电力系统潮流计算

第四章 电力系统潮流分析与计算

电力系统潮流计算是电力系统稳态运行分析与控制的基础，同时也是安全性分析、稳定性分析电磁暂态分析的基础（稳定性分析和电磁暂态分析需要首先计算初始状态，而初始状态需要进行潮流计算）。其根本任务是根据给定的运行参数，例如节点的注入功率，计算电网各个节点的电压、相角以及各个支路的有功功率和无功功率的分布及损耗。

潮流计算的本质是求解节点功率方程，系统的节点功率方程是节点电压方程乘以节点电压构成的。要想计算各个支路的功率潮流，首先根据节点的注入功率计算节点电压，即求解节点功率方程。节点功率方程是一组高维的非线性代数方程，需要借助数字迭代的计算方法来完成。简单辐射型网络和环形网络的潮流估算是以单支路的潮流计算为基础的。

本章主要介绍电力系统的节点功率方程的形成，潮流计算的数值计算方法，包括高斯迭代法、牛顿拉夫逊法以及PQ 解藕法等。介绍单电源辐射型网络和双端电源环形网络的潮流估算方法。

4-1 潮流计算方程--节点功率方程

1. 支路潮流

所谓潮流计算就是计算电力系统的功率在各个支路的分布、各个支路的功率损耗以及各个节点的电压和各个支路的电压损耗。由于电力系统可以用等值电路来模拟，从本质上说，电力系统的潮流计算首先是根据各个节点的注入功率求解电力系统各个节点的电压，当各个节点的电压相量已知时，就很容易计算出各个支路的功率损耗和功率分布。

假设支路的两个节点分别为k 和l ，支路导纳为kl y ，两个节点的电压已知，分别为k

V 和l

V ，如图4-1所示。

图4-1 支路功率及其分布

那么从节点k 流向节点l 的复功率为（变量上面的“－”表示复共扼）：

)]([l

k kl k kl k kl V V y V I V S (4-1) 从节点l 流向节点k 的复功率为：

)]([k l kl l lk l lk V V y V I V S (4-2)

功率损耗为：

2)()(kl

kl l k kl l k lk kl kl V y V V y V V S S S (4-3)

因此，潮流计算的第一步是求解节点的电压和相位，根据电路理论，可以采用节点导纳方程求解各个节点的电压。

2. 节点功率方程

根据电路理论，要想求系统各个节点的电压，需要利用系统的节点导纳方程。

图4-2 电网络示意图

如图4-2所示的电网络，有N 个节点，假如已知各个节点的注入电流源的电流，以及各个支路的支路导纳，那么可以根据节点导纳方程求出电网各个节点的电压：

S I Y V (4-4)

其中

NN N N N N Y Y Y Y Y Y Y Y Y

2

12222111211Y 为电网络的节点导纳矩阵，kk Y （N k ,2,1 ）为自导纳，是与k 节点所有连接支路导纳之和，kl Y （l k ）为互导纳，等于负的连接k 和l 节点的所有支路导纳之和。

T 21],,,[N V V V V 为各个节点的电压相量，T ,21],,,[N S S S S I I I I 为注入到各个

节点的总电流。 2.1 节点复功率方程

要想计算各个节点电压，除了需要知道系统参数及节点导纳矩阵以外，还需要知道节点的注入电流源的电流。然而电力系统中，节点的注入电流是不知道的，已知的是各个节点的注入功率。这就需要将节点电压方程转化为节点功率方程。

方程4-4中第k （N k ,,2,1 ）个节点的方程可以写作：

Sk N kN k kk k k N

l l kl

I V Y V Y V Y V Y

V Y 221

11

(4-5)

在方程4-5两端乘以k V ，得到：

Sk Sk Sk Sk k N

l l kl k jQ P S I V V Y V 1

(4-6)

假如在电力系统中，各个节点的注入复功率都已知，那么就可以用方程4-6组成的方程组求解各个节点的电压。然而实际情况并非如此，已知的条件是：有的节点的注入复功率S 是已知的，有的节点的电压幅值和注入有功功率是已知的，有的节点的电压和相角是已知的。根据这三种不同的情况，电力系统中各个节点分为三种类型：PQ 节点、PV 节点和V 节点。

所谓PQ 节点，就是该节点的注入复功率S 是已知的，这样的节点一般为中间节点或者是负荷节点。

PV 节点，指该节点已知的条件是注入节点的有功功率P 和该节点的电压幅值V ，这样的节点通常是发电机节点。

V 节点指的是该节点的电压幅值和相角是已知的，这样的节点通常是平衡节点，在每个局部电网中只有一个这样的节点。

当然，PQ 节点和PV 节点在一定条件下还可以互相转化，例如，当发电机节点无法维持该节点电压时，发电机运行于功率极限时，发电机节点的有功和无功变成了已知量，而电压幅值则未知，此时，该节点由PV 节点转化为PQ 节点。再比如某个负荷节点，运行要求电压不能越限，当该节点的电压幅值处于极限位置，或者电力系统调压要求该节点的电压恒定，此时该负荷节点就由PQ 节点转化为PV 节点。

