高三数学-抛物线专题复习
抛物线
平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y 2＝2px (p>0)
y 2＝－2px(p>0)
x 2＝2py(p>0)
x 2＝－2py(p>0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 &
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y ＝0
x ＝0
$
焦点
F ????p 2，0 F ???
?－p 2，0
F ?
???0，p 2 F ???
?0，－p 2
离心率 e ＝1
准线方程 x ＝－p
2 x ＝p 2 。
y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向
向右
向左
-
向上
向下
题型一 抛物线的定义及应用
例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标.
》
变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()
题型二抛物线的标准方程和几何性质
例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程.
*
变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()
＝±4x ＝±8x
＝4x ＝8x
变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于()
∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3
题型三抛物线焦点弦的性质
…
例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O.
：
变式练习 4.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y 1y 2＝－p 2
，x 1x 2＝p 2
4；
(2)1|AF|＋1
|BF|为定值；
(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
-
题型四 直线与抛物线的位置关系
例4 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m>0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q.
;
(1)求抛物线C 的焦点坐标.
(2)若抛物线C 上有一点R(x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值.
(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.
【
变式练习 5.已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →
＜0若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
￥
例5 设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于M ，N 两 点，已知当直线l 与x 轴垂直时，△OMN 的面积为2(O 为坐标原点). ~
(1)求抛物线C 的方程；
(2)是否存在直线l ，使得以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好在y 轴上，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
~
方法与技巧小结
1.认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my(m ≠0). 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝
p 2
4；
(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝2p
sin 2θ；
(3)若F 为抛物线焦点，则有1|AF|＋1|BF|＝2
p . 第三部分 巩固练习
）
A 组 专项基础训练
一、选择题
1.抛物线y ＝－1
2x 2的焦点坐标是
( )
A.(0，18)
B.(－18，0)
C.(0，－12)
D.(－1
2，0) 2.抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－
y 2
3＝1的渐近线的距离是
( )
3.已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
( )
＝1
＝－1 ＝2
＝－2
4.已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2
x 1x 2
的值一定等于( ) A.－4
D.－p 2
—
5.如图，抛物线
C 1：y 2＝2px
和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 2
4，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于
A ，
B ，
C ，
D 四点，则AB →·CD →
的值为( )
二、填空题
6.若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是__________.
7.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.
8.已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的准线为l ，过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →
，则p ＝________.
、
三、解答题
9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程.
￥
10.如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N. (1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|； (2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径.
B 组 专项能力提升
1.设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|等于
( )
2.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF(其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为( ) A.(2,22) B.(2，－22) !
C.(2，±2)
D.(2，±22)
3.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB 的面积为
( )
4.已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P
到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________.
5.如图，过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.