2017年高考真题——全国2卷理科标准答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
理科数学
1．解析
()()()()
3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-.故选D. 2．解析1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =， 所以2430x x -+=的解为1x =或3x =，所以{}13B =，.故选C. 3．解析设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112
-=
=-a S ，解得13a =．故选B.
4．解析该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 2211
π310π3663π22=-=??-???=V V V 总上.故选B.
5．解析目标区域如图所示，当直线2y =x+z -取到点()63--，时，所求z 最小值为15-． 故选A.
6．解析只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．由此把4份工作分成3份
再全排得23
43C A 36?=.故选D.
7．解析四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．故选D. 8．解析0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =．故选B.
9．解析 取渐近线b
y x a =
，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，
得224c a =，24e =，2e =．故选A.
10．解析M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02?
? ??
?，）
，可知112MN AB ==
，1122NP BC ==，
作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．1=PQ ，1
2
MQ AC =
ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠14122172??
=+-???-= ???
，=AC
则MQ =
，则MQP △
中，MP =，
则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=
?
?2
2
2
+-==. 又异面线所成角为π02?
? ???
，
．故选C.
11．解析()()21
21e x f x x a x a -'??=+++-???，
则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????，
则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =，
当2x <-或1x >时，()0f x '>，当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-.故选A.
12．解析解法一（几何法）：如图所示，2PB PC PD +=u u u r u u u r u u u r （D 为BC 中点），
则()
2PA PB PC PD PA ?+=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
要使PA PD ?u u u r u u u r 最小，则PA u u u r ，PD u u u r
方向相反，即P 点在线段AD 上，
则min 22PD PA PA PD ?=-?u u u r u u u r u u u r u u u r ，即求PD PA ?u u u r u u u r
最大值， 又323
PA PD AD +==?=u u u r u u u r u u u r ，则2
233
24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??
???u u u r u u u r u u u r u u u r ≤， 则min 33
2242
PD PA ?=-?=-u u u r u u u r ．故选B.
解法二（解析法）：建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， 所以()
03A ，，()10B -，，()10C ，．
设()P x y ，，()
3PA x y =--u u u r
，，()1PB x y =---u u u r ，，()1PC x y =--u u u r ，，
所以()
22
2222PA PB PC x y y ?+=-+u u u r u u u r u u u r 2
23324x y ??????=+-- ? ???????
则其最小值为33242??
?-=- ???
，此时0x =，3y =．故选B.
13．解析 有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n = 则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14．解析()2233πsin 3cos 1cos 3cos 0442f x x x x x x ???
?=+-
=-+-∈ ????
???，， 令cos x t =且[]01t ∈，，21
34y t t =-++2
31t ??=--+ ? ???
， 则当3
t =
时，()f x 取最大值1． 15．解析 设{}n a 首项为1a ，公差为d ．则3123a a d =+=， 414610S a d =+=，求得11a =，1d =，则n a n =，()12
n n n S +=
，
()()112222122311n
k k
S n n n n ==++++??-+∑L 11111112122311n n n n ??=-+-++-+-= ?-+??L 122111n n n ?
?-=
?++??.
16．解析28y x =则4p =，焦点为()20F ，
，准线:2l x =-，
如图所示，M 为F ，N 中点，故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， 因为2CN =，4AF =，所以3ME =又由定义ME MF =，且MN NF =， 所以6NF NM MF =+=.
17.解析 （1）依题得：2
1cos sin 8sin 84(1cos )22
B B B B -==?=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，cos 1B =（舍去），所以15
cos 17
B =. （2）由⑴可知8sin 17B =
．因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ?=，所以182217ac ?=，所以172
ac =，因为15cos 17B =，所以22215
217
a c
b a
c +-=，所以22215a c b +-=，所以22()215a c ac b +--=，
所以2361715b --=，所以2b =．
18．解析 （1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ， “新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ，
而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?0.62=；
()0.06850.04650.01050.0085P C =?+?+?+?0.66=； ()()()0.4092P A P B P C ==. （2）
由计算可得2K 的观测值为()2
220062
66383415.70510010096104
k ??-?=
=???，
因为15.705 6.635>，所以()2
6.6350.001P K ≈≥，
所以有99%以上的把握产量的养殖方法有关．
（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=， 80.0320.06817÷=
，8
5 2.3517
?≈，50 2.3552.35+=，所以中位数为52.35. 19．解析（1）令PA 中点为F ，联结EF ，BF ，CE ．
因为E ，F 为PD ，PA 中点，所以EF 为PAD △的中位线，所以=1
//2
EF AD ．
又因为90BAD ABC ∠=∠=?，所以BC AD ∥． 又因为12
AB BC AD ==
，所以=1
//2BC AD ，所以=//EF BC ．
所以四边形BCEF 为平行四边形，所以CE BF ∥． 又因为BF PAB ?面，所以CE ∥平面PAB .