假如全系统有N 个节点，其中有M 个PQ 节点，N-M-1个PV 节点，1个平衡节点，每个节点有四个参数：电压幅值V 、相位角 （用极坐标表示电压，如果用直角坐标表示电压相量则是e 和f ）注入有功功率S P 和无功功率S Q ，任何一个节点的四个参数中总有两个是已知的，因此N 个节点，有2N 个未知变量，N 个复数方程（即2N 个实数方程，实部和虚部各一个），通过解这个复数方程就可得到另外2N 个参数。这就是潮流计算的本质。

但在实际求解过程中，由于我们求解的对象是电压，因此，实际上不需要2N 个功率方程，对于M 个PQ 节点，有2M 个功率方程（M 个实部有功功率方程，M 个虚部无功功率方程）；对于N-M-1个PV 节点，由于电压有效值V 已知，因此只有N-M-1个有功功率方程；对于平衡节点，由于电压和相角已知，不需要功率方程。因此总计有2M+N-M-1=N+M-1个

功率方程。如果电压相量用极坐标表示，即k

k k V V ，则M 个PQ 节点有2M 个未知数（M 个电压有效值，M 个电压相角），N-M-1个PV 节点有N-M-1个未知数（电压有效值已知，未知数为电压相角），平衡节点没有未知数，因此未知数的个数也是N+M-1个，与方程

数一致。如果复电压用直角坐标表示，k

k k jf e V ，则有2(N-1)个未知数，还需要增加N-M-1个电压方程，即2

22k k k f e V 。

2.2 用直角坐标表示的电力系统节点功率方程

对于PQ 节点，已知的是注入节点的功率P 和Q ，将km km km jB G Y 和k

k k jf e V 带入节点功率方程的复数表示式中，可以得到有功功率和无功功率两个方程：

1

1111

1

11)()()()(N m m km m km k N m m km m km k Lk Gk Sk N m m km m km k N m m km m km k Lk Gk Sk e B f G e f B e G f Q Q Q e B f G f f B e G e P P P (4-7) 上式中Sk P 和Sk Q 为注入到节点k 的净功率，即注入和消耗的代数和。Gk P 、Gk Q 表示注入的功率，Lk P 和Lk Q 为消耗的功率。

对于PV 节点，除了有功功率方程外，因为已知该节点的电压幅值，还有一个电压方程：

222k k k f e V （4-8）

方程4-7可以抽象的表示为：

0),,,,(0

),,,,(111

11111N N k N N k f e f e Q f e f e P (4-9) 方程4-8可以抽象的表示为

0),,,,(1111 N N k f e f e V (4-10)

因此，对于一个具有N 个节点的电力系统，其中M 个PQ 节点，N-M-1个PV 节点，1个平衡节点，有方程如下：

节点的方程个PQ 2M 0),,,,(0),,,,(0),,,,(0),,,,(111111111111111111

N N M N N M N N N N f e f e Q f e f e P f e f e Q f e f e P

节点方程个PV 1)-M -2(N 0),,,,(0),,,,(0),,,,(0),,,,(11111111111111111111

N N N N N N N N M N N M f e f e V f e f e P f e f e V f e f e P （4-11）

N 个节点，平衡节点的电压幅值和相角已知，即其横分量和纵分量已知，因此平衡节点不参与计算。N-1个节点的电压的横分量和纵分量为未知数，共2N-2个未知数。2M 个PQ 节点方程，2(N-M-1)个PV 节点方程，共计2N-2个方程。

解这个方程组，就可以得到电力系统N 个节点的电压相量，根据各个节点的电压相量和已知的注入功率，就可以计算出各个支路的潮流分布，及各个支路的功率损耗。 2.3 极坐标表示的节点功率方程

对于PQ 节点，已知的是注入节点的功率P 和Q ，将km km km jB G Y 和k

k k V V 带入节点功率方程的复数表示式中，可以得到实部和虚部两个方程：

N

m km km km km m k Lk Gk Sk N

m km km km km m k Lk Gk Sk B G V V Q Q Q B G V V P P P 11

)cos sin ()sin cos ( (4-12) 上式中，V 代表电压幅值，m k km 。

对于PV 节点，由于节点的电压幅值已知，因此只有有功功率方程而没有无功功率方程。 同样，方程4-12可以抽象的表示为：

0),,,,(111 N M k V V P (4-13a)

0),,,,(111 N M k V V Q (4-13b)

因此，对于一个具有N 个节点的电力系统，其中M 个PQ 节点，N-M-1个PV 节点，1个平衡节点，有方程如下：

节点方程个PQ 2M 0),,,,,(0),,,,,(0),,,,,(0),,,,,(11111111111111

N M M N M M N M N M V V Q V V P V V Q V V P

节点方程个PV 10),,,,,(0),,,,,(1111-N 1111M

M N V V P V V P N M N M (4-14)

除了平衡节点外，N-1个节点中，有M 个PQ 节点的电压幅值和相角都是未知数，N-M-1个PV 节点的相角为未知数，因此共有2M+N-M-1=N+M-1个未知数，2M+N-M-1=N+M-1个方程。

