例谈方程思想与勾股定理的有效结合

例谈方程思想与勾股定理的有效结合

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例谈方程思想与勾股定理的有效结合-中学数学论文

例谈方程思想与勾股定理的有效结合

胡迎兰

（高邮市经济开发区树人中学，江苏扬州225600）

摘要：我们都知道，在直角三角形的计算中，如果已知两条边，要求第三边时，用勾股定理直接代入计算即可见效，但如果只知其中的一条边去求另两条边呢？笔者发现，此时那未知的两条边之间一定存在某种数量关系，我们只要抓住这个数量关系，只需设出一个未知数便可以表示出两条未知的边，这时候再用勾股定理，列方程即能解决问题。笔者通过下面的例子来说明勾股定理联手方程在很多情况下是非常给力的。

关键词：勾股定理；联手方程；直角三角形

中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-08-0032-01 一、在实际问题中

例1:如图1，两只猴子都从竖直的木杆上距地面5米的D处出发，已知它们所经过的路程相同，且BC＝15m，求木杆AB的高度。

分析：本题既然是求直角三角形的边长，毫无疑问要用勾股定理，但因为AC和AB两边未知，所以用勾股定理直接计算行不通，好在“它们所经过的路程相

同”，就可以设AD=x，再用含x的代数式表示出AC，最后利用勾股定理就可列出方程。

解：设AD＝x，则AC＝20－x，

由勾股定理，得：(20－x)2＝(x＋5)2＋152

解得：x＝2.

所以木杆高度AB为7米。

二、在折叠问题中

例3:如图3，折叠长方形的一边AD，使D点落在边BC上的点F处，折痕为AE，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求CE的长。

又∵FE＋CE＝DE＋CE＝8

∴设CE＝x，则EF＝8－x

在Rt△CEF中，(8－x)2＝x2＋42

解得：x＝3，

所以CE＝3cm

说明：本题有两个难点，一是折叠三角形之间对应边的转化，二是在Rt△CEF中用勾股定理时必须用方程思想，勾股定理联手方程在折叠问题中有广泛的应用。例4:如图4，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将边AD沿折痕AE翻折，使D点落在对角线AC上的点F处，求CE的长。

解：∵AB＝6，BC＝8 ∴AC=10，DC=6,AD=8

∵沿折痕AE翻折，

∴AF=8，

∴CF=2

在△CEF中，设CE= x，则EF=DE=6-x

(6－x)2＋22＝x2

解得：x=103

说明：本题有两个关键：一是将BC转化为AD再转化为AF，从而求得CF，二是找到“边EF与CE的和为6”这个关系。

三、在圆的计算中

例5:如图5已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，且CD ＝4，DB＝8，求⊙O的半径。

分析：本题要求半径，但在Rt△CDO中，CD、CO、DO三边里只明确知道CD 的长，若设CO=R，则BO也等于R,那DO就可以用含R的代数式表示，列方程也就不难了。

解：连接CO,设CO=R,则DO=8-R

在Rt△CDO中,

(8－R)2＋42＝R2

解得：R=5

勾股定理是数学中的一个重要定理，方程思想是数学中的一种重要思想，当它们联手后，我们能感受到双剑合璧，出手不凡的效果。所以我们在平时的教学、学习过程中，要注重培养这方面的技能、思想。

勾股定理的方程思想

【授课内容】勾股定理的方程思想 【适用年级】八年级上 【执教教师】宁波镇海蛟川书院滕丽 【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。【教学过程】

BD+CD=AD+CD=3.这个时候我们来看Rt△ACD，AC的长已知，AD、CD满足和等于3，那么我们不妨设AD=x,则CD=3- x，根据勾股定理列方程就可以求出AD的长. 师：好的，同学们理清思路了吗我们一起来完成解答过程。解：∵D在线段AB的中垂线上 ∴AD=BD ∵BC=3 ∴BD+CD=AD+CD=3 设AD=x,则CD=3- x， 由勾股定理得：x2= (3-x)2+12 解得: x=5 3 ∴AD=5 3 师：从这个例题我们可以看到在许多问题中，直角三角形某两边的数量关系并不是条件直接给出的，而是通过条件推理得到，在这种情况下，同学们要仔细分析条件，把数量关系都集中到一个直角三角形中，就可以转化成例1中的类型了。出示解答过程 讲解例3师：我们最后来看一个课本中的练习题，请同学们先读题目。 例3在《九章算术》中记载了一道有趣的数学题：“今有池方 一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，始与岸齐，问水深、 葭长各几何”这道题的意思 是说：有一个边长为1丈的正 方形水池，在池的正中央长着 一根芦苇，芦苇露出水面1 尺。若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面。问读题思考幻灯片： 出示例3 题目

