2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练17

感知高考刺金251题

设,m k 为正整数，方程220mx kx -+=在区间()0,1内有两个不

同的根，则m k +的最小值是 ． 解：2220mx kx k mx x

-+=?=+

于是问题转化为直线y k =与打勾函数2

y mx x

=+

的图象的两

个交点的横坐标均在区间()0,1内，于是2k m <+

注意到2m +为整数，于是在区间()

2m +上存在整数k 的充要条件为21m +>

解得3m >+故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k +的最小值为13

感知高考刺金252题

已知21x y +=，求x 的最小值是 ．

解法一：令x m =，则22

2m y x m

-=

因此22

212m y y m

-?

+=，整理得220y my m m -+-= 故用判别式()

2240m m m ?=--≥，解得45

m ≥

解法二：设cos x r θ=，sin y r θ=，条件转化为2cos sin 1r r θθ+=，即1

2cos sin r θθ

=+

所求代数式转化为cos 1

cos 2cos sin r r θθθθ

++=+的最小值

由此可有斜率角度求值域：

2cos sin 2cos 2sin 2sin 25

2cos 1cos 1cos 14

θθθθθθθθ+++--==+≤+++，

（视为单位圆上的点与()1,2-连线斜率），

则cos 14

2cos sin 5

x θθθ+≥+

也可由三角函数角度求值域：

()cos 14sin 21cos 11

2cos sin 5

m m m m θθθθθ+=?+-=?≥+

评注：这里因为遇到22x y +的结构，故三角换元设cos x r θ=，sin y r θ=。 解法三：数形结合

当0x ≥时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH +

如图，就是典型的“饮马问题”，点O 关于直线21x y +=的对称点42,55Q ??

???

到y 轴的距离为45

当0x <时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH -

而21PO O H O B PH PH >=+>+

于是1PO PH ->

感知高考刺金253题

如图，直线m 与平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱

长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是 ． 解：题意中是点O 是定点，正四面体ABCD 运动，但始终保持OB OC ⊥不变 不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD 固定下来，让点O 在以BC 为直径的球面上运动，如图所示。

接下来可以得到点O 到直线AD 的距离的取值范围就是球

心F 到直线AD 的距离EF 减去球的半径与球心F 到直线AD 的距离加上球的半径之间，即

2????

感知高考刺金254题

★已知,a b ∈R ，对任意满足01x ≤≤的实数x ，都有1ax b +≤成

立，则107107a b a b ++-的最大值是 ． 解法一：显然{}107107max 20,14a b a b a b ++-= 于是问题转化为求,a b 的最大值

当0x =时，容易得到1b ≤，由图可知直线y ax b =+在01x ≤≤上的值域为[]1,1-的子集，于是斜率a 必然在[]2,2-内，故2a ≤ 从而当2,1a b ==-时，原式取到最大值为40 解法二：绝对值不等式 因为()()01,11f b f a b =≤=+≤

故()2a a b b a b b =+-≤++≤，同解法一

练习：若对任意满足11x -≤≤的实数x ，都有

21a x b x c ++

≤成立，则a 的取值范围

是 ． 如图，易得22a -≤≤

点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。

感知高考刺金255题

已知圆22:1O x y +=为ABC ?的外接圆，且tan 2A =，若A O x A B y A C =+

，

则x y +的最大值为 ． 解：如图，延长AO 交边BC 于点D ，设AO AD λ=

则1x y AD AO AB AC λλλ

=

=+

由,,B C D 三点共线可知

1x

y

λ

λ

+

=，从而1

1AO x y AO OD

OD

λ+==

=

++

显然当OD 取最小值，即OD BC ⊥时，x y +取得最大值，此时ABC ?为等腰三角形，可得

x y +感知高考刺金256题

已知非零向量a 和b 互相垂直，则a b + 和2a b +

的夹角余弦值的最小值是 ．

解：()(

)

222cos 2a b a b a b a b θ++==+?+ 令22

,a x b y == ，

则cos θ==

==

感知高考刺金257题

已知正数,a b 满足1910a b a

b

+++=，则a b +的取值范围是 ． 解：设a b t +=，则1

910t a

b +=- 又因为()1991916b a a b a b a b ??

++=+++≥ ???

即()1016t t -≥，解得28t ≤≤

当且仅当13

,22

a b ==时，2a b +=；当且仅当2,6a b ==时，8a b +=

感知高考刺金258题

已知实数,0

x y >，若22x y +=，则3x y +的最小值是

． 解法一：待定系数法

1,02y x λλλ??

+>

???

1122212222y x y x y x x y λλλλ??????=++++=+++ ? ? ???????

待定系数法，令11:21:322λλ???

?++= ? ????

?，解得13λ=

故1237x y +≥，当且仅当91

,77

x y ==时取得

解法二：

()

()(

)

(32321321

x y x y x y x y λλλλλ+-=+---+-

令10=，即7

6λ=

时，1237x y +≥，当且仅当91,77

x y ==时取得

解法三：三角换元

设a b 2222a ab b ++=，求223a b +的最小值 令cos a r θ=，

b θ=

，0,2πθ??

∈????

，0r >，2223a b r += 故问题又转化为已知22222

2cos sin sin cos 2

3r r θθθθ+=，求2r 的最小值

于是22

22261cos sin cos sin 23536r πθθθθθ??=+=++ ???

因为0,2πθ??

∈????，故2212,37r ??∈????

评注：这里又遇到)

22a +的结构，故可三角换元设cos a r θ=，

b θ=，10月1日

每日征解有相同的处理方法。

感知高考刺金259题

已知ABC ?中，()

12CP CA CB =+ ，112CP AB == ，点Q 是线段AB 上一点，且1

2

CQ CP = ，

则CQ

的取值范围是 ．

解：根据()

12CP CA CB =+ ，112

CP AB ==

，可知,,A B C 在以

AB 为直径，以AB 中点P 为圆心的圆上。 又12

CQ CP = ，

且1CP = ，根据投影的几何意义为点Q 在PC 的中垂线上，又点Q 在AB 上，故点Q 就是线段PC 的中垂线与

线段AB 的交点

又CQ PQ =，故问题转化为当点C 在以AB 为直径的圆上运动时，求PQ 的取值范围 显然当Q 与B 重合时，max 1PQ =，C 与B 接近重合时，min 12

PQ → 故1,12CQ ??∈ ???