在方程4-14中，可以把N-1个有功功率方程放在一起，M 个无功功率方程放在一起：

个有功功率方程1N 0),,,,,(0),,,,,(11111111

N M N N M V V P V V P

个无功功率方程M V V Q V V N M M N M

0),,,,,(0),,,,,(Q 1111111 (4-15)

解上述方程组，就可以得到电力系统中各个节点的电压幅值和相角，进而可以计算出各个支路的潮流分布和损耗。

3. 小结

潮流计算是计算电力网各个支路的功率潮流分布和功率损耗，同时也计算各个支路的电压损耗。首先要求电力网各个节点的电压相量。根据电网络理论，节点电压通常采用节点导纳方程来求解，即已知电网络的节点导纳矩阵和各个节点的注入电流源的电流，求解节点导纳方程。然而通常电力系统各个节点的注入电流是未知的，已知的是各个节点的注入功率，因此需要将节点电压方程转化为节点功率方程。

实际电力系统的节点注入功率并非都已知，有的已知注入有功功率P 和无功功率Q 称为PQ 节点；有的已知注入有功功率P 和节点电压有效值V ，称为PV 节点；有的已知节点电压V 和相角d ，称为平衡节点或V 节点。无论哪种类型节点，每一个节点均含有4个参量P 、Q 、V 、 （或e 、f ）已知的是其中的两个，故而可以利用节点功率方程（4-6）求解出另外两个参量。假设系统有N 个节点，必然有2N 个未知数，同样有2N 个节点功率方程（4-17中的实部和虚部各一个）。

实际上，我们求解的目标是电压，对于PV 节点和V 节点来说，前者电压有效值已知，

后者电压相量已知，因此不存在2N 个未知数，当然也不需要2N 个方程。假设系统有N 个节点，M 个PQ 节点，1个平衡节点，对于直角坐标表示的节点电压来说，有2(N-1)个未知数，2M+N-M-1个功率方程，只需要再补充N-M-1个电压方程就可以了；对于极坐标表示的电压来说，只有N-1个 未知数，M 个V 的未知数，因此只需要N+M-1个功率方程就足够了。

无论怎样，潮流计算是解决这样的一组非线性代数方程组：

0),,( U C X F (4-16)

其中，X 代表系统状态，包括电压V 和相角 ；C 代表参数，包括电导G 和电纳B ；

U 表示系统激励，即注入的功率。

求解这样的多维非线性代数方程组，需要利用计算机进行辅助迭代计算，即先给定一个初值，然后不断迭代，逼近真实解。方法有：高斯-赛德尔迭代法，牛顿-拉夫逊法和PQ 解耦法。

4-2 高斯－赛德尔叠代法

1．基本原理

为了方便理解这个n 维方程组的叠代求解方法，先从一元非线性方程的求解开始。假设有一维方程0)( x f ，高斯法的基本原理是，先将方程转化为：

)(x g x （4-17）

那么给定一个初值]

0[x

，代入就可以得到一个新值)(]0[]

1[x g x

，第k 次叠代的值为：

)(][]1[k k x g x （4-18）

一直叠代到误差满足要求为止，即

]1[][N N x x （4-19）

其中 为事先设定的允许误差。其计算流程如图4-3所示。

图4-3 高斯迭代法的计算流程

这个解方程的方法称为高斯叠代法。这个叠代求解的过程可以这样来理解：)(x g x 的解可以认为是两个曲线x y 和)(x g y 的交点的横坐标

x ，首先给定一个初值]

0[x ，

)(]0[x g 与斜线x y 的交点的横坐标即为叠代后的新解]1[x ，)(]1[x g 与斜线x y 的交点

的横坐标即为叠代后的新解]

2[x ，如此围绕交点往复循环，不断地逼近方程的解，如图4-4

所示。

图4-4 高斯迭代法的几何解释

高斯迭代法可以推广到n 维非线性代数方程组，假设n 为方程组为：

),,(0),,(0),,(21212211n n n

n x x x f x x x f x x x f （4-20） 首先将方程组4-20转化为：

)

,,,()

,,,()

,,,(21212211n n

n n x x x g x x x x g x x x x g x （4-21）

给定一组初始值T ]0[]0[2]0[1]

0[],,,[n x x x X

，带入上式，得到一组新值)(]0[]1[X g X ，

不断叠代，循环往复，第k 次叠代为：

)(][]1[k k X g X （4-22）

其中第j 个方程为

),,,(]

[][2][1]1[k n k k j k j x x x g x （4-23）

直到叠代前后的解的最大误差不超过允许的误差为止，即

}{m ax ][]1[N j N j j

x x （4-24）

为了提高高斯叠代法的收敛速度，赛德尔提出将已经叠代出的新值代替旧值参与叠代计算，如在第k 次叠代中，第j 个方程为

),,,,,(][][]1[1]1[1]1[k n k j k j k j k j x x x x g x （4-25）

第1至j-1个元素已经叠代出k+1次的值，因此代替第k 次的值参与第j 个元素的叠代，就可以提高收敛速度。

2. 电力系统潮流计算的高斯－赛德尔迭代法

电力系统潮流计算需要求解节点功率方程，其中第m （m =1,2,…,N ）个节点功率方程为：

Sm Sm N

m

l l l ml m m mm N

l l ml m jQ P V Y V V Y V Y V 1

21

(4-26)