（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．
设1AB BC ==，则()000O ，，
，()010A -，，，()110B -，，，()100C ，，，()010D ，，，
(00P ．M 在底面ABCD 上的投影为M '，所以M M BM ''⊥．因为45MBM '∠=o ，
所以MBM '△为等腰直角三角形． 因为POC △为直角三角形，OC OP =，所以60PCO ∠=o ． 设MM a '=
，CM '=
，1OM '=
．所以100M ??' ? ???
，，．
BM a a '===?=
11OM '==．
所以100M ??'- ? ???，
，10M ? ??
，11AM ?= ??
u u u u r ，(100)AB =u u u
r ，，． 设平面ABM 的法向量11(0)y z =，，m
．110y +
=
，所以(02)=，m ， ()020AD =u u u r ，，，()100AB =u u u r ，，．设平面ABD 的法向量为()200z =，，n ，
(001)=，，n
．所以cos ,?=
=
?m n m n m n 所以二面角M AB D --
．
20．解析（1）设()P x y ，，易知(0)N x ，，(0)NP y =u u u r ，
，又0NM ?== ?
u u u u r u u u r ，
所以M x y ?
? ???
，又M
在椭圆上．所以2
21
2x +=，即222x y +=． （2）由题知()1,0F -，设()3,Q t -，(),P m n ，则()3,OQ t =-u u u r ，()1,PF m n =---u u u r
，33OQ PF m tn ?=+-u u u r u u u r ，(),OP m n =u u u r ，()3,PQ m t n =---u u u r
， 由1OP PQ ?=u u u r u u u r
，得2231m m tn n --+-=.
又由（1）2
2
m n n +=，故330m tn +-=，所以0OQ PF ?=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r
，
又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
21．解析 （1）因为()()ln 0f x x ax a x =--…，0x >，所以ln 0ax a x --…． 令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11
ax g x a x x
-'=-
=
， 当0a ?时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1
x a
=． 当10x a <<
时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1
x a
>时，()0g x '>，()g x 单调递增． 若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单递调递减，()110g g a ??
<= ???；
若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调递增，()110g g a ??
<= ???；
若1a =，则()()min 110g x g g a ??
=== ???
，()0g x ≥．
综上，1a =．
（2）()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >． 令()22ln h x x x =--，则()121
2x h x x x
-'=-=
，0x >． 令()0h x '=得1
2
x =， 当102x <<
时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1
2
x >时，()0h x '>，()h x 单调递增． 所以()min 112ln 202h x h ??
==-+< ???
．
因为()22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122??
∈+∞ ???
，，
所以在102?? ???，和12??
+∞ ???
，上，()h x 即()f x '各有一个零点．
设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ，
，因为()f x '在102??
???
，上单调递减， 所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01
2
x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．
因此，0x 是()f x 的极大值点．
因为，()f x '在12??
+∞ ???
，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，
当2x x >时，()f x 单调递增，因此2x 是()f x 的极小值点． 所以()f x 有唯一的极大值点0x ．
由前面的证明可知，201e 2x -?
?∈ ??
?，，则()()
24220e e e e f x f ---->=+>．
因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，
又()()22
000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<
，所以()014
f x <． 因此，()201
e 4
f x -<<
．即()220e 2f x --<<. 22．解析 （1）设()()00M P ρθρθ，，，，则0||OM OP ρρ==，．
000016
cos 4ρρρθθθ
=??=??=?
，解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()22
24x y -+=，()0x ≠. （2）联结AC ，易知AOC △为正三角形．||OA 为定值．
所以当高最大时，AOB S △面积最大，如图所示，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点，此时AOB S △最大，
max 1||||2S AO HB =
?()1
2
AO HC BC =+2=.
23．解析（1）由柯西不等式得：()()()
2
2
5
5
33
4a b a b a b ++=+=≥
1a b ==时取等号．
（2）因为()()()()()3
3
2
32233333232244
a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+…，
所以()3
8a b +≤，所以2a b +≤．