人教版七年级上册数学 有理数(提升篇)(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图，数轴的单位长度为1，点，，，是数轴上的四个点，其中点，表示的数是互为相反数.

（1）请在数轴上确定原点“O”的位置，并用点表示；

（2）点表示的数是________，点表示的数是________，，两点间的距离是________；

（3）将点先向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度到达点，点表示的数是________，在数轴上距离点3个单位长度的点表示的数是________.

【答案】（1）解：距离A点和B点的距离相等的点即AB的中点，点 .如图所示，点即为所求.

（2）；5；9

（3）；或1

【解析】【解答】解：（2）点表示的数是，点表示的数是5，所以，两点间的距离是 .

故答案为9.

（ 3 ）如图，将点先向右移动4个单位长度是0，再向左移动2个单位长度到达点，

得点表示的数是 .

到点距离3个单位长度的点表示的数是-2-3= 或-2+3=1.

故答案为，或1.

【分析】（1）由点A和点B表示的数互为相反数，因此原点到点A和点B的距离相等，可得到原点的位置。

（2）先再数轴上标出数，可得到点M和点N表示的数，再求出点M，N之间的距离。（3）利用数轴上点的平移规律：左减右加，可得到点C表示的数，与点C距离3个单位长度表示的数为-2±3，计算可求解。

2．列方程解应用题

如图，在数轴上的点A表示，点B表示5，若有两只电子蜗牛甲、乙分别从A、B两点同时出发，保持匀速运动，甲的平均速度为2单位长度秒，乙的平均速度为1单位长度秒请问：

（1）两只蜗牛相向而行，经过________秒相遇，此时对应点上的数是________．

（2）两只蜗牛都向正方向而行，经过多少秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙？

【答案】（1）3；2

（2）解：设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，依题意有

，

解得．

答：两只蜗牛都向正方向而行，经过9秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙

【解析】【解答】解：（1）设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，依题意有

，

解得．

．

答：两只蜗牛相向而行，经过3秒相遇，此时对应点上的数是2．

【分析】（1）可设两只蜗牛相向而行，经过x秒相遇，根据等量关系：两只蜗牛的速度和时间，列出方程求解即可；（2）可设两只蜗牛都向正方向而行，经过y秒后蜗牛甲能追上蜗牛乙，根据等量关系：两只蜗牛的速度差时间，列出方程求解即可．

3．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展.数学老师向同学们提出了这样的问题：“在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.那么，如果用P（a）表示数轴上的点P表示有理数a，Q（b）表示数轴上的点Q表示有理数b，那么点P与点Q的距离是多少？”

（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣=________；

另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣=________；

你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿

求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离. ________（2）小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q 所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣=________；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ________；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M

（）与N（）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.________

【答案】（1）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为

点C与点D之间的距离为

（2）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点的之间的距离为

【解析】【分析】（1）数轴上的点，原点两侧两点之间的距离即点到原点绝对值的相加之和。原点同侧两点之间的距离即绝对值大的减去绝对值小的。

（2）根据数轴上两点之间距离的意义，小颖说的也有意义。列出等式代数求值即可。

4．同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：

（1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________；

（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；

（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；

（4）当a=________时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是________；

（5）当a=________时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________.

【答案】（1）2；6

（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1.

（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;

（4）1；9

（5）1；2n2+3n

【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；

（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；

(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1

当a=1时

原式=3+2+5+4+……+（2n+1）+2n

=2+3+4+5+……+2n+（2n+1）

=

= 2n2+3n

故：答案为1， 2n2+3n ．

【分析】（1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；

（2）此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，从而找出1到-2 的整数即可；

（3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可；

（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可；

（5）|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）| 表示的是a到1，-2，3，-4，5，……-2n,2n+1的距离和，故要使，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1，把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。

5．观察下面的式子：

, , ,

（1）你发现规律了吗？下一个式子应该是________；

（2）利用你发现的规律,计算：

【答案】（1）

（2）解：

=

=

=

= .

【解析】【解答】（1）根据规律，下一个式子是：

【分析】（1）规律：两个自然数（0除外）的乘积的倒数等于这两个自然数倒数的差，据此写出结论即可；

（2）利用规律将原式转化为加减运算，然后利用加法结合律进行计算即可.

6．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且表示数a的点，数b的点与原点的距离相等。

（1）用“>”“<”或”=”填空：b________0，a+b________0，a-c________0 ，b-c________0 （2）|b-1|+|a-1|=________；

（3）化简：|a+b|+|a-c|-|b|+|b-c|。

【答案】（1）<；=；>；<

（2）a-b

（3）解：∵a+b=0，a＞c，b＜c，

∴原式=0+a-c-（-b）+c-b

=a.

【解析】【解答】解：（1）b＜0

∵表示数a的点，数b的点与原点的距离相等，

∴a+b=0；

∵a＞c，

∴a-c＞0；

∵b＜c，

∴b-c＜0.

故答案为：＜、=、＞、＜.

（2）∵b＜1，a＞1

∴b-1＜0，a-1＞0，

∴|b-1|+|a-1|=1-b+a-1=a-b；

故答案为：a-b；

【分析】（1）观察数轴可知b＜0，a与b互为相反数，a＞c，b＜c，由此可得答案。（2）观察数轴可知b＜1，a＞1，从而可判断出b-1，a-1的符号，然后化简绝对值，合并即可。

（3）由a+b=0，a＞c，b＜c，再化简绝对值，然后合并同类项。

7．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数，且、满足与互为相反数.

（1） ________， ________， ________.

（2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数________表示的点重合；

（3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 .

①请问：的值是否随着时间变化而改变？若变化，说明理由；若不变，请求其值.