如上式变换为)(x g x 的形式，可以得到如下的方程：

)(11

N

m

l l l

ml m Sm Sm mm m V Y V jQ P Y V （4-27） 根据高斯－赛德尔迭代法，首先给定电压相量的初值，对于PQ 节点，不仅需要给定电压幅值的初值，还要给出相角的初值（设为零）。

假如第m 号节点为PQ 节点，第k 次叠代公式为（第m 个节点以前的节点第k 次叠代已经完毕，因此用k +1次的值取代k 次的值，而在第m 个节点以后的节点尚未进行第k 次叠代）：

)(11

][11]1[][]1[ N

m l k l ml m l k l ml k m Sm Sm mm k m V Y V Y V jQ P Y V （4-28） 对于PV 节点，给定的初值的电压幅值为给定的电压，相角初值设为零。可是对于PV 节点来说，注入该节点的无功功率未知，因此第k 次叠代时，首先按照下式计算注入PV 节点（假设第m 个节点是PV 节点）的无功功率：

])(Im[]Im[][1

1

]1[][][][]

[ N

m

l k l

ml m l k l ml k m k Sm k m k Sm

V Y V Y V I V Q

（4-29） 如果在叠代计算过程中，任意节点的电压和无功功率必须满足不等约束条件：

max ]

[min m k m m V V V max ][min m k m m Q Q Q

如果在叠代过程中，PQ 节点的电压幅值超出允许的范围，则该节点的电压幅值就固定为允许电压的上限（如果超出上限）或下限（如果越过下限），PQ 节点就变为PV 节点继续进行叠代。同样，对于PV 节点来说，如果在叠代过程中，无功功率Q 超出了允许的范围，则PV 节点就变为PQ 节点继续参与叠代。高斯－赛德尔叠代法的计算过程如下：

（1）第一步：设置初始值，对于PQ 节点，由于其电压相量的幅值和相角都未知，因此初始的电压相量的幅值可以设定为各个点的额定电压，相角选择为零；对于PV 节点，由于其电压相量的幅值已知，因此幅值用已知的设定电压，初始相角设定为零。

（2）第二步：对于PQ 节点，直接将设定的初始值代入，用4-28求得下一次迭代的电压值，然后判断是否电压越限，如果越限，则用其限值（越过上限用上限值，越过下限则用

下限值），该节点在下一次迭代过程中转化为PV 节点；对于PV 节点，则首先利用式4-29求出注入的无功功率，然后校验无功功率是否越限，如果越限则采用上限值或者下限值，下一次迭代时该节点转化为PQ 节点，将求得的注入无功功率和已知的有功功率代入4-28求解下一次迭代的电压相量值。

（3）第三步：判断误差是否满足要求，用第k 次迭代的结果和k-1次迭代的结果进行比较，如果其最大的误差满足事先设定的误差要求，则输出计算结果，如果不满足要求，则返回第二步继续迭代。其计算流程图如图4-5所示。

图4-5 高斯赛德尔迭代法求解电力系统潮流的计算流程图

4-3 牛顿－拉夫逊法

1. 牛顿－拉夫逊法的基本原理

先考虑一个一元非线性方程0)( x f 的求解问题，假设0x 是该方程的近似解，与真实解之间的误差为x ，那么有：

0)(0 x x f （4-30）

将之展开成一阶泰勒级数：

0)()()(000 x x f x f x x f （4-31）

可以计算出近似解0x 与真实解之间的误差近似为：

)

()

(00x f x f x

（4-32）

因此，可以得到这个一元非线性方程的求解步骤为：首先给定解的初值]

0[x ，然后根据

公式4-32求出初始值的修正值]

0[x

，由此可以得到该方程的新的解]0[]0[]

1[x x x

，如

此反复叠代，直到误差满足要求 ][N x 。迭代计算流程如图4-6所示。

图4-6 牛顿拉夫逊法计算流程

其迭代求解过程的几何意义如图4-7所示。

图4-7 牛顿拉夫逊法的几何解释

可以把上述求解一元非线性代数方程的方法推广到n 维非线性代数方程（如4-20）的求解。非线性代数方程组4-20可以表示为矩阵形式：

0X F )( （4-33）

同样假定0X 是该方程组的近似解，与真实解之间的误差为X ，在0X 处展开一阶泰勒级数：

0)()(00 X J X F X X F （4-34）

其中：

02

1

22212121

11|d )

(d X

X X X X X F J

n n n n n n x f x f x f x f x f x

f x f x f x f

（4-35） 被称为雅克比矩阵。4-34称为修正方程，修正方程可得到修正值X ：

)(01X F J X （4-36）

计算过程与一维方程的牛顿法求解类似，首先给定初值T

]0[]0[2]0[1]