感知高考刺金260题

在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，

则满足BP 和'AC 所成的角为45 的点P 有 个． 解：如图，将正方体的各个顶点（除B 点外）分类，规定当顶点与B 的连线与直线'AC 所成的角大于等于45?时为一类，小于45?时为一类。

显然,',AB B B CB 与'AC 45?

',A B DB 与'AC 所成角的为90 ，大于45?

'D B 与'AC 所成角的为60 ，大于45?

'C B 与'AC 45? 当点P 从'B 运动到'C 时，角度从大于45?变化到小于45?，一定

经过一个点满足45 ；依此类推，当点P 在'',',''B C CC D C 上运动

时，都经历过角度从小于45?到大于45?的变化，故满足条件的点共有3个。

点评：本题虽然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点），角度的变化不会发生突变，故在变化的过程中一定存在一个临界点。这种思想在处理选择题时经常用到。

感知高考刺金261题

在ABC ?中，D 是边AC 上一点，6AB AC ==，4AD =，若ABC ?的外心O 恰在线段BD 上，则BC = ． 解：设()()2

113

AO AB AD AB AC λλλλ=+-=+-

因为ABC ?是等腰三角形，故()2

13

λλ=-，即25λ=

故有2355

AO AB AC =

+

再对上式两边同时与AB

作数量积，有

2355AO AB AB AC AB ??=+ ??? ，得1cos 4A =

故由余弦定理得2222cos 54BC AB AC AB AC A =+-=

即BC =点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到AO

在,AB AC

方向的分量一样，即系数一致求出λ。其次还是向量与外心合作的老套路——点积转边长。

感知高考刺金262题

已知平面α和β相交形成的四个二面角中的其中一个为60 ，则在空间中过某定点P 与这两个平面所成的线面角均为30 的直线l 有 条．

解：设平面α和平面β过点P 的法线（垂直于平面的直线）分别为,m n ，则,60m n =

而直线l 与两个平面所成的线面角均为30 可转化为直线l 与法线,m n 所成的角均为60 由“鸡爪定理”可知，直线l 与法线,m n 所成角为60 的直线有3条。

点评：平面的法向量是平面方向的代表。 “鸡爪定理”：如图，若直线,m n 所成角为θ，则与直线,m n 所成角相同的直线l 一定在直线,m n 的角平分面上，且该角的取值范围是,22θπ??????和,22πθπ-??????

其中2θ与2πθ-就是直线l 正好为直线,m n 的两条角平分线时，2

π就是垂直时取得。

感知高考刺金263题

已知向量,a b 满足231+=a b ，则?a b 最大值为 。

解法1：（方程构造法）构造方程()2

2

23(23)24+--=?a b a b a b

则?a b 222(23)(23)1(23)12424242424+--=-=-≤a b a b a b ，当且仅当23=a b ，且14

=a 时，上

式等号成立．

解法2：（不等式法）对于条件231+=a b ，则有2249121++=a b ab ，

又因()2

230-≥a b ，则有22

4912+≥?a b a b ，则12112?≤-?a b a b ，

因此?a b 最大值为

124

解法3：（极化恒等式法）设2a OA = ，3b OB = ，取AB 的中点为M ，1

2

OM =，对于

OAB ?，因BOA ∠可以变化，当BOA ∠趋向于0度时，MB 趋向于

0，而12

OM =，则23?a b 2211

044OA OB OM MB =?=≤= －-，

因此?a b 最大值为1

24

感知高考刺金264题

已知过点()0,1A ，且斜率为k 的直线l 与圆C ：()2

2

2(3)1x y -+-=相交于,M N 两点．

则AM AN ?=

．

解法1：（普通方法）设直线l 与圆的交点为1122(,),(,)M x y N x y ，

则1122(,1),(,1)AM x y AN x y =-=-

，

由直线1y kx =+与圆()2

22(3)1x y -+-=联立得()

22

14(1)70k x k x +-++=，

因此有12122274(1),11k x x x x k k +=+=++，()22

1212122

124111k k y y k x x k x x k

++=+++=+， 212122

642

()21k k y y k x x k +++=++=+，因此可得121212()1AM AN x x y y y y ?=+-++

222227124164217111k k k k k k k

++++=+-+=+++ 解法2：（极化恒等式）

如图所示，取MN 的中点为G ，则CG MN ⊥，

由极化恒等式可得2222

4

MN AM AN AG AG MG ?=-=-

()

2222()AC CG MC CG =---

22AC MC =- 2

1817AC =-=-=

点评：这里的极化恒等式并没有出现在三角形中，但仍然适用。其本质就是圆的切割线定理。

感知高考刺金265题

已知,A B 为双曲线

22

1164x y -=上经过原点的一条动弦，M 为圆C ：22(2)1x y +-=上的一个动点，则MA MB ?

