5．设l 是正整数，求()()

∑

=∞

→++n

k n l k k l k l 1

2lim

特例：（1=l ）()

1112lim 1

2=++∑

=∞

→n

k n k k k

（2=l ）()()

112222lim 2

2=+

=++∑

=∞

→n

k n k k k 例

．

设

>d 为常数，求

()??

????-+++++∞→2221111lim n d n n d

n n

例7．求下列各极限（1）x

x x --+→11lim

（2）

x x 33

011lim

--+→ （3）x

x x x x --+--+→1111lim

（4）

()

x x x x

x 3lim

--++∞

→

二．用两个重要公式

例1．求x

x -→ππsin lim

例2．求()

x x x

x x cos 1sin 1tan 1lim

-+-+→

解一：原式()()()()

x x x x x x x sin 1tan 1cos 11sin 1tan lim 0

+++-+-+=→

()()2

t a n l i m 21c o s 1c o s 1t a n l i m 2100==--=

→→x x x x x x x x 解二：原式

()()()

()

x x x x x x x x x x c 1s t

lim 21cos 11sin 11tan 1lim

--=--+--+=→→

t a n l i m 210==

→x x x 例3．求n n x

x x 2

cos 4cos 2cos lim ∞→

例4．求下列极限

（1）10

21lim +∞

→?

??-x x x （2）

x x x 1

011lim ??

? ??+-→ （3）x

x x x ??

??+-∞→11lim （4）

1232lim +∞→???

??++x x x x

例5．求下列极限（1）()

x x cot tan 1lim +∞

→ （2）1

lim -→x x x

（3）()

x x 2cot 0

cos lim → （4）

()

x x x 3csc 0

2cos lim →

三．用夹逼定理求极限

例1．求???

?-??∞→n n n 212654321lim

解：令n n x n 212654321-??=

，1

225432+?=n n y n 则n n y x <<0，

于是1

02+=<

由夹逼定理可知0lim 2

=∞

→n

n x ，于是原极限为0。例2．求下列极限 ∑

=∞

→+n

k n k

n 12

1l i m

四．用洛必达法则求极限

1．“00”型和“∞

∞

”型

例1．求n

n n

n 1

sin 1sin

1lim 3

-∞→ 解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 3

030

s i n lim sin sin lim

x x

x x x x x x --→→等价无穷小代换 61

6s i n l i m 3c o s 1l i m 020==-=→→x x x x x x ∴原式6

例2．求101

lim x

e x

x -

→

2．“∞-∞ ”型和“∞?0”型。

例1．求??? ?

?--→111lim 0x x e x

例2．求???

??-→22

20cos sin 1lim x x x x

例3．求x x x ln sin lim 20

→

例4．设0>a ，0>b 常数，求???

? ??-+∞→x x x b a x 1

1lim

3．“∞1”型，“00”型和“0∞”型

这类都是()[]()x g x f lim 形式，可化为()()[]x f x g e ln lim 而()()[]x f x g ln lim 都是“∞?0”型，按2的情形处理

例1．求x x x 2

sin 0

lim +

→

例2．求()

x x 2cot 0

cos lim → （前面已用重要公式的方

法）

解：令()x x y 2

cot cos =，x x y cos ln cot ln 2=

020200c o s ln lim tan cos ln lim

cos ln cot lim ln lim x x

x x x x y x x x x →→→→===

（“00”型）=21

2tan lim

0-=-→x x x ， ∴ 2

l i m

→=e y x

例3．求x

x x x ??? ??+∞→1cos 1

sin lim

五．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

例1．求1sin 1

lim 23

2++++∞→n n n n n

解： 0131

11l i m 1

31l i m 3

2=+

++=+++∞→∞→n

n n n n n n n n ，

11s i n 2≤+n ，

根据有界变量乘无穷小仍是无穷小，可知原式

例2．求()()()x

x e x x x

x 5sin 21ln 13arctan 2cos 1lim 0+--→

例3．求()()

x x x x x x +++→1ln cos 11

cos

sin 3lim

20 解：这个极限虽是“

”型，但分子，分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则。

原式()231ln 1cos sin 3cos 11lim 0=?????