0[],,,[n x x x X

，并

计算出在初始值处的雅克比矩阵0J ，利用4-36式计算初始值的修正值

)(]0[1

0]0[X F J X ，根据这个差值可以得到修正后的解]0[]0[]1[X X X 。如此循环

往复，在第k 次叠代时，计算雅克比矩阵k J ，根据4-34计算修正值)(]

[1]

[k k k X

F J X

，得到第k +1次修正后的解：][][]1[k k k X X X ，重复上述过程，直到误差满足要求为止。

可见，牛顿拉夫逊法的关键在于求解雅克比矩阵J ，由于直角坐标表示和极坐标表示电压相量的节点功率方程有所不同，因此其雅克比矩阵也有很大的差异。

2.直角坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法

仍然假设系统有N 个节点，其中M 个PQ 节点，N -M -1个PV 节点，1个平衡节点。则M 个PQ 节点方程为（假设1号节点至M 号节点为PQ 节点）：

0)()( 0)()(111

1N

l l kl l kl k N l l kl l kl k Sk k N

l l kl l kl k N l l kl l kl k Sk k e B f G e f B e G f Q Q e B f G f f B e G e P P （4-37） M k ,,2,1 。

N -M -1个PV 节点的方程为（假设第M+1号节点至第N-1号节点为PV 节点）：

00

)()(2221

1k k k k N l l kl l kl k N l l kl l kl k Sk k f e V V e B f G f f B e G e P P （4-38） 1,,2,1 N M M k 。

其中，k V 只代表一个函数，并非代表电压差；Sk P 和Sk Q 为注入到节点k 的净功率，

即注入到该节点的发电功率减去该节点的负荷功率。

PQ 节点的方程是有功功率和无功功率方程，PV 节点方程有功功率方程和电压方程，平衡节点为参考节点，电压已知，没有方程，但其电压参与节点功率方程中计算。未知变量是除了平衡节点外的各个节点的电压相量的横分量和纵分量，共有2(N-1)个未知数，2(N-1)个方程。

其修正方程为：

1111111,11

,11,11,1,1,11,11

,11,11,11

,11,1,1,11

,11,11,11,11,11,1,1,11,11,11,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,1,,,1,1,1,1

,1,1,,,1

,1,1

,11,11,11,11111111,11,11,11,11111

11111111|||||||||||n n m m m m n n n n m n m n m n m

n n n n n n n m n m n m n m n n n n m n m m m m m m m m m m m n m n m m m m m m m m m m m n m n m m m m m m m m m m m n m n m m m m m m m m

m m m n n m m m m n n m m m m n n m m m m f e f e f e f e S R S R S R S R H N H N H N H N S R S R S R S R H N H N H N H N L M L M L M L M H N H N H N H N L M L M L M L M H N H N H N H N V P V P Q P Q P

（4-39）

其中：

k kj k kj j

k

kj f B e G e P N

（k j ） 1

1

)(n l l kl l kl k kk k kk k k kk

f B e G f B e G e P N k kj k kj j

k

kj e B f G f P H

（k j ） 1

1

)(n l l kl l kl k kk k kk k k kk

e B

f G f G e B f P H k kj k kj j

k

kj e B f G e Q M

（k j ） 1

1

)(n l l kl l kl k kk k kk k k kk

e B

f G f G e B e Q M

k kj k kj j

k

kj e G f B f Q L

（k j ） 1

1

)(n l l kl l kl k kk k kk k k

kk f B e G f B e G f Q L

j

k

kj e V R （k j ）

k k

k

kk e e V R 2

j

k

kj f V S （k j ） k k

k

kk f f V S 2

基于直角坐标的牛顿－拉夫逊法求解潮流计算的步骤如下：

（1）第一步：设定初值，对于PQ 节点，其电压幅值的初值设定为该点的额定电压，而相角设定为零，因此，电压实部设定为额定电压，而虚部设定为零。对于PV 节点，电压幅值已知，因此该节点的电压相量实部设定为已知的电压幅值，虚部也设定为零。

（2）第二步：求出PQ 节点有功功率和无功功率增量)(k P 、)

(k Q （公式4-37），以

及PV 节点的有功功率和电压幅值的增量)(k P 和)

(k V

（公式4-38），同时求出雅克比矩阵

)(k J 。

（3）第三步：求解修正方程4-39，得到电压的实部和虚部的修正值)

(k e 和)

(k f

。并

根据修正值修正设定的电压初始值。

（4）第四步：判断误差是否满足要求，如果满足要求，则输出计算结果，否则就令

1 k k ，转入第二步继续迭代。

3.极坐标节点功率方程的牛顿－拉夫逊法

仍然假设系统有N 个节点，其中M 个PQ 节点，N -M -1个PV 节点，1个平衡节点。则M 个PQ 节点方程为（假设第1号节点至第M 号节点为PQ 节点）：

0)cos sin ( 0)sin cos (11

n

l kl kl kl kl l k Sk k N

l kl kl kl kl l k Sk k B G V V Q Q B G V V P P （4-40） M k ,,2,1

N-M-1个PV 节点只包含有功功率方程（假设第M+1号节点至N-1号节点为PV 节点）：

N

l kl kl kl kl l k Sk k B G V V P P 1

0)sin cos ( （4-41）

其中Sk P 和Sk Q 为注入到节点k 的净功率，即注入到该节点的发电功率减去该节点负荷功率。PQ 节点既有有功功率方程，也有无功功率方程，未知数为电压幅值和相角；而PV 节点则只有有功功率方程，未知数只有电压的相角。因此，极坐标下的节点功率方程共有

