中考数学二轮 锐角三角函数 专项培优及详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10

cos B =. (1)求AB 的长度；

(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由.

(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.

【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；

（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=

1

3

，继而即可求得AD?AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，

∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=1

2BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10

cos 10

BF B == （2）连接DG ，

∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD?AE=AF?AG ，

连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF?FG ， ∵22AB BF -=3，

∴FG=

13

，

∴AD?AE=AF?AG=AF?（AF+FG ）=3×

10

3

=10； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°， ∴∠ADC=∠ADN ， ∵AD=AD ，CD=ND ， ∴△ADC ≌△ADN ， ∴AC=AN ，

∵AB=AC ，∴AB=AN ， ∵AH ⊥BN ， ∴BH=HN=HD+CD.

【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为

1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，

2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到

1cm ）？

【答案】

【解析】

过A作AF CD

于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可．3．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）．

【答案】32．4米．

【解析】

试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．

试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．

∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴四边形ABEC为矩形，

∴CE=AB=12m，

在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE

，

∴33在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得3

∴CD=CE+DE=123）≈32.4．

答：楼房CD的高度约为32.4m．

考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．

4．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O 于点E．

（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；

（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；

②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于

AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得

∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD?AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得

sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．

试题解析：（1）AE=CE．理由：

连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，

∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD?AF．

①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC?3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；

②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．

∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=D C?（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，

∴sin∠CAB=sin∠CED==．

考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．

5．问题背景:

如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．

（2）知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

【答案】解：（1）22．

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．

∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．

过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．

则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．

在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，

∴．

∴BE+EF的最小值为

【解析】

试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：

如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，

根据垂径定理得弧BD=弧DE．

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°． ∴∠C′AE=45°．

又AC 为圆的直径，∴∠AEC′=90°． ∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=22．

∴AP+BP 的最小值是22．

（2）首先在斜边AC 上截取AB′=AB ，连接BB′，再过点B′作B′F ⊥AB ，垂足为F ，交AD 于E ，连接BE ，则线段B′F 的长即为所求．

6．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点

A 、点

B ，且ABO ?的面积为8. （1）求k 的值；

（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.

【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM

S =.

【解析】

【分析】

（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；

(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证

POD OCE ???可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；

（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出

QTB PTO ???；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=?，通过计算证出PO PM =；

再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到

OD BO

PD MO

=，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32. 【详解】

解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =， ∴4BO =， 又∵4ABO S ?=，

∴

1

42

AO BO ?=，4AO =， ∴(4,0)A -，

把4x =-，0y =代入4y kx =+， 得044k =-+， 解得1k =. 故答案为1；

（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +

如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，

∴90PDO CEO ∠=∠=?， ∴90POD OPD ∠+∠=?，

∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ， ∴90POC ∠=?，OP OC =， ∴90POD EOC ∠+∠=?， ∴OPD EOC ∠=∠，

∴POD OCE ???， ∴OE PD =，

4m t =+.

故答案为4m t =+.

（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，

由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=?， ∴ABO ?为等腰直角三角形，

∴45ABO BAO ∠=∠=?，9045BOT ABO ABO ∠=?-∠=?=∠， ∴BT TO =， ∵90BTO ∠=?， ∴90TPO TOP ∠+∠=?， ∵PO BM ⊥， ∴90BNO ∠=?， ∴BQT TPO ∠=∠， ∴QTB PTO ???， ∴QT TP =，PO BQ =， ∴PQT QPT ∠=∠， ∵PO PK KB =+，

∴QB PK KB =+，QK KP =， ∴KQP KPQ ∠=∠，

∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠， ∴KPB BPN ∠=∠， 设KPB x ∠=?， ∴BPN x ∠=?， ∵2PMB KPB ∠=∠， ∴2PMB x ∠=?，

45POM PAO APO x ∠=∠+∠=?+?，9045NMO POM x ∠=?-∠=?-?，

∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=?+?=∠， ∴PO PM =，

过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ， ∴22OM OD t ==，

9045OPD POD x BMO ∠=?-∠=?-?=∠， tan tan OPD BMO ∠=∠， OD BO PD MO =，

4

42t t t =+， 14t =，22t =-（舍）

∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==， ∴CM y 轴， ∵90PNM POC ∠=∠=?， ∴BM OC ，

∴四边形BOCM 是平行四边形，

∴4832BOCM

S

BO OM =?=?=.