???????+++=→x x x x x x

x x 例4．设n 为正整数，求[]

x x

x x n n n x cos 111lim 20-+-++→

六．求分段函数的极限

例1．求下列函数在分段点处的极限

（1）()???????>-<=0 ,cos 10 ,2sin 2

x x

x x x

x f （2）()???

????≥+<--=1 ,211 ,1

22x x x x x x g

解：（1）()222sin 2lim 2sin lim 0000

=?==--

→→x

x x f x x ()22

1lim cos 1lim

002

020==-=+++→→x x x x f x x ()2lim 0

=∴→x f x

（2）()()21lim 11

lim

01121=+=--=---→→x x x g x x ()2

21lim 0121=??? ??+=++→x g x

因为()()0101+≠-g g ，故()x g x 1

lim →不存在。

例2．求?

? ??+++→x x e e x x x sin 12lim 41

七．求极限的反问题

例1．设()

sin lim 221=-++→x b

ax x x 求a 和b

例2．设1sin 1lim 02

0=+-?→x x dt t

a t x bx ，求a 和

b 。

§1.3 连续

甲内容要点

一．函数连续的概念

1．函数在点0x 处连续

定义1．设函数()x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量x ?（初值为0x ）趋近于0时，相应的函数改变量y ?也趋近于0，即

0lim 0

=?→?y x

或

()()[]0lim 000

=-?+→?x f x x f x

则称函数()x f y =在点0x 处连续。

函数()x f y =在点0x 处连续也可作如下定义。定义2．设函数()x f y =在点0x 的某个领域内有定义，如果当0x x →时，函数()x f 的极限值存在，且等于0x 处的函数值()0x f ，即

()()00

lim x f x f x x =→

则称函数()x f y =在点0x 处连续，此时有

()()()00

lim lim x f x f x f x x x x ==+

→→ 并且有

()()[]0

lim lim 0x x x x x f x f x f →→==

即如果函数在点0x 处连续，则在点0x 处可以交换极限号和函数号的顺序。

定义3．设函数()x f y =，如果()()00

lim x f x f x x =-

→，则称函数()x f 在点0x 处左连续；如果

()()00

lim x f x f x x =+→，则称函数()x f 在点0x 处右连续。

由上述定义2可知，如果函数()x f y =在点0x 处连续，则()x f 在0x 处既左连续也右连续。

2．函数在区间内（上）连续的定义

如果函数()x f y =在开区间()b a ,内的每一点都连续，则称()x f 在()b a ,内连续。

如果()x f y =在开区间内连续，在区间端点a 右连续，在区间端点b 左连续，则称()x f 在闭区间[]b a ,上连续。

二．函数的间断点及其分类

1．函数的间断点的定义

如果函数()x f y =在点0x 不连续，则称0x 为()x f 的间断点。

2．函数的间断点的分类

函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点

设0x 是函数()x f y =的间断点。如果()x f 在间断

点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是()x f 的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。例如．0=x 是()x

x f sin =

的可去间断点，是()x

x x f =

的跳跃间断点，是()x

x f 1

的无穷间断点，是()x

x f 1

sin =的振荡间断点。

三．初等函数的连续性

1．在区间I 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I 仍是连续的。

2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。

3．在区间I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。

4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。 5．初等函数在它的定义区间内是连续的。

四．闭区间上连续函数的性质

在闭区间[]b a ,上连续的函数()x f ，有以下几个基

本性质。这些性质以后都要用到。

定理1．（有界定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则()x f 必在[]b a ,上有界。

定理2．（最大值和最小值定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，则在这个区间上一定存在最大值

M 和最小值m 。

其中最大值M 和最小值m 的定义如下：定义设()M x f =0是区间[]b a ,上某点0x 处的函数值，如果对于区间[]b a ,上的任一点x ，总有

()M x f ≤，则称M 为函数()x f 在[]b a ,上的最大值。同样可以定义最小值m 。

定理3．（介值定理）如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c ，在[]b a ,上至少存在一个ξ，使得

()c f =ξ

推论：如果函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，且

()a f 与()b f 异号，则在()b a ,内至少存在一个点ξ，使得

()0=ξf

这个推论也称为零点定理

思考题：什么情况下能保证推论中的ξ是唯一的？

乙典型例题

一．讨论函数的连续性

由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。例1．讨论函数

()???