的最大值为 。

解法1：（普通方法）设()00,M x y ，满足2200(2)1x y +-=；

设()1111,,(,)A x y B x y --，满足

22

111164

x y -= 1010(,)MA x x y y =-- ，1010(,)MB x x y y =----

， 因此2222

0101MA MB x x y y ?=-+- 22220011()x y x y =+-+

22

2

2

1001

1(2)[(1)4]16

x y y x =--+-+-?20115

144y x =+-，

因此MA MB ? 的最大值为()()2

01max min 15151414316744

y x +-=+?-?=-

解法2：（借助于极化恒等式）如图所示，O 为,A B 的中点，

由极化恒等式可得22

MA MB MO OA ?=- ，

而2

2

max

(21)9MO

=+= ，2

2min

4OA

= ，

因此MA MB ? 的最大值为2max MO - 2

2min 947OA =-=-

感知高考刺金266题

在平面直角坐标系xOy 中，,A B 是x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点）为y 轴上一个定点，若以AB 为直径的圆与圆()2221x y +-=相外切，且APB ∠的大小为定值，则OP = ．

解：设以AB 为直径的圆的圆心为(),0t ，半径为r ，则可设()(),0,,0A t r B t r -+ 由两圆相外切得()2

241t r +=+ 而tan t r OPB OP +∠=

，tan t r

OPA OP

-∠= ()2222tan tan 22tan tan 1tan tan 23

OPB OPA r OP r OP

APB OPB OPA OPB OPA OP t r OP r ∠-∠??∠=∠-∠=

==

+∠?∠+-+- 因为APB ∠是定值，所以tan APB ∠

为常数，所以OP =

感知高考刺金267题

已知等比数列{}n a 的公比1q >，其前n 项和为n S ，若4221S S =+，则6S 的最小值为 ．

解法1：从等比数列的基本量入手 由4221S S =+得

(

)()42

11

121111a q a q q

q

--=+--，得

1421

121

a q q q =--+- 所以(

)()()()()62

4

2

6

4

2

162

2

2

2

2

111111111a q q q q q q q S q

q q q --++-++=

=

==-----

令21q t -=

，则63

33S t t

=++≥

当且仅当21q 时取得等号。 解法2：从等比数列的性质入手

因为等比数列有性质：()()2

42264S S S S S -=?- 将4221S S =+代入，得622

1

33S S S =+

+ 又因为4221S S =+得34121a a a a +=++，即()

2211S q -=，因为1q >，所以20S >

所以6221333S S S =++≥

，当且仅当2S =

感知高考刺金268题

已知22:4O x y += ，点()4,0M ，过原点的直线（不与x 轴重合）与O 交于,A B 两点，则

ABM ?的外接圆的面积的最小值为 ． 解：2sin AB

R ABM =∠，要求外接圆的面积的最小值，即求R 的最小值，即求sin ABM ∠的最

大值

设()2cos ,2sin A αα，()2cos ,2sin B αα--

()2cos 4,2sin MA αα=- ，()2cos 4,2sin MB αα=---

由极化恒等式知2

2164124

AB MA MB MO =-=-=

故3cos 5

ABM ∠=

=

≥

故4

sin 5

ABM ∠≤

所以425sin 5

AB R ABM =

≥=∠，所以52R ≥，254

S π

≥

感知高考刺金269题

已知数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，记n n n n n n n c a T b S a b =?+?-?，若20152015S =，

20152014

2015

T =

，则数列{}n c 的前2015项和为 ． 解：当1n =时，11111c a b S T =?=? 当2n ≥时，()()()()111111n n n n n n n n n n n n n n n c S S T T T S S S T T S T S T ------=-?+-?--?-=?-?

()()()12311221133222015201520142014201520152014

n c c c c S T S T S T S T S T S T S T S T ++++=+-+-++-==

感知高考刺金270题

钝角

ABC

?中，

()2

22

2s i n

1s i n s i n s i n

C A C B -=-

，则()s i n A B -= ．

解：由()2222sin 1sin sin sin C A C B -=-得22222sin sin sin sin sin A C A C B ?=+- 故222222sin sin sin sin cos sin 2sin sin 22A C B a c b A B B A C ac π+-+-??=

===- ???

故2

A B π

=

-或2

A B π

π+

-=

由于ABC ?为钝角三角形，故2

A B π

-=，所以()sin 1A B -=

感知高考刺金271题

在ABC ?中，若tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，则cos C 的最小值为 ．

解：常规思路“切化弦”

sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B B C A C C A B C A B B A A B B C A C C A B C A B +????

=+=+= ? ?????

22222222sin sin sin 3cos 2C c A B ab a b c C a b c

ab =?=?+=+-

222222

cos 233

a b c a b C ab ab +-+==≥

感知高考刺金272题

在平面直角坐标系中，设,,A B C 是圆221x y +=上相异的三点，若存在正实数,λμ，使得OC OA OB λμ=+ ，则()2

23λμ+-的取值范围是 ．

解：设()()()112200,,,,,A x y B x y C x y ，则22111x y +=，22221x y +=，22

001x y +=

于是由OC OA OB λμ=+

得()()()001122,,,x y x y x y λμ=+

故012012

x x x y y y λμλμ=+??=+?，两式平方相加得()22121212x x y y λμλμ=+++， 即22

121212x x y y λμλμ

--+=

又[]1212cos 1,1x x y y OA OB θ+==∈-

故222221,21λμλμλμλμ++≥+-≤

即1

110,0λμλμλμ+≥??-≤-≤??>>?

，画出可行域如图，目标函数()2

23λμ+-视为可行域内的点到()0,3的距离

的平方，所以的最小值为2

2

2d ==

所以()2

232λμ+-≥

感知高考刺金273题

若对于满足13t -≤≤的一切实数t ，不等式0)3()3(222>-+-+-t t x t t x 恒成立，则x 的取值范围为 ．

解：原不等式化为0)]3()[(2>---t x t x ，∵22211

(3)3()3024

t t t t t --=-+=-+->，

∴3x t <-或2

x t >， ∴()min 34x t <-=-或()

2

max

9x t >=

点评：本题常规的解法应该是将t 视为主元，将x 视为系数去解，但这个关于t 的不等式是三次不等式，不好处理，所以本题的解法是将不等式因式分解后先化简，在转为恒成立问题。这个题目的解法也可以处理浙江省2012年高考题。 （2012浙江理17）设

∈a R ，若0>x 时，均有0)1](1)1[(2≥----ax x x a ，则

=a ．

本题有很多解法前面已经介绍过，这里用本题采用的方法再来处理一次。

解：将0)1](1)1[(2

≥----ax x x a 视为关于a 的二次不等式，即整理为

()()2

110xa x xa x ???-+?--≤????

因为0>x ，故110x a a x x x ??+?

???---≤ ? ????