故答案为32. 【点睛】

本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．

7．

如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝10，cosC ＝

3

5

，点P 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），以PA 长为半径的⊙P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE ⊥CB 于点E ． （1）当⊙P 与边BC 相切时，求⊙P 的半径．

（2）连接BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的⊙Q 与⊙P 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.

【答案】（1）

40

9

R=;（2）2

5

880

320

x

y x x

x

=-+

+

;（3）50105

-.

【解析】【分析】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3

5

，则

sinC＝4

5

，sinC＝

HP

CP

＝

10

R

R

-

＝

4

5

，即可求解；

（2）首先证明PD∥BE，则EB BF

PD PF

=，即：20

2

4

588

x y

x

x

x

y

-+

--

=，即可求解；

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．

【详解】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，

连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3

5

，则sinC＝

4

5

，

sinC＝HP

CP

＝

10

R

R

-

＝

4

5

，解得：R＝

40

9

；

（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3

5

，

设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，

则BH ＝ACsinC ＝8，

同理可得：CH ＝6，HA ＝4，AB ＝45，则：tan ∠CAB ＝2， BP ＝228+(4)x -＝2880x x -+，

DA ＝

25x ，则BD ＝45﹣25

x ， 如下图所示，PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠CAB ＝∠CBA ＝β，

tanβ＝2，则cos β5

，sinβ5

， EB ＝BDcosβ＝（525

x ）5＝4﹣25

x ，

∴PD ∥BE ，

∴EB BF

PD PF

=，即：202

4588x y x x

x -+--=，

整理得：y 25x

x 8x 803x 20

-++

（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，

两个圆交于点G，则PG＝PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，

∵点Q是弧GD的中点，

∴DG⊥EP，

∵AG是圆P的直径，

∴∠GDA＝90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，

∴AG＝EP＝BD，

∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝5

设圆的半径为r，在△ADG中，

AD＝2rcosβ

5DG

5

AG＝2r，

5＝52r

51

，

则：DG

5

50﹣5

相交所得的公共弦的长为50﹣5

【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣1

4

x2+bx+c与直线y＝

1

2

x﹣3分别交x

轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD 交x轴于点E．

（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；

（2）求∠DCB的正切值；

（3）如果点F在y轴上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求点F的坐标．

【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）1

3

；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】 【分析】 （1）y ＝

1

2

x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣

14

x 2

+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB?sin ∠OBC ＝5，CE ＝32，则CH ＝5

，即可求

解；

（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）y ＝

1

2

x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3， 则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3， 将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣1

4

×36+6b ﹣3，解得：b ＝2， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣

14

x 2

+2x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6或2， 即点A （2，0），则点D （4，1）； （2）过点E 作EH ⊥BC 交于点H ，

C 、

D 的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1）， 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3，则点