师：请同学们先独立思考完成。（停顿） 师：好,我们简单理一下思路：由折叠可知，AE＝AC＝6cm，CD ＝DE,∠C= ∠AED=90°。在Rt△BDE中，BE＝AB AE 106＝4cm, 而BD+DE=BD+CD= BC=8cm,这样我们可以从这个数量关系入手设未知数列方程。下面我们一起来看解答。 解：在Rt△ABC中, AC=6cm，BC=8cm ∴ AB=10cm 由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE, ∠C= ∠AED=90° ∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90° 设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm 在Rt△BDE中,由勾股定理可得（8-x）2＝x2+42 解得x＝3 ∴ CD=DE=3cm

勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（） A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 ; 方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。” “是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！” “但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗”

占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角 形。” ' “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算 出来了吗 思路分析： 1）题意分析：本题考查勾股定理的应用 2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确 的解答

例谈方程思想与勾股定理的有效结合

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例谈方程思想与勾股定理的有效结合-中学数学论文 例谈方程思想与勾股定理的有效结合 胡迎兰 （高邮市经济开发区树人中学，江苏扬州225600） 摘要：我们都知道，在直角三角形的计算中，如果已知两条边，要求第三边时，用勾股定理直接代入计算即可见效，但如果只知其中的一条边去求另两条边呢？笔者发现，此时那未知的两条边之间一定存在某种数量关系，我们只要抓住这个数量关系，只需设出一个未知数便可以表示出两条未知的边，这时候再用勾股定理，列方程即能解决问题。笔者通过下面的例子来说明勾股定理联手方程在很多情况下是非常给力的。 关键词：勾股定理；联手方程；直角三角形 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-08-0032-01 一、在实际问题中 例1:如图1，两只猴子都从竖直的木杆上距地面5米的D处出发，已知它们所经过的路程相同，且BC＝15m，求木杆AB的高度。 分析：本题既然是求直角三角形的边长，毫无疑问要用勾股定理，但因为AC和AB两边未知，所以用勾股定理直接计算行不通，好在“它们所经过的路程相

同”，就可以设AD=x，再用含x的代数式表示出AC，最后利用勾股定理就可列出方程。 解：设AD＝x，则AC＝20－x， 由勾股定理，得：(20－x)2＝(x＋5)2＋152 解得：x＝2. 所以木杆高度AB为7米。 二、在折叠问题中 例3:如图3，折叠长方形的一边AD，使D点落在边BC上的点F处，折痕为AE，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求CE的长。

勾股定理中蕴含的数学思想

勾股定理中蕴含的数学思想 河北张家口市第十九中学 贺峰 数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质的认识，是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁，有了数学思想方法为灵魂，数学才有了魅力。在学习数学的过程中，既要掌握基础知识，又要注重挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，从而不断提高数学素养，增强探索创新能力，激发学习数学的兴趣，本文着重将勾股定理中蕴含的数学思想为同学们加以分析： 一、 特殊到一般的思想 例1如图1所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为_____________。 析解：观察图象，第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长分别为2、4、8、16，由此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长为2n 。 说明：猜想型问题是近几年各地中考试题的热点问题，根据问题提 供的信息，通过观察、类比、推理、猜想、验证得出一般性规律和 结论是解决这类问题一般方法，解题时要注意数形结合。 二、 分类思想 例2 如果三条线段的长分别为6cm 、xcm 、10cm ，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x ＝_______。 析解：本题分两种情况解答 （1）当以6cm 、xcm 为直角边，10cm 为斜边时，102＝62＋x 2，x ＝±8（舍负） （2）当6cm 、10cm 均为直角边时，62＋102＝x 2，x ＝±234（舍负） 因此，x 为4或34。 说明：在利用勾股定理解答某些数学问题时，常见的分类情况有以直角边、斜边分类，按等腰三角形的腰与底分类，依三角形的形状分类，按展开方式的不同分类等，同学们在解题须注意这一点，以避免出现丢解或遭成错解。 三、 整体思想 例3 如图2，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中斜边AB ＝2，求这个三角形的面积。 析解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 BC 2＋AC 2＝2 2 即(BC ＋AC )2－2BC 2AC ＝4 又由已知得BC ＋AC ＝ 6 所以(6)2－2 BC 2AC ＝4 解得BC 2AC ＝1 所以S ＝12BC 2AC ＝12 说明：若要直接求出BC 与AC 的值，再求三角形的面积，比较繁杂，但由S ＝12 BC 2AC B C A 图2 图1