?????，

当

11

2x x x x x

+=-?= 当02x <≤时，

11x x x x +≥-，则11x x a x x +-≤≤，所以max min

11x x a x x +????

-≤≤ ? ?????

即

3322a ≤≤，即3

2

a = 当2x ≥时，

11x x x x +≤-，则11x a x x x +≤≤-，所以max min 11x a x x x +???

?≤≤- ? ????

?

即3322a ≤≤，即3

2

a = 综上，3

2

a =

感知高考刺金274题

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210y x a b a b

+=>>被围于由4条直线x a =±，y b =±所围成的矩形ABCD 内，任取椭圆上一点P ，若n m ?+?=(m 、R n ∈)，

则22m n += ．

解：设P (x ,y )，由OP m OA n OB =?+?

?(x ,y )=m (a ,b )+n (-a ,b )=(am -an , bm +bn )

?()()x a m n y b m n =-??=+??x m n a y m n

b

?=-???=+??222222()()1y x m n m n a b -++=+=?2212m n +=

感知高考刺金275题

若X 是一个非空集合，M 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足： ① X ∈M 、?∈M ；

② 对于X 的任意子集A 、B ，当A ∈M 且B ∈M 时，有A ∪B ∈M ； ③ 对于X 的任意子集A 、B ，当A ∈M 且B ∈M 时，有A ∩B ∈M ； 则称M 是集合X 的一个“M 集合类”

例如：}},,{,},{,}{,}{,{c b a c b c b M ?=是集合

},,{c b a X =的一个“M 集合类”已知集合},,{c b a X =

，

则所有含},{c b 的“M 集合类”的个数为 ．

解：},,{c b a X =的子集有8个，为：?,}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a ,},{c b ,},,{c b a . M 中必含?、},{c b 、},,{c b a ，另5个元素}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a 再分配。 注意到},{b a ∩},{c b =}{b ，},{c a ∩},{c b =}{c ，},{b a ∩},{c a =}{a ， 故若},{b a 在M 中，则}{b 也在M 中， 若},{c a 在M 中，则}{c 也在M 中，

若},{b a 与},{c a 在M 中，则}{a 也必在M 中. 故对这5个元素在M 中的搭配情况进行分类：

①5个都不取，即0M =}},,{},,{,{c b a c b ?，1个； ②从}{a 、}{b 、}{c 中各取一个充入0M ，有3个； ③从},{b a }{b 、},{c a }{c 、}{b }{c 中各取一个充入0M ，有

3个；

④从},{b a }{b }{a 、},{b a }{b }{c 、},{c a }{c }{a 、},{c a }{b }{c 中各取一个充入0M ，有4个；

⑤把},{b a },{c a }{a }{b }{c 充入0M ，有1个； 故共有12个

感知高考刺金276题

设,a b 是非零向量，且1a b -= ，32a b -= ，则2a b -

的最大值是 ．

解法一：（代数角度运算）令a b u -= ，3a b v -= ，则22

u v

a b +-=

题目简化为1u = ，2v = ，求2

u v

+

的最大值

2

144cos 9

244

u v θ+++=≤ ，故322u v +≤ 解法二：（几何角度）画出1a b -= ，32a b -= 的几何图形，即1AB = ，2AC =

，问题变

为ABC ?的两边分别为1和2，求中线AM 的长度的最大值。

23AM AB AC ≤+=（即构造平行四边形，发现三角形两边之和大于第三边，当构不成三角形时取得等号），故3

2

AM ≤

解法三：（坐标角度）将ABC ?画成如图形状，则点B 在以A 为圆心，1为半径的圆上运动，再求中线AM 的最大值。 本题还可以建系设点做，设()0,0A ，()2,0C ，()cos ,sin B θθ，cos sin 1,22M θθ??+ ???

A

B

C

M

则2

2

2

cos sin 5

91cos 2444AM θθθ??=++=+≤ ??

? 即32

AM ≤

点评：本题是一个向量的好题，妙在可以从代数、几何和坐标运算三种常见角度操作。 一般地，向量模长问题，平方就是代数运算，不平方是几何意义，必要时活用坐标建系。

感知高考刺金277题

（须凌峰供题）在ABC ?，90BAC ∠=?，以AB 为一边向ABC ?外作等边ABD ?，若

2BCD ACD

∠=∠，AD AB AC λμ=+

，则λμ+= ． 解：注意到又是求向量系数之和，故可以用三点共线来做。

如图，延长DA 与BC 交于E

则AE xAB yAC =+

，且1x y += AD mAE mxAB myAC ==+ 故AD

m AE

λμ+==-

设2AB =，AC a =，ACD θ∠=，

则tan θ=，2

tan 3a θ=

)

2

2

tan 21a

a

θ=

-

()

2

2tan 3tan 2a

a θθθ=+===

即24a =，2a =

即ABC ?是等腰直角三角形，故135ACE ∠=?，15AEC ∠=?

所以sin135sin15AE AC ==??

)

21AE =

故AD m AE

λμ+==-=

点评：本题入手是由三点共线，在处理的过程中利用三倍角的正切公式来处理条件中的二倍

角关系，不知道是否有初中的平面几何知识可以迅速确定ABC ?是等腰直角三角形。

感知高考刺金278题

（须凌峰供题）已知()()

220CA CB CA CB --=

，则CA CB AB

+= ． 解法一：代数方法

由()()

220CA CB CA CB --=

得222250CA CB CA CB +-=

故22225

CA CB CA CB +=

3CA CB CA CB

AB CB CA

++===- 解法二：几何方法

由()()

220CA CB CA CB --=

可以画出如右图的CDE ?