E （3，0）， tan ∠OBC ＝

31

62

OC OB ==，则sin ∠OBC 5，

则EH ＝EB?sin ∠OBC 5

CE＝32，则CH＝

5

，

则tan∠DCB＝

1

3 EH

CH

=；

（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），

则BC＝35，

∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，

tan∠DBE＝

1

64

-

＝

1

2

，

故：∠DBE＝∠OBC，

则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，

①当点F在y轴负半轴时，

过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，

则∠GFC＝∠OBC＝α，

设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，

∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，

即：5＝2m，解得：m＝5

CF22

GF CG

+5＝15，

故点F（0，﹣18）；

②当点F在y轴正半轴时，

同理可得：点F（0，1）；

故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中

（3），确定∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，是本题的突破口．

9．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）

【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米

【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用

BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．

试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，

设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，

在Rt△ACD中，CD=

tan AD ACD

=

tan30

x

= 3x

在Rt△BCD中，BD=CD?tan68°，

∴325+x=3x?tan68°

解得：x≈100米，

∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．

视频

10．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E

(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；

(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；

(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；

（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；

（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．

【详解】

（1）直线PD为⊙O的切线，

理由如下：

如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠BDO=90°，

又∵DO=BO，

∴∠BDO=∠PBD，

∵∠PDA=∠PBD，

∴∠BDO=∠PDA，

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，

∴直线PD为⊙O的切线；

（2）∵BE是⊙O的切线，

∴∠EBA=90°，

∵∠BED=60°，

∴∠P=30°，

∵PD为⊙O的切线，

∴∠PDO=90°，

在Rt△PDO中，∠P=30°，

∴0 tan30

OD

PD

=，解得OD=1，

∴PO，

∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；

（3）如图2，

依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，

∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，

∵AB是圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，

∵四边形AFBD内接于⊙O，

∴∠DAF+∠DBF=180°，

即90°+x+2x=180°，解得x=30°，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，

∵BE、ED是⊙O的切线，

∴DE=BE，∠EBA=90°，

∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，

∴BD=DE=BE，

又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，

∴BD=DF=BF，

∴DE=BE=DF=BF，

∴四边形DFBE为菱形.

【点睛】

本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．

培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再

培优锐角三角函数之欧阳光明创编

锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）

A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)

培优锐角三角函数

锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。

人教【数学】数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，

锐角三角函数(培优)

知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．

锐角三角函数培优题目

锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tgα=ααcos sin ，ctgα=α αsin cos ； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不 难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．

锐角三角函数-基础+培优

A B C D α A （第7题） 1l 3l 2l 4l A D E B 图 C 一、锐角三角函数定义：sin αα∠= 的() （ ） cos αα∠=的（）（） tan α= （） （） 例1．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3 2 ，求cosA 、tanB ． 例2．△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝63，BD ＝3. （1）求cosA （2）求BC 的长及△ABC 的面积． 例3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长． 例4.如图1，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43 ,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是 练习．1.在7,35,90==∠=AB B 中，则BC 的长为（ ） （A ） 35sin 7 （B ） 35 cos 7（C ） 35cos 7 （D ）． 35tan 7 2．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．2tan B = 3．已知ΔABC 中，∠C ＝90 ，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 4. Rt△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（ ） A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C sin sin a b A B +. D.cos sin a b A B + 5. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为 6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A = a b ．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 7.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ． 8．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于 C B A E F D 第8题 C M B A 第7题 D B C A C B 第2题

中考数学锐角三角函数(大题培优 易错 难题)附详细答案

中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再

中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案

中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 639=?=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.

【答案】（1）120米；（2）23 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3， 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=3AC=203 ∴DE=503 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE =503= 2 35 答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是 2 35 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC = 81 4 ．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM

锐角三角函数学而思培优

第九讲 锐角三角函数 板块一 锐角三角函数 【例1】⑴(2010年人大附统练)如图，在ABC △中，AB AC =，45A =?∠，AC 的垂直平分线分别交AB 、 AC 于D 、E 两点，连接CD ，如果1AD =，那么tan BCD =∠ 。 ⑵(2007海淀二模)如图，四边形ABCD 、A 1B 1BA 、…、A 5B 5B 4A 4都是边长为1的小正方形。已知 ∠ACB ＝α，∠A 1CB 1＝α1，…，∠A 5CB 5＝α5。则tanα·tanα1＋tanα1·tanα2＋…＋tanα4·tanα5的值 为( ) A ．1 B ．5 C ．45 D ．56 ⑶(2010年济宁市)如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一 球从点M (点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点。如果MC n =，CMN α∠=。那么P 点与B 点的距离为 。 【例2】⑴(2010年人大附统练)已知ABC △，90C =?∠，设sin A m =，当A ∠是最小的内角时，m 的 取值范围是( ) A ．1 02 m << B ．02m << C ．0m < D ．0m << B 5 B 4 B 3 B 2B 1 A 5A 4A 3A 2A 1B A C D E D C B A B N