2M+(N-1-M)=N+M-1个未知数和方程。

把上述方程调整一下顺序：把N-1个有功功率方程放在一起，M 个无功功率方程放在一起，方程可以写作：

),(0

),(V Q V P （4-42） T 121],,,[ N P P P P ，T 21],,,[M Q Q Q Q ，T 121],,,[ N ，

T 21],,,[M V V V V 。

其修正方程为：

m m n m m m

m n m

m m m

n m n m

n n n n m m

n m n V V V V V Q V V Q V Q Q V Q V V Q V Q Q V P V V P V P P V P V V P V P P Q Q P P //|

||||||1111

11

11

1111

1

1

111111

1

1

111111

1

1

11111

（4-43） 上式中，为了使得雅克比矩阵的各个元素具相似性，并为PQ 解藕法作铺垫，将雅克比矩阵中对电压的偏导元素乘上电压值，后面电压增量上除上电压值，根据矩阵的知识不难发现，经过上述处理后修正方程没有发生什么变化。将上面的修正方程中的矩阵分为两部分：

V V L M H N Q P / （4-44） T 11]/,,/[/m m V V V V V V ，并非是矩阵相除；分块矩阵N 为

)1()1( N N 阶矩阵，H 为M N )1(阶矩阵，M 为)1( N M 阶矩阵，L 为

M M 阶矩阵。上述分块矩阵的元素分别表示如下： kk k sk k l kl kl kl kl l k k k

kk B V Q B G V V P N 2)cos sin ( )sin cos (kj kj kj kj j k j

k

kj G B V V P N

（k j ） sk kk k k l kk k kl kl kl kl l k k k

k kk P G V G V B G V V V P V H 222)sin cos ( )sin cos (kj kj kj kj j k j

k

j

kj B G V V V P V H (k j ) sk kk k k

l kl kl kl kl l k k k

kk P G V B G V V Q M

2)sin cos (

)sin cos (kj kj kj kj j k j

k

kj B G V V Q M

(k j ) sk kk k kk k k l kl kl kl kl l k k k

k kk Q B V B V B G V V V Q V L 222)cos sin ( )sin cos (kj kj kj kj j k j

k

j

kj G B V V V Q V L (k j ) 基于极坐标下的牛顿－拉夫逊法的潮流计算过程如下：

（1）第一步：设定初值，对于PQ 节点，其电压幅值的初值设定为该点的额定电压，而相角设定为零；对于PV 节点，电压幅值已知，因此只设定相角的初值，设定为零。

（2）第二步：求出PQ 节点有功功率和无功功率增量)(k P 、)

(k Q

(参见式4-40)，以

及PV 节点的有功功率和电压幅值的增量)(k P (参见式4-40)，同时求出雅克比矩阵)

(k J

。

（3）第三步：求解修正方程4-43，得到电压幅值和相角的修正量)

(k V 和)

(k

。并

根据修正值修正设定的电压初始值。

（4）第四步：判断误差是否满足要求，即1)( k 、2)( k V 。如果满足要求，则输出计算结果，否则就令1 k k ，转入第二步继续迭代。

4-4 PQ 解藕法

通过上面的分析和论述，可以发现，牛顿－拉夫逊法的收敛速度很快，但计算量很大，因为每一次迭代都必须重新计算雅克比矩阵，并求解修正方程。因此，为了减少计算量，根据基于极坐标的牛顿－拉夫逊法的特点，建立了PQ 解藕法的潮流计算方法。

首先，我们来观察一下基于极坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算过程中的电压修正方程中的雅克比矩阵的情况。根据电力系统在稳态运行时的实际情况，可知，kj kj B G ，0 kj ，

kk k sk B V P 2 ，kk k sk B V Q 2 ，因此，我们可以近似的认为：

kk k kk kk B V L N 2 ；kj j k kj kj B V V L N ；0 kk kk M H ；0 kj kj M H

这就是说，各个节点电压相角的变化主要与注入净有功功率的变化有关，各个节点电压幅值的变化主要与注入的净无功功率的变化有关： N P ；V V L Q / ，将这两个修正方程可以表示为：