②探究：在(3)的情况下，若点、向右运动，点向左运动，速度保持不变，

值是否随着时间的变化而改变，若变化，请说明理由；若不变，请求其值.【答案】（1）解：-3；-1；5；(2)3；

（2）3

（3）解：① ，

，

.

故的值不随着时间的变化而改变；

② ，

，

.

当时，

原式，的值随着时间的变化而改变；

当时，

原式，的值不随着时间的变化而改变.

【解析】【解答】（1）∵，∴，，解得，，∵是最大的负整数，∴ .故答案为：-3，-1，5.

(2) ，对称点为， .故答案为：3.

【分析】（1）由非负数的性质可求出a、c，最大的负整数是-1，故b=-1；

（2）折叠后AC重合，A、C的中点即为对称点，再根据对称点求出跟B重合的数；（3）①用速度乘以时间表示出运动路程，可得到和的表达式，再判断

的值是否与t相关即可；②同理求出和的表达式，再计算，分情况讨论得出结果.

8．若有理数在数轴上的点位置如图所示：

（1）判断代数式的符号；

（2）化简：

【答案】（1）解：因为

所以

（2）解：因为

所以

原式

.

【解析】【分析】（1）根据有理数的加减法，可得答案；（2）根据绝对值的性质，可化简去掉绝对值，根据合并同类项，可得答案.

9．观察下面的等式：

回答下列问题：

（1）填空：________ ；

（2）已知，则的值是________；

（3）设满足上面特征的等式最左边的数为，则的最大值是________，此时的等式为________ .

【答案】（1）-4

（2）0或-4

（3）4；

【解析】【解答】解：根据观察可以知道，所有的式子符合

的形式，

所以（1）中此时2-a=6，解得a=-4，故答案为-4；

所以（2）中a=2，故2-2=0，所以x的值为0；根据绝对值的意义将原式化简可得，求得x=0或x=-4，所以x的值为0或-4；（3）根据

，可知，整理得，所以，所以y的最大值为4，此时的式子是

.

【分析】（1）根据即可求解；（2）由（1）的规律即可求解；（3）由（1）可得进行整理，根据绝对值意义求解即可.

10．如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点，其中，．设点所对应的数之和是，点所对应的数之积是 .

（1）若以为原点，写出点所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？

（2）若原点在图中数轴上点的右边，且，求的值.

【答案】（1）解：以为原点，点所对应的数分别是，，

以为原点，；

（2）解：

【解析】【分析】（1）根据题意，若以为原点时，分别写出点A、C所表示的数，从而求出m；若以为原点，分别写出A、B所表示的数，从而求出m；（2）根据题意，分别求出A、B、C所表示的数，即可求出n的值.

11．已知数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动的方式是：先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…，

（1）动点Q运动3秒时，求此时Q在数轴上表示的数?

（2）当动点Q第一次运动到数轴上对应的数为10时，求Q运动的时间t；

（3）若5秒时，动点Q激活所在位置P点，P点立即以0.1个单位长度/秒的速度沿数轴运动，试求点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置.

【答案】（1）解：由题意得：0.5秒动点Q所在的位置为1，1.5秒动点Q所在的位置为?1，

∴3秒时动点Q所在的位置为2，即此时Q在数轴上表示的数是2

（2）解：设每改变一次方向为一次运动，

分析动点Q的移动规律可知，第一次到达数轴上表示数1的位置，第3次到达数轴上表示数2的位置，第5次到达数轴上表示数3的位置，…，

所以第2n－1次到达数n的位置，

所以第19次到达数轴上表示数10的位置，

此时运动的总路程为：

，

∴Q运动的时间t＝190÷2＝95秒

（3）解：∵3秒时，动点Q所在的位置为2，

∴5秒时，动点Q所在位置为?2，

①若P点向左运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，

Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5＋ ×0.1＝，

设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t1，则（2?0.1）t1＝，

解得：t1＝，

∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：?（2＋ ×0.1＋ ×0.1）

＝；

②若P点向右运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，

Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5? ×0.1＝，

设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t2，则（2＋0.1）t2＝，

解得：t2＝，

∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：?（2? ×0.1? ×0.1）＝

；

综上所述，点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置是或 .

【解析】【分析】（1）根据动点Q的移动规律，分析得出0.5秒和3秒时所在位置，即可求出答案；（2）分析动点Q的移动规律，求出到达数轴上表示数10的位置时所走的总路程，然后根据时间＝路程÷速度进行计算即可；（3）首先求出5秒时，动点Q所在位置为?2，然后分情况讨论：①P点向左运动，②P点向右运动，分别列出方程求出相遇时用的时间，然后再计算点Q相遇时所在的位置即可.

12．已知多项式，次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点A表示数a，点B表示数b．

（1）数轴上A、B之间的距离记作，定义：设点C在数轴上对应的数为x，当时，直接写出x的值．

（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照如此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，求点P所对应的有理数．

（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度秒的速度也向左运动，一同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t．

【答案】（1）解：由多项式的次数是6可知，又3a和b互为相反数，故

．

①当C在A左侧时，，

，；

②C在A和B之间时，，

点C不存在；

③点C在B点右侧时，，

，

；

故答案为或8．

（2）解：依题意得：

．

点P对应的有理数为．

（3）解：①甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即时，此时

，，

，

解得，；

甲向左运动，乙向右运动时，即时，

此时，，

依题意得，，

解得，．

答：甲、乙两小蚂蚁到原点的距离相等时经历的时间是秒或8秒．

【解析】【分析】（1）根据题意可得，；（2）对点C的位置进行分

类讨论，并用x表示出和的长度，利用“ ”列出方程即可求出答案；（3）对乙蚂蚁运动的方向进行分类讨论，根据到原点距离相等列出方程求解即可．