12?5? D C B A ⑵(十一学校2009年初三数学学习能力测试)已知1 sin cos 8 αα?=，且4590α<<°°，则 cos sin αα-的值是( ) A B ． C ． 34 D ． ⑶(北京二中分校2009学年度第一学期初三质量检测)因为1sin 302= °，1 sin 2102 =-°，所以 ()sin 210sin 18030sin 30=+=-°°°° ；因为sin 452= ° ，sin 2252 =°，所以 ()sin 225sin 18045sin 45=+=-°°°°；由此猜想并推理知：一般地，当α为锐角时，有()sin 180sin αα+=-°。由此可知sin 240=°( ) A ．1 2 - B ． C ． D ． 板块二 解直角三角形及应用 【例3】(2009浙江台州)如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角 12CBD ∠=?，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把 坡角降为5?。 ⑴求坡高CD ； ⑵求斜坡新起点A 与原起点B 的距离(精确到0.1米) (参考数据：sin120.21cos120.98tan50.09?≈?≈?≈，，) 【例4】面积专题： 题源：(2010年人大附统练)如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( ) A ． 1sin α B ．1 cos α C ．sin α D ．1

锐角三角函数培优题型分类(答案版)

锐角三角函数培优-题型分类 【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．1．（2009?牡丹江二模）直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，则k 的值为（） A．B．2 C．±2 D． 【分析】首先确定直线y=kx﹣4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出k的值． 【解答】解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，﹣4），即直线y=kx ﹣4与y轴相交所成锐角的邻边为|﹣4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=， ∵直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为， 即||=4×，k=±2． 故选C． 【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理． 2．（1998?台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（） A．B．1 C．D． 【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比． 【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E． ∵AB=BD， ∴E是CD中点， ∴AC=2BE， ∵AC⊥BC，

∴BE⊥BC，∠CBE=90°． ∴BE∥AC． 又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x， ∴tanA===，故选A． 【考点3】锐角三角函数的定义． 3．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接AC，则tan∠DAC的值为（） A．B．C．D． 【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中． 过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值． 【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E． ∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°， ∴BD=DC， 设CD=BD=1， 在Rt△ABD中，∠BAD=30°，则AD=2． 在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1， 则CE=，DE=． ∴tan∠DAC===．

锐角三角函数培优讲义

讲义编号：组长签字：签字日期：

2、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。 3、如图（1），∠α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一个点P （3，4），则sin α=______ 4、如图（2）所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于（ ） A 、 5 5 B 、 25 5 C 、12 D 、2 5、如图（3），在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =， 32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ） A 、2 B 、 2 2 C 、 63 D 、33 6、如图（5），A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ） A 、1 2 B 、13 C 、14 D 、 24

7、如图（6），菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，3 A ，则这个菱 sin 5 形的面积= cm2。 8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3 ，点D在BC边上，且 5 ∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值。 9、如图，在正方形ABCD中，M为AD的中点，E为AB上一点，且BE=3AE，求sin∠ECM。 10、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，AB=1，BC=2， tan∠ADC=2。 （1）求证：DC=BC （2）E是梯形ABCD内一点，F是梯形ABCD外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，是判断△ECF的形状，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE 的值。 考点三：利用特殊角的三角函数值进行计算 1、计算： （1）019(π4)sin 302 --+-- （2）201()(32)2sin 3032 ---+?+- （3）1 0182sin 45(2)3-?? -+-π- ??? （4）2sin45°＋3cos30°－2 3 2、∠B 是Rt△ABC 中的一个内角，且sinB=23，则cos 2 B =（ ） A 、2 1 B 、 23 C 、22 D 、2 1 3、在△ABC 中，a =3，b =4，∠C=60°，则△ABC 的面积为________。 4、Rt△ABC 中，∠C=90°，c =12，tanB=3 3 ，则△ABC 的面积为（ ） A 、363 B 、183 C 、16 D 、18