其中两条中线垂直，即AE BD ⊥，且AB 为CDE ?的中位线。

注意到点G 恰好是CDE ?的重心，所以连结CG 交AB 于H ，则H 是AB 的中点，即

2CA CB CH += 故CA CB CH

AB AH

+= 又因为ABG ?为直角三角形，故1

2GH AB AH ==，所以CA CB CH CH AB AH GH +==

又G 是CDE ?的重心，所以2

3CG CF =

，AB 为CDE ?的中位线，所以

12CH CF

=

所以3CA CB CH

AB GH

+==

感知高考刺金279题

（赖尚毅供题）正方体棱长为1，,,M P Q 为棱1,,AA CD BC 的中点，则三棱锥1M D PQ -的体积1M D PQ V -= ． 解法一：等体积转换

如图1，11//B D PQ ，故11PQD PQB S S ??=， 故11M D PQ M B PQ V V --=

再如图2，取AD 的四等分点N ，则1//MN B Q 故11MQB NQB S S ??=，

111111111131115111322222422448

M B PQ P MB Q P NB Q B PNQ

V V V V ----===????=-??-??-?+??= ? ?????

解法二：作面的延伸

本方法的初衷就是利用两个三棱锥的体积成比例，求出容易求的三棱锥体积，从而利用比例进行转化。

注意到三棱锥1D MPQ -与三棱锥D MPQ -是共底面MPQ 的，所以它们的体积之比就是1D 到MPQ 的距离与D 到MPQ 的距离之比（12:H H ）。

如图，作QP 与AG 的延长线交于G ，连结MG 交1DD 于H 1121:::D MPQ D MPQ V V H H D H HD --==

易得12GD AD =

，故13

HD MA =，故1:5:1D H HD = 而1111113222248

D MPQ V -=????= 所以1548

D MPQ V -=

感知高考刺金280题

已知椭圆()2

2

2:124x y C a a

+=>和圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12,F F ，过椭圆上一点P 和原点O 作直线PO 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ?=，则P M P N ?= ．

解：先处理焦点三角形，设12,PF m PF n == ，则222

12

6

242cos mn m n a c m n mn F PF ?=?

+=??=+-∠?

解得22212441231

cos 1233

a c

b F PF ---∠=

== 又()()2

2PM PN R OP R OP R OP ?=-+=-

因为()

1212

PO PF PF =+

，

故()()

()222

222121211112cos 2262624443PO PF PF m n mn F PF a a ??=+=++∠=-?+??=- ???

所以()()

2

222426PM PN R OP a a ?=-=+--=

2020年江苏省高考数学模拟试卷及答案

2020年江苏省高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数i i z 23-= ，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23 π 的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ． 5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教 （每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数128 1 --= x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin - =θ，2 3πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆2 21x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线1 2 +-= x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则B A tan 3 tan 2- 的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(2 2 =-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ， 在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，?=∠90DAB ，1==DC AD ， AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ． 14．已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1 ()()2f t f t +=-， 则2 2 4a b +的最小值为 ． （第3题）

2020年高考数学模拟试卷汇编：专题4 立体几何(含答案解析)

2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为 （ ） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，

它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构 中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图

第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.

()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的

2018年高三数学(理科)二轮复习完整版【精品推荐】

高考数学第二轮复习计划 一、指导思想 高三第一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过第一轮复习，学生大都能掌握基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。 强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，掌握通性通法。 第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说． “二轮看水平”概括了第二轮复习的思路，目标和要求．具体地说，一是要看教师对《考试大纲》的理解是否深透，研究是否深入，把握是否到位，明确“考什么”、“怎么考”．二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是看知识讲解、练习检测等内容科学性、针对性是否强，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法． 二、时间安排： 1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为3月10——4月30日。 2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月1日——5月25日。 3.最后阶段学生自我检查阶段，时间为5月25日——6月6日。 三、怎样上好第二轮复习课的几点建议： （一）.明确“主体”，突出重点。 第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌．只有这样，才能讲深讲透，讲练到位．因此,每位教师要研究2009-2010湖南对口高考试题. 第二轮复习的形式和内容 1．形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。 （1）集合、函数与导数。此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。 （2）三角函数、平面向量和解三角形。此专题中平面向量和三角函数的图像与性质，恒等变换是重点。 （3）数列。此专题中数列是重点，同时也要注意数列与其他知识交汇问题的训练。 （4）立体几何。此专题注重点线面的关系，用空间向量解决点线面的问题是重点。 （5）解析几何。此专题中解析几何是重点，以基本性质、基本运算为目标。突出直线和圆锥曲线的交点、弦长、轨迹等。 （6）不等式、推理与证明。此专题中不等式是重点，注重不等式与其他知识的整合。 （7）排列与组合，二项式定理，概率与统计、复数。此专题中概率统计是重点，以摸球问题为背景理解概率问题。 （（9）高考数学思想方法专题。此专题中函数与方程、数形结合、化归与转化、分类讨论思想方法是重点。 （二）、做到四个转变。 1．变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用．

2020届高三数学小题狂练十含答案

2020届高三数学小题狂练十 姓名 得分 1．方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 . 2．已知复数i z 24-=（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 . 3．曲线x x f ln )(=在e x =处的切线方程为 . 4．随机向一个正三角形内丢一粒豆子，则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 . 5．若双曲线122=-y x 右支上一点(,)A m n 到直线x y =的距离为2，则m n += . 6．函数5x y x a += -在(1,)-+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 7．ABC ?中，AP 为BC 边上的中线，||3AB =u u u r ，2-=?，则||AC =u u u r . 8．直线AB 过抛物线2y x =的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 . 9．设数列{}n a 的通项为210n a n =-（n ∈N *），则=+++||...||||1521a a a . 10．已知函数()cos f x x =（(,3)2x π π∈） ，若方程a x f =)(有三个不同的实根，且三根从小到大依次构成等比数列，则a 的值为 . 11．若函数()f x 满足(2)()1f x f x +=-+，且(1)2007f =-，则(2015)f = . 12．对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．那么 ]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ= .

