三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)
三角函数图象的平移和伸缩
函数sin()y A x k ω?=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ω?，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ?，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由?引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩
sin y x =的图象???0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ?=+的图象()ωωω
?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ?=++的图象． 先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
???ω
>
个单位
得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0)
k k k >
得sin()y A x k ω?=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ?
?=++ ??
?的图象．
解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ?
?=+ ??
?的
图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ?
?=+ ???的图象；③将所得图象的
纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ?
?=+ ??
?的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移
1个单位长度得到π2sin 214y x ?
?=++ ??
?的图象．
（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的
1
2
，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移
π8个单位长度得π2sin 28y x ?
?=+ ???的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到
π2sin 214y x ?
?=++ ??
?的图象．
说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π
8
个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ??=+ ???而不是πsin 28y x ??=+ ???，把πsin 4y x ?
?=+ ??
?的
图象的横坐标缩小到原来的
12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ?
?=+ ??
?而不是
πsin 24y x ?
?=+ ??
?．
对于复杂的变换，可引进参数求解．
例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ?
?=- ??
?的图象．
分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．
解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ???
?==-=- ? ????
?，
在πcos 22y x ??=- ???中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ???
?=--=-- ??????
?．
根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π
8
a =-．
所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ?
?=- ??
?的图象．
练习
1、要得到函数y=2cos （x+）sin （
﹣x ）﹣1的图象，只需将函数
y=sin2x+
cos2x 的图象（ ）
A 、向左平移个单位
B 、向右平移个单位
C 、向右平移
个单位 D 、向左平移
个单位
2、将函数y=3sin （2x+θ）的图象F 1按向量平移得到图象F 2，
若图象F 2关于直线对称，则θ的一个可能取值是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
3、将函数的图象按向量平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）
A、B、
C、D、sin（2x）+3
4、把函数y=（cos3x﹣sin3x）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象，这个变化可以是（）
A、沿x轴方向向右平移
B、沿x轴方向向左平移
C、沿x轴方向向右平移
D、沿x轴方向向左平移
5、为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）
A、向右平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度
D、向左平移个单位长度
6、把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得到图象对应的函数解析式为（）A、B、
C、D、
1、D
2、A
3、D．
4、D．
5、A．
6、D