培优锐角三角函数

锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念（1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α＋cos α＝１；（２）若α>４5°，则sin α＞co ｓα;(3)若co ｓα>,则α<60°；(4)。正确得有( ）A 、(1) (２） （3)(４) B 、(２)（3)(4） C 、（1)(3)(4） D 、(1)（２)（3) 变式: 1、下列各式中，不正确得就就是( ) A. B 、 C 、 D 、ｔan ４5°>sin ４5° 2、已知∠Ａ满足等式,那么∠A 得取值范围就就是( ） A 、0°<∠A ≤９0° B 、90°<∠Ａ<180° C 、0°≤∠A <90° Ｄ、0°≤∠A ≤9０° ３、α就就是锐角,若ｓin α＝cos150，则α= ４。若sin530１8\=0、8０18,则ｃos3604２\= 题型:锐角三角函数基本概念(２) 例:已知sin α·cos α=,且４5°＜α<90°，则ＣＯS α-si ｎα得值为（ ) A 、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、 变式： 1、已知△ABC 中,∠Ｃ=９0°,下列各式中正确得就就是( ） A.sinA ＋c ｏsB=s ｉnC B 、si ｎA ＋sinB=ｓinC C 、 D 、 2、已知si ｎα+cos α=m ，sin α×ｃos α=ｎ,则m ，n 得关系式( ) A.m=n Ｂ、ｍ＝2ｎ+1 C 、 D 、 题型:求三角函数值 例:如图，菱形得边长为5,AC 、BD 相交于点Ｏ，ＡC=6,若，则下列式子正确得就就是（ ) A.sin α= B 、cos α= C 、t ａn α= D 、cot α＝ 变式:1、设0°＜α<４5°,sin αco ｓα=,则s ｉn α＝ ２、已知si ｎα-ｃo ｓα＝,0°＜α<１8０°,则ｔan α得值就就是（ ) B 、 C 、 Ｄ、 3、如图,在正方形ABCD 中,Ｍ为ＡD 得中点,E 为ＡB 上一点,且BE=３A Ｅ,求sin ∠ＥCM 。 4、如图，在矩形中,就就是边上得点，,,垂足为,连接。 (１)求证:;(２）如果,求得值。 题型:三角函数值得计算(1) 例:计算:= 变式:1、计算：= 2、计算:0000002000027tan 63tan 60cot 360 sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型:三角函数值得计算(2） 例：化简根式:＝ 变式:1、若,化简下式: αααααα αsin )90sin()90cos(21tan tan 21sin cos 21002+----+--= 2、已知ｔａnA=3,且∠A 为锐角,则cotA －= 3、已知为锐角,,求得值。 题型:三角函数与一元二次方程得综合题（1) 例：在Rt △ABC 中,∠C=９０°，斜边＝５，两直角边得长ａ,b 就就是关于x 得一元二次方程得两个实数根,求Rt △ABC 中较小锐角得正弦值。 变式:1、若就就是得三边，,且方程有两个相等得实数根,求得值。 2、已知a,ｂ,c 为△A ＢC 中三个内角∠A,∠B,∠C 得对边。当m ＞0时,关于x 得方程有两个相等得实数根,且。试判断△ＡBC 得形状、

锐角三角函数培优题目

1锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin2α+cos2α=1； 商数关系：tgα=??cossin，ctgα=??sincos； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝135，tanB=2，AB=29cm，则S△ABC = 思路点拨过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比， sinA=135?ACCD，tanB=2?BDCD，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值． 注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径， 不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S△ABC=CabBacAbcsin21sin21sin21??； （2）RCcBbAa2sinsinsin???．

【例2】在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( ) A 32? B32? C．0.3 D23? 思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 2【例3】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D 作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值． 思路点拨作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．

初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案

初三数学锐角三角函数的专项培优练习题及答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35

【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm． （1）求∠CAO＇的度数． （2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？ （3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？ 【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 【解析】 试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得 BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果； （3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°． 试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′=， ∴∠CAO′=30°； （2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，