???>=<=0

sin 0,00,1

x x x x x e x f x

在点0=x 处的连续性。解：因

()()0lim lim 001

===--

-→→x

x x e x f f ()()01

sin lim lim 0000===+++→→x

x x f f x x ()00=f

即有()()()00000f f f =+=-，故()x f 在点0=x 连续。

例2．讨论函数

()()?

??????>-+=<-0 ,1

10 ,21

0 ,1ln x x x x

x x

x x f 在点0=x 的连续性。

二．已知函数的连续性求未知参数

例1．设()???

??=≠=0

0sin x k x x x

x f 在0=x 处连续

求常数k

例2．如果函数

()???

???>+=<=0

s i n 0

sin 1

x q x x x p x x x x f 在0=x 处连续，求常数p 和q 。

例3．设()??

??>≤≤-++-<-=1

21112

2x x b

ax x x x f 在()+∞∞-,内连续

求常数a 和b

解：()b a f +-=-11 ，()b a f ++=11，由1-=x 的连续性可知21-=+-b a 得3-=-a b 由1=x 的连续性可知21=++b a 得1=+a b 所以1,2-==b a

三．求函数的间断点并确定其类型

例1．求函数()1

--=x x x f 的间断点，并确定其类型

例2．求函数()()

-+=x x x

x x f 的间断点，并确定其类型。

例3．求函数()x

x f tan =的间断点，并确定其类型。

解：这是初等函数，在它的定义区间内函数都是连续的，此函数在0=x 及()

,2,1,02

±±=+=k k x π

π无定义，所以它的间断点是 0=x 和() ,2,1,02

±±=+

=k k x π

下面确定它们的类型。

当0=x 时，由于1tan lim

0=→x

x ，所以0=x 是第一类间断点，且是可去间断点。当

()

,2,1,02

±±=+

=k k x π

π时，由于

() ,2,1,0tan lim

±±=∞=+

→k x

k x π

π，所以() ,2,1,02

±±=+

=k k x π

π是第二类间断点，

且是无穷间断点。例4．求函数

()???

???>=<=0

,1a r c t a n 0,

001x x x x e x f x 的间断点，并确定其类型。

四．求连续函数的极限

分两种情形：

1．如果()x f 是初等函数，0x 是()x f 定义区间内的一点，

则()()000lim lim x f x f x f x x x x =??? ?

?=→→，即只需在函数的表达式中把自变量x 换成它的极限值0x 就行了。

例1．求()x x sin 2ln lim 2

+→

解：()x sin 2ln +是初等函数，2

=x 是它的定义

区间内的一点，所以

()3ln 2sin 2ln sin 2ln lim 2

=??? ??

+=+→ππx x 2．如果()a x g x x =→0

lim ，而函数()u f y =在点a u =连

续，

则()[]()()a f x g f x g f x x x x =??

? ??=→→00lim lim 例2．求??

??→x x x sin arctan lim 0

解：因1sin lim 0=→x

x ，而函数u y arctan =在点1

=u 连续，所以

a r c t a n s i n lim arctan sin arctan lim 00π==??

? ??

=??? ??→→x x x x x x 例3．求x

x x 12lim 0-→

例4．设()x f 在2=x 处连续，且()32=f ，求

()??

????---→4421

lim 2

2x x x f x

五．利用介值定理的推论判断方程的根

例1．证明五次代数方程0155=--x x 在区间

()2,1内至少有一个根。

例2．证明2sin +=x x 至少有一个不超过3的实根

例3．设()x f 在[]b a ,上连续，且()a a f <，()b b f >，

第二章一元函数微分学

§2.1 导数与微分

甲内容要点

一．导数与微分概念

1．导数的定义

设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量

()()00x f x x f y -?+=?。如果极限

()()x x f x x f x y

x x ?-?+=??→?→?0000l i m l

i m 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商）记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，

()0

x x dx x df =等。

并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，

0x x x -=?，则()()()

000

lim

x x x f x f x f x x --='→

我们也引进单侧导数概念。右

导

数

：

()()()()()

x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='+

→?→+000000lim lim 0

左

导

数

：

()()()()()

x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-

→?→-000000lim lim 0

则有

()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。

切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()()