2020高考数学 全国各地模拟试题分类汇编1 集合 文

2020全国各地模拟分类汇编（文）：集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M ， )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I （ ） A ．}21||{<≤x x B ．}20||{<=<-==B C A x x B x x x A R U u I 则集合，，集合全集,1022 A.{}1x 0x << B. {}1x 0x ≤< C.{}2x 0x << D. {} 10x ≤ 【答案】B 【山东省曲阜师大附中2020届高三9月检测】已知I 为实数集，2{|20},{|M x x x N x y =-<=，则=?)(N C M I ( ) A ．{|01}x x << B ．{|02}x x << C ．{|1}x x < D ．? 【答案】A 【陕西省宝鸡中学2020届高三上学期月考文】集合{}0,2,A a =,{} 21,B a =,若 {}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】D 【山东省曲阜师大附中2020届高三 9月检测】若 222250(,)|30{(,)|(0)}0x y x y x x y x y m m x y ?-+≥?????-≥?+≤>?????? +≥??? ,则实数m 的取值范围是 . 【答案】5≥m 【陕西省宝鸡中学2020届高三上学期月考文】设不等式2 0x x -≤解集为M ，函数 ()ln(1||)f x x =-定义域为N ，则M N ?为 （ ） A [0，1） B （0，1） C [0，1] D （-1，0] 【答案】A

2017-2018年高考数学总复习：极坐标

2017-2018年高考数学总复习:极坐标 x cos sin y ρθ ρθ =?? =? 222x y ρ+= 考点一。直角坐标化极坐标 (1)点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为______. 解：点M 极坐标为：2(2,2),()3 k k Z π π+ ∈. （2）求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。 解：极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。 (3)在极坐标系中，圆心在π）且过极点的圆的极坐标方程为______. 解：圆心:)02(，-,22(2x y +=。圆的极坐标方 程为ρθ。 考点二。极坐标化直角坐标 （1）求普通方程)3 R ∈=ρπ θ（。 解：y=kx,且k=33 tan =π ,则x 3y =的直线。 （2）将曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程。 解：将ρ=2 2y x +，sin θ= 2 2y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2 =4. (3)求过圆4cos =ρθ的圆心，且垂直于极轴的直线极坐标方程． 解：由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42 2=+，22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0) 直线方程为2=x ．直线的极坐标方程为2cos =θρ。 (4)将极坐标方程4sin 2 θ=3化为普通方程。 解：由4sin 2 θ=3,得4·2 22y x y +＝3,即y 2=3 x 2 ，y=±x 3. （5）化极坐标方程2 4sin 52 θ ρ?=为普通方程。

解：2 1c o s 4s i n 4 22c o s 52 2 θ θρρρρθ-?=?=-=， 即25x =，化简225 54 y x =+ .表示抛物线. (6)求点 (,)π 23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。 解：)3 , 2(π化为)3,1(，圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ，圆心的坐标是)0,1(，故距 离为3。 （7）求点M （4， ）到直线l ：ρ（2cos θ+sin θ）=4的距离． （8）已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（2 0,0θρ<≤≥），求曲线1 C 与2C 交点极坐标. 解:21,C C 分别为4)2(,32 2=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点为（3，3）. 所以，交 点的极坐标为?? ? ? ?6, 32π。 考点三。极坐标应用 命题点1.求面积（12121 A B S =sin -2 ραρβρραβ?∴（，），（，） （）） （1）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为? ????3，π3，? ????4，π6，求△AOB 的面积． 解： 由题意得S △AOB ＝12×3×4×sin ? ????π3－π6＝1 2 ×3×4×sin π6＝3. （2）在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为 ），）和（，（6 5-53 4π π ，求△AOB 的面积． 解： 由题意得5))6 5(3sin(5421S =--???= ?π π. ）化成为（）

高考数学小题狂练

安徽小题狂练1 1、已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，4}，则()U C A B U 等于 A 、{3} B 、{5} C 、{1，2，4，5} D 、{1，2，3，4} 2、复数 42(,,12i s yi x y R i i +=+∈-为虚数单位，则x+y 等于 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3、双曲3x 2 －4y 2 ＝12的焦距等于 A 、 2 B 、2 C 、3 D 、10 4、已知e 1，e 2是两夹角为120°的单位向量，a ＝3e 1＋2e 2，则｜a ｜等于 A 、4 B 、 C 、3 D 、 5、给出如图所示的流程图，那么输出的数是 A 、2450 B 、2550 C 、5150 D 、4900 6、设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()22x f x x b =++（b 为常数），则f （－1）等于 A 、－3 B 、－1 C 、1 D 、3 7、设变量x,y 满足约束条件0121x y x y x y -≥?? +≤??+≥? ，则目标函数z=3x+y 的最大 值为 A 、2 B 、3 C 、1 D 、 52 8、一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm ），则该组合体的体积为 A 、32 B 、48 C 、56 D 、64 9、从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，则4个点构成平行四边形的概率等于 A 、 115 B 、215 C 、15 D 、13 10、已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f （1）＝1，且f （x ）的导数'()f x 在R 上恒有'()f x ＜ 1()2 x R ∈，则不等式2 2 1()2 2 x f x < + 的解集为 A 、（1,+∞） B 、（,1-∞-） C 、（－1,1） D 、（,1-∞-）∪（1,+∞） 11、函数2 3log (32)y x x =--的定义域是＿＿＿＿＿ 12、若直线y ＝3x ＋2过圆x 2＋4x ＋y 2＋ay ＝0的圆心，则a ＝＿＿＿＿

江苏高考数学模拟试卷

2013年江苏高考数学模拟试卷（六） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则其共轭复数z = ． 2．“m ＜1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一). 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→ BC ＝1，则BC ＝ ． 4．一种有奖活动，规则如下：参加者同时掷两个正方体骰子一次， 如果向上的两个面上的数字相同，则可获得奖励，其余情况不奖励．那么，一个参加者获奖的概率为 ． 5．为了在下面的程序运行之后得到输出25=y ，则键盘输入x 的值应该为 ． 6．如图，直线与圆12 2 =+y x 分别在第一和第二象限内交于21,P P 两点，若点1P 的横坐标为 3 5，∠21OP P =3 π，则点2P 的横坐标为 ． 7．已知不等式组???? ? x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0．表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小 值时的k 的值为 ． 8．若关于x 的方程2 －|x | －x 2＋a ＝0有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ． 9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为：1，该 长方体的最大体积是___ _____． 10．直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分，则22(1)k m +的最小 值为 ． 11．已知双曲线122 22=-b y a x （)0,1>>b a 的焦距为c 2，离心率为e ，若点(-1,0)和(1,0)到直 Read x If x <0 Then y =(x +1)(x +1) Else y =(x-1)(x -1) End If Print y End