1211211,12,11,11

,22221

1,11211

12

112111,12

2,1111,1111,222222121211,1121211111210000000

00000

N N N N N N n n N N N N N N N N N N N N N N N V V V B B B B B B B B B V V

V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V V B V P P P

（4-45）

上面的方程可以进一步表示为：

1122111,12,11

,11

,22221

1,112

11112211///N N N N N N N N N N V V V B B B B B B B B B V P V P V P

（4-46）

可以简单的表示为：

)(/ V B V P （4-47）

其中，矩阵B 为全系统除了平衡节点以外的节点电纳矩阵。注：V P / 和 V 表示不是很严谨，它们仅代表由k k V P / 和k k V 组成的列向量。

同理可得：

)(/V B V Q （4-48）

其中，矩阵B 为所有PQ 节点以外的节点电纳矩阵。注：V Q / 仅代表由k k V Q / 组成的列向量。

这样，我们在求解修正方程4－49和4－50的时候，只需要提前将节点电纳矩阵B 和B 利用高斯消去法变换成上（或下）三角矩阵，并记录变换过程就可以了。与牛顿－拉夫逊法相比，每一步的迭代过程都大大减少了工作量。

PQ 解藕法的潮流计算步骤如下：

（1）准备工作，形成全系统（平衡节点除外）的节点电纳矩阵B ，以及其子矩阵——全部PQ 节点的节点电纳矩阵B ，然后利用高斯消去法形成上（或者下）三角矩阵并记录变换过程。

（2）赋初值)

0(V

和)

0(

；将全系统的PQ 节点的电压V 设置为额定电压，全系统的节

点的相角（平衡节点除外）设置为0。令迭代次数k=0。

（3）根据设置的电压和相角值计算)

(]/[k V P 以及)

(]

/[k V Q ，并根据节点导纳矩阵

的上/下三角矩阵求解修正方程4-47和4-48，得到)

(k

和)

(k V

。并根据修正值修正设定

的电压初始值。

（4）判断误差是否满足要求，即1)( k 、2)( k V 。如果满足要求，则输出计算结果，否则就令1 k k ，转入第二步继续迭代。

PQ 解藕法简化了每一步的迭代的计算量，每一步的迭代出的修正值与牛顿－拉夫逊法的修正值相比误差要大，因此，PQ 解藕法虽然每一步的迭代计算量减少了，但换来的代价是增加了迭代次数。但其最终的计算精确度是不受影响的，因为计算的精度取决于最终的误差要求1 和2 ，如果误差要求和牛顿－拉夫逊法是一样的，那么PQ 解藕法最终的计算结果和牛顿－拉夫逊法的计算结果的精度就是一样的。

4-5 潮流计算的手工估算方法

大约半个多世纪以前，数字计算机还没有出现的时候，潮流计算都是采用手工的计算方法。虽然潮流计算的本质是解电力系统的节点功率方程，然而手工的计算方法是不可能用解

上述节点功率方程的方法来进行潮流计算的。手工潮流计算是根据一个简单支路的电压和功率传输关系，将较为复杂的电力系统分解为若干个简单支路来进行潮流计算的。因此任何复杂的潮流计算都是从一个简单支路的潮流分布和电压降落的计算开始的。对于环形网络，首先将其解开为双端电源网络，然后双端电源从功率分点解开，成为两个辐射网络，进行近似的潮流估算。

1. 简单支路的潮流分布和电压降落

如图4-8所示的简单支路，节点1和2之间的阻抗jX R Z 为已知；两端的电压分

别为1V 和2V ，从节点1注入该支路的复功率为1

S ，从节点2流出的功率为2S ，阻抗消耗的功率为S 。根据电路理论，1V 、1S 和2

V 、2S 这四个变量，任何两个变量已知都可以求出另外两个变量。

图4-8简单支路示意图

1.1已知一侧的电压和功率求另一侧的电压和功率

假设已知节点2的电压2

V 和流出的功率2S ，可知道流过该支路的电流为： 2

2V S I

（4-49） 如果以2

V 作为参考相量，阻抗Z 引起的电压降落和功率损耗分别为： 2

22)()(V jQ P jX R V

（4-50） 2

2

22222

)(V Q P jX R Z I S （4-51） 因此另一端节点1的电压为：

2

222222

21)(V RQ XP j V XQ RP V V V V （4-52） 流过节点1的复功率为：

S S S 2

1 （4-53） 两端电压的关系还可以从如图4-9所示的相量图中得到（以2

V 为参考相量）， 为末端电压和电流的夹角，称为功率因数角。从相量图中，不难得到阻抗Z 引起的电压降落的横分量和纵分量分别为：

22

2222sin cos sin cos V XQ RP V I XV I RV XI RI V x

（4-54a ）

2

2

2222sin cos sin cos V RQ XP V I RV I XV RI XI V y

（4-54b ）

可得到首端的电压幅值和相角分别为：

2221)(y x V V V V （4-55）

x

y V V V arctg

21 （4-56）

如果已知首端（节点1）的电压和功率，求末端的电压和功率，其基本原理同上，读者可以自行推导分析。

图4-9 两端电压相量示意图

1.2 已知一端的电压和流过另一端的复功率

假如已知首端电压1V 和末端的功率2S ，要求首端的功率1S 和末端的电压2

V ，我们可以利用两端电压的关系以及两端功率的关系列出如下方程组（以1

V 为参考相量）： )(2

2

2

22221jX R V Q P S S （4-57） 1

111111

2)(V RQ XP j V XQ RP V V （4-58） 直接求解上面这个相量方程组是很麻烦的，可以通过迭代法来求解：先给定一个末端电

压的初值，这个初值可以设定为该节点的平均额定电压，然后将之代入4-57，得到1S ，然后再利用1S 根据4-58得到2

V ，重复上面的过程，直到误差满足要求为止。 由于潮流计算通常是在电力系统的稳态运行条件下，此时节点电压与平均额定电压差别不大，因此，在手工近似计算中，将上述的迭代过程只进行一次。即先设定未知的电压为平均额定电压，利用4-51式，根据末端的功率计算支路的功率损耗，然后利用4-53式计算出首端的功率，再利用首端的功率和首端的电压计算系统的电压损耗，最后计算出末端的电压。