()0001

x x x f x f y -'-

=-()()00≠'x f

设物体作直线运动时，路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。

例如，()x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。

4．微分的定义

设函数()x f y =在点0x 处有增量x ?时，如果函数的增量()()00x f x x f y -?+=?有下面的表达式 ()()x x x A y ?+?=?00()0→?x

其中()0x A 为与x ?无关，()x ?0是0→?x 时比x ?高阶的无穷小。

则称()x f 在0x 处可微，并把y ?中的主要线性部分()x x A ?0称为()x f 在0x 处的微分，记以0x x dy

=或()

x x x df =

我们定义自变量的微分dx 就是x ?。

5．微分的几何意义

()()00x f x x f y -?+=?是曲线()x f y =在点0x 处相应于自变量增量x ?的纵坐标()0x f 的增量，微分

x x dy

=是曲线()x f y =在点()()000,x f x M 处切线的

纵坐标相应的增量（见图）。

6．可微与可导的关系

()x f 在0x 处可微()x f ?在0x 处可导。

且()()dx x f x x A x x dy

000

'=?==

一般地，()x f y =则()dx x f dy '= 所以导数()dx

x f ='也称为微商，就是微分之商的含义。

7．高阶导数的概念

如果函数()x f y =的导数()x f y '='在点0x 处仍是可导的，

则把()x f y '='在点0x 处的导数称为()x f y =在点0x 处的二阶导数，

记以0

x x y =''，或()0x f ''，或022x x dx y

d =等，

也称()x f 在点0x 处二阶可导。

如果()x f y =的1-n 阶导数的导数，称为

()x f y =的n 阶导数记以()n y ，()()x f n ，n

d 等，这时也称()x f y =是n 阶可导。

二．导数与微分计算

1．导数与微分表

()0='

c ()0=c d

()1 -='

αααx x （α实常数）

()

dx x x d 1 -=ααα （α实常数）

()x x c o s s i n ='

x d x x d c o s s i n =

()x x s i n c o s -='

x d x x d s i n c o s -=

()x x 2

s e c

t a n =' x d x x d 2

s e c t a n =

()x x 2

c s c

c o t -=' x

d x x d 2

c s c c o t -=

()x x x t a n s e c s e c ='

x d x x x d t a n s e c s e c =

()x x x c o t c s c c s c -='

x d x x x d c o t c s c c s c -= ()a

x x a ln 1

log ='

()1,0≠>a a a

x dx

x d a ln log =

()1,0≠>a a

()x x 1

ln ='

dx x

x d 1

ln =

()a a a x x ln ='

()1,0≠>a a adx a da x x ln =()1,0≠>a a

()x x e e ='

dx e de x

()2

11a r c s i n

x x -='

dx x

x d 2

11arcsin -=

()2

11a r c c o

s x x --='

dx x x d 2

11arccos --

()2

a r c t a n x x +=' dx x x d 2

arctan +=

()211

c o t x x a r c +-='

dx x

x darc 2

cot +-= (

)[]2

1ln a

x a

x x +=

(

)dx a

x a

x x d 2

21ln +=

()[]2

1ln a x a

x x -=

()

dx a

x a x x d 2

221ln -=-+

2．四则运算法则

()()[]()()x g x f x g x f '±'='

± ()()[]()()()()x g x f x g x f x g x f '+'='

()()()()()()()x g x g x f x g x f x g x f 2

'-'='??

???? ()()0≠x g ()()[]()()x dg x df x g x f d ±=± ()()[]()()()()x dg x f x df x g x g x f d +=?

()()()()()()()x g x dg x f x df x g x g x f d 2

-=?????? ()()0≠x g

3．复合函数运算法则

设()u f y =，()x u ?=，如果()x ?在x 处可导，()u f 在对应点u 处可导，则复合函数()[]x f y ?=在x 处可导，且有

()[]()x x f dx

du dy dx dy ??''== 对应地()()[]()dx x x f du u f dy ??''='=

由于公式()du u f dy '=不管u 是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。

4．由参数方程确定函数的运算法则

设()t x ?=，()t y ψ=确定函数()x y y =，其中()t ?'，

()t ψ'存在，且()0≠'t ?，则

()()

t t dx dy ?ψ''= ()()0≠'t ?

2019年考研数学基础知识复习讲义(完整版)

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