2021届高考数学模拟试卷汇编：立体几何(含答案解析)

第 1 页 共 26 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：立体几何 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．163 2．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知圆锥的高为33，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ． 53 B ．329 C ．43 D ．259 3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=?，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=?时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π?? ??? ；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2020届河南省濮阳市高三模拟）在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．10C ．24 D ．1635．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．83 D ．163 6．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，

精编2018年高考数学总复习全书汇编

专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理[高考领航]————————————摸清规律预测考情

考点一 集合、常用逻辑用语 1．设有限集合A ，card(A )＝n (n ∈N *)，则

(1)A 的子集个数是2n ； (2)A 的真子集个数是2n －1； (3)A 的非空子集个数是2n －1； (4)A 的非空真子集个数是2n －2； (5)card(A ∪B )＝card A ＋card B －card(A ∩B )． 2．(1)(?R A )∩B ＝B ?B ??R A ； (2)A ∪B ＝B ?A ?B ?A ∩B ＝A ； (3)?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )； (4)?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B )． 3．若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则关于充分条件、必要条件又可叙述为： (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． 类型一 集合的概念及运算 [典例1] (2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B ＝( ) A.? ????－3，－32 B.? ? ? ??－3，32 C.? ????1，32 D.? ?? ??32，3 解析：通解：(直接法)解x 2－4x ＋3＜0，即(x －1)(x －3)＜0，得1＜x ＜3，故A ＝{x |1＜x ＜3}；

2018年高考数学一轮复习感知高考第116—120题(含答案解析)

高考一轮复习116 1．已知ABC ?中,角,,A B C 的对边,,a b c 满足()c o s c a A C =+,则tan C 的最大值是 ． 解：()222 cos cos 2a c b c a A C a B a ac +-=+=-=-? 即() 22213c b a =-,且B 为钝角,C 为锐角 由余弦定理得( )2222222221423cos 226a b b a a b c a b C ab ab ab +--+-+===≥ 锐角C 在区间0,2π?? ??? 上递减,故当( )min cos C =,则( )max tan C =2．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中,选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 解：327 35180A A -?= 高考一轮复习117 1．已知,αβ为锐角,且()sin cos sin ααββ+= ,则tan α的最大值是 ． 解法一：()()()()sin sin cos sin cos cos sin sin sin αββαββααβαββββ ?+-?+??+===-+ 即()tan 2tan αββ+= ()()( )2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan αβββααββαβββ+-=?+-?= ==??+++ 当且仅当tan β= 解法二：由()sin cos sin ααββ+=得sin cos cos sin sin sin ααβαββ -= 即1cos cos sin sin sin αβαββ??=+ ???

高三理科数学小题狂做5

高三理科数学小题狂做（5） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合{}0,1,2A =，{} ,,z z x y x y B ==+∈A ∈A ，则B =（ ） A ．{}0,1,2,3,4B ．{}0,1,2C ．{}0,2,4D ．{}1,2 2、复数 11i i +-（i 是虚数单位）的虚部为（ ） A ．i B ．2i C ．1D ．2 3、抛物线24y x =-的准线方程为（ ） A ．1y =-B ．1y =C ．1x =-D ．1x = 4、已知向量a ，b 满足()5,10a b +=-，()3,6a b -=，则a ，b 夹角的余弦值为（ ） A ．1313- B ．1313 C ．21313- D ．21313 5、下列说法中正确的是（ ） A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件 B ．若:p 0R x ?∈，2 0010x x -->，则:p ?R x ?∈，210x x --< C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“若6 π α= ，则1sin 2α= ”的否命题是“若6πα≠，则1 sin 2 α≠ 6、若实数x ，y 满足2211y x y x y x ≥-?? ≥-+??≤+? ，则2z x y =-的最小值为 （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 7、执行如图所示的程序框图，输出2015 2016 s =，那么判断框内应填（ ） A ．2015?k ≤ B ．2016?k ≤ C ．2015?k ≥ D ．2016?k ≥ 8、在C ?AB 中，2AB =，C 3A =，C B 边上的中线D 2A =，则C ?AB 的面积为（ ） A ． 64B ．15C ．3154D ．3616 9、已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．46+ B ．66+

高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编 专题03 导数含解析理

高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编专题03 导数（含解析）理 1. 【高考北京理第7题】直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )． A．4 3 B ．2 C． 8 3 D． 162 3 【答案】C 考点：定积分. 2. 【高考北京理第12题】过原点作曲线x e y=的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为. 【答案】(1,)e e 考点：导数的几何意义。 3. 【高考北京理第12题】如图，函数() f x的图象是折线段ABC， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64) ，，，，，，则((0)) f f=； 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4

(1)(1) lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 【答案】 2 2 考点：函数的图像，导数的几何意义。 4. 【高考北京理第13题】已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 考点：导数，函数的图像，奇偶性。 5. 【高考北京理第11题】设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1-

考点：导数的几何意义。 6. 【高考北京理第15题】（本小题共13分） 已知函数.93)(2 3 a x x x x f +++-= （Ⅰ）求)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】

2018年高考数学总复习专题1.1集合试题

专题1.1 集合 【三年高考】 1．【2017高考江苏1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ． 【答案】1 【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性 【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关,A B A B =??等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一 定要先考虑?时是否成立，以防漏解． 2．【2016高考江苏1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{} {}{}1,2,3,6231,2A B x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2- 【考点】集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难度不大.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心而出错，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解. 2．【2015高考江苏1】已知集合{ }3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】{123}{245}{12345}A B ==，，，，，，，，，,，则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算