2. 辐射型网络的手工潮流计算方法

所谓辐射型网络就是单电源供电的非环形网络，系统中所有的负荷都由一个电源供电，

1

V

辐射型网络是由若干个简单支路树枝状串级联接而成的。对于辐射型网络中的接地支路可以做如下处理：

（1）将对电力系统中的接地支路等效为该支路消耗的功率，对地支路的电压用额定电压来替代，例如，对地支路的导纳为jB G ，那么这个对地支路的消耗的功率

2)(N V jB G S ；

（2）将同一节点消耗的功率进行合并。

通过这样处理，辐射型网络就化减为若干简单支路的级联，可以利用简单支路的潮流和电压计算方法逐级进行潮流计算。辐射型网络的手工潮流计算一般从系统末端开始，因为通常辐射型网络的末端的负荷为已知，首先计算潮流的近似分布，然后再从电源端开始根据潮流分布计算出各个节点的电压。因此，辐射型网络的手动潮流估算仅包含三步：

第一步，根据电力系统各个元件的电机参数，建立电力系统的等值计算电路；然后将对地支路等效为支路消耗的功率，并将各个节点消耗的功率进行合并。

第二步，首先将系统中各个节点的未知电压设为系统平均额定电压，然后从辐射型网络的末端开始，依次计算各个支路的功率损耗，最后得到潮流在辐射型网络中的近似分布。

第三步，根据估算出的潮流分布，从电源端开始，根据前面简单支路的电压计算公式依次计算各个节点的电压。

通过一个实例来说明潮流计算的过程，如图4-10所示的辐射型单电源的简单电力系统，已知节点1（发电机节点）的电压A V 和各个节点的负荷1L S 、2L S 、3L S 、4L S ，求该系统的功率和电压的分布。

图4-10 单电源辐射型电力系统

已知电力系统的各个元件的参数如下所示：

变压器T1：额定容量N S ，额定变比NII NI T V V k /1 ，空载损耗0P ，空载电流百分数

%0I ，短路损耗k P ，短路电压百分数%k V ；

输电线路L ：每公里长的正序阻抗1z ，每公里长的对地电纳0b ，线路长度L ； 变压器T2：额定容量N S ，额定变比NII NI T V V k /1 ，空载损耗0P ，空载电流百分数

%0I ，短路损耗k P ，短路电压百分数%k V 。

第一步作出等效电路及其参数：

首先做电力系统的等值电路，根据上述各个元件的参数，我们可以得到各个元件的等效电路及其电路参数，等效电路如图4-11所示。

在计算等值电路中各个元件参数之前，先选择功率和电压的基准值B S ，1B V ，2B V ，3B V 。

变压器T1（根据等值电路，变压器参数都归算到高压侧）：

2222*

1B B N NII k T V S S V P R ；2

2

2

*1100%B B

N NII k T V S S V V X ；*1*1*1T T T jX R z ；

B

B NII T S V V P G 22

20

*

1 ；2

0*1100%NII N T V S I B ；*1*1*1T T T jB G y ；211*

1//B B NII NI B T T V V V V k k k 输电线路：

221*

B B L V S L z z ；B

B L S V L b b 22

0*0

变压器T2（根据等值电路，变压器参数都归算到高压侧）：

22

22*

2B B N NI k T V S S V P R ；2

22*2100%B B

N NI k T V S S V V X ；*2*2*2T T T jX R z B

B NI T S V V P G 22

20*

2 ；2

0*2100%NI N T V S I B ；*2*22T T T jB G y ；322*2//B B NII NI B T T V V V V k k k

图4-11 等值电路I

第二步，将对地支路简化为对地功率损耗：

如果电压基准值的选取与变压器的实际变比相匹配，那么1*2*1 T T k k ，如果不匹配，则需要将变压器的变比的标么值等效到电路中，把变压器的阻抗支路，变为PI 型等效电路（参见第二章，2.3节第四部分）。

为了说明问题，我们假设电压基准值选取与变压器实际变比匹配，或者忽略非标准变比的影响。对地支路假设为对地损耗功率，其对地支路的损耗用该点的额定电压来计算，等效电路变为如图4-12所示。

图4-12 等值电路II

其中：*22*2*1T N T y V S ；)2/(*02

*2*1L N L jb V S ；

)2/(*02*3*2L N L jb V S ；*22

*4*2T N T y V S ；

第三步，节点功率合并：

然后，将1、2、3、4各个节点上的所有功率合并，如图4-13所示：