2018年高考数学一轮复习经典高考小题狂练17

感知高考刺金251题 设,m k 为正整数，方程220mx kx -+=在区间()0,1内有两个不 同的根，则m k +的最小值是 ． 解：2220mx kx k mx x -+=?=+ 于是问题转化为直线y k =与打勾函数2 y mx x =+ 的图象的两 个交点的横坐标均在区间()0,1内，于是2k m <+ 注意到2m +为整数，于是在区间() 2m +上存在整数k 的充要条件为21m +> 解得3m >+故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k +的最小值为13 感知高考刺金252题 已知21x y +=，求x 的最小值是 ． 解法一：令x m =，则22 2m y x m -= 因此22 212m y y m -? +=，整理得220y my m m -+-= 故用判别式() 2240m m m ?=--≥，解得45 m ≥ 解法二：设cos x r θ=，sin y r θ=，条件转化为2cos sin 1r r θθ+=，即1 2cos sin r θθ =+ 所求代数式转化为cos 1 cos 2cos sin r r θθθθ ++=+的最小值 由此可有斜率角度求值域： 2cos sin 2cos 2sin 2sin 25 2cos 1cos 1cos 14 θθθθθθθθ+++--==+≤+++， （视为单位圆上的点与()1,2-连线斜率）， 则cos 14 2cos sin 5 x θθθ+≥+ 也可由三角函数角度求值域： ()cos 14sin 21cos 11 2cos sin 5 m m m m θθθθθ+=?+-=?≥+ 评注：这里因为遇到22x y +的结构，故三角换元设cos x r θ=，sin y r θ=。 解法三：数形结合

2019高考数学选择填空分专题、知识点小题狂练20套(理科)(含详细解析)完美打印版

2019高考数学选择填空狂练之一集合与简易逻辑（理） 1．[2018·盱眙中学]已知全集{} 1,2,3,4,5,6 U=，集合{} 235 A=,,，集合{} 1346 B=,,,，则集合()U A B= Ie（） A．{}3B．{} 25,C．{} 146 ,,D．{} 235 ,, 2．[2018·洪都中学]已知全集U=R，集合{} 01234 A=,,,,，{} 20 B x x x =>< 或，则图中阴影部分表示的集合 为（） A．{} 0,1,2B．{} 1,2C．{} 3,4D．{} 0,3,4 3．[2018·八一中学]集合{} 26 y y x x ∈=-+∈ N N ,的真子集的个数是（） A．9 B．8 C．7 D．6 4．[2018·洪都中学]已知集合{} 12 A x x =-≤<，{} B x x a =<，若A B≠? I，则实数a的取值范围为（） A．12 a -<≤B．1 a>-C．2 a>-D．2 a≥ 5．[2018·唐山摸底]命题“0 x ?>， 1 ln1 x x ≥-”的否定是（） A． x?≤， 1 ln1 x x ≥-B． x?>， 1 ln1 x x <- C． x?>， 1 ln1 x x ≥-D． x?≤， 1 ln1 x x <- 一、选择题

6．[2018·静宁县一中]已知a 、b 都是实数，那么>”是“ln ln a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．[2018·大同中学]已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） A ．1a b >- B ．1a b >+ C ．a b > D ．22a b > 8．[2018·静宁县一中]下列说法错误的是（ ） A ．对于命题:p x ?∈R ，210x x ++>，则0:p x ??∈R ，2 010x x ++≤ B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C ．若命题p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题 D ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠” 9．[2018·甘肃模拟]{} 1381x A x =≤≤，(){} 22log 1B x x x -=>，则A B =I （ ） A ．(]2,4 B ．[]2,4 C ．()(],00,4-∞U D ．()[],10,4-∞-U 10．[2018·辽宁联考]已知集合{}12A x a x a =-≤≤+，{}35B x x =<<，则能使A B ?成立的实数a 的取值 范围是（ ） A ．{}34a a <≤ B ．{}34a a << C ．{}34a a ≤≤ D ．? 11．[2018·曲靖一中]命题p ：“0a ?>，不等式22log a a >成立”；命题q ：“函数 ()212 log 21y x x =-+的单调递增区间是(],1-∞”，则下列复合命题是真命题的是（ ） A ．()()p q ?∨? B ．p q ∧ C ．()p q ?∨ D ．()()p q ∧?

(完整版)江苏省2019年高考数学模拟试题及答案

江苏省2019年高考数学模拟试题及答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{ 2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞ 3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)2 3 ,(m P ，则αtan ． 【答案】3- 4．在ABC ?中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】 3 2π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】 4 3π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】1 7．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x 在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y 8．实数1-=k 是函数x x k k x f 212)(?+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要 9．在ABC ?中，0 60,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若?=?2，则 AD ． 【答案】 3 3 2 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则

=d ． 【答案】 6 π 11．如图，在四边形ABCD 中，0 60,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=， CD CF λ=其中0>λ，若15=?AD EF ，则λ的值为 ． 【答案】 2 5 12．已知函数x m x e m x x f x )1(2 1)()(2 +--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ． 【答案】}1{- 13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中2 1 1-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列} {n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5( 14．在ABC ?中，3tan -=A ，ABC ?的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00?≥?，则线段BC 的长为 ． 【答案】6 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3 sin()(>>++=b a b ax x f π 的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离 为π. （1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 在?? ? ???4, 0π上的最大值和最小值.

全国百套高考数学模拟试题分类汇编

全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0) 2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。答案：y2=－8x 3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线19 162 2=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案： 5 16 4、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，若在 双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为. 答案：1＜e≤2 5、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，且 ∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=. 答案：3－1 6、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M ：2 2 21y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲 线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：10 7、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线192 22=-y a x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：2 8、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+ e R b a b y a x 的离心率，则一条渐近线 与实轴所构成的角的取值范围是_________． 答案：[π4,π 3 ]. 解析：依题意有2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴22 13b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴ 4 3 π π θ≤≤ 9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(1 0)A ，，(0)B b ，，若抛物线2 4y x =上存在点C 使ABC ?为等边三角形，则b ＝_________ .