勾股定理方程思想.doc

【适用年级】八年级上 【执教教师】宁波镇海蛟川书院滕丽 【教学目标】能根据勾股定理列方程，体会方程的思想方法。 【教学过程】 教学板块教师教学学生活动媒体插入揭示课题，师：同学们，我们已经学习了勾股定理。我们知道任意的一个幻灯片：明确任务直角三角形，它的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个勾股定理结论就称为勾股定理，即如果 a，b 为直角三角形的两条直角边 长， c 为斜边长，则a2 b2 c2。在直角三角中，如果已知两 边的长，利用勾股定理就可以求第三边的长；那么如果已知一 条边长及另两边的数量关系，能否求各边长呢这就是今天我们 所要学习内容。 讲解例 1 师：我们先来看一个简单的问题。读题思考幻灯片： 出示例 1 例 1 在△ ABC中，∠ C=Rt∠, 题目 (1) 如果 BC=16,AB:AC=5:3, 求 AB、 AC的长 . (2) 如果 AC=5, AB=BC+1, 求 AB、 BC的长 . 师：在第 (1) 小题中，已知了直角三角形ABC的一条边 BC的长 及另两边的数量关系: AB:AC=5:3 ，根据这个数量关系，可以 把 AB设成 5x, AC 为 3x, 根据勾股定理得 2 AB 2就BC AC 2 能列出含 x 的方程，从而求出 x 的值。下面我们一起来解答这 个小题。 解： (1) 设 AB=5x, 则 AC=3x(x>0) 出示解答由勾股定理得 162+(3x) 2=(5x) 2过程解得： x 2=16 ∵ x>0∴ x=4 ∴AB=20,AC=12. 师: 下面我们来看第 (2) 小题 , 同学们你们会求吗 ( 停顿 ) 出示解答师 : 是的。我们可以从 AB=BC+1这个数量关系入手，设 BC= x, 则过程 AB=x+1，根据勾股定理列方程。下面我们一起来解答这个小题。 (2) 设 BC= x, 则 AB=x+1 (x>0) 由勾股定理得 x2+ 5 2=( x+1) 2 解得： x=12 ∴ BC=12,AB=13. 师：我们总结一下步骤： 在直角三角形中（已知两边的数量关系）出示流程设其中一边为 x 利用勾股定理列方程图 解方程求各边长 这就是我们今天所学习的《勾股定理的方程思想求边长》，你

公开课-勾股定理中的方程思想

《勾股定理中的方程思想》教学设计 课题：《勾股定理中的方程思想》教学设计 科目：数学年级：八年级课时：第1课时 一、学习目标 知识与技能： 1.掌握勾股定理的内容，进一步利用勾股定理解决问题； 2.经历对几何图形的观察、分析，初步学会寻找或构造直角三角形的方法； 3.会运用方程的思想解决与勾股定理有关的问题. 过程与方法： 1.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识； 2.在观察、实验、猜想、证明等数学活动中，发展演绎推理能力，清晰地表述自己的想法； 3.学会独立思考，体会方程思想、数形结合思想、转化思想、建模思想. 情感态度价值观： 培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会数学源于生活又服务于生活，激发学习热情。 三、重点、难点、关键 重点：运用方程思想解决与勾股定理有关的问题 难点：当几何图形中多个直角三角形时，寻找或构造合适的直角三角形，利用勾股定理解决问题. 关键：在现实情境中捕捉直角三角形，然后应用勾股定理针对性解决 四、学情分析 在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理的内容，并能运用它解决一些实际问题，同时也具备了一定的合作意识与能力，并对“做数学”有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，自主学习能力还有待加强。 五、教学背景 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质.同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位.方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法.方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁.本节课为后续进一步学习运用方程思想解决问题起着铺垫作用。 六、教学准备 多媒体课件，直尺。

勾股定理中四种重要的数学思想

勾股定理中四种重要的数学思想 摘要：本文主要针对勾股定理中的主要四种数学思想:方程思想、数形结合的思想、分类思想、转换思想，进行讨论、介绍. 关键字：勾股定理方程思想数形结合思想分类思想转换思想 勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系——如果在直角三角形三边的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一.它不仅在数学中，而且在其他自然科学、实际的生产生活中也被广泛地使用. 数学思想是数学的“灵魂”，数学思想遍及数学学习的各个角落，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学的知识,有利于在数学学习中提高我们分析问题和解决问题的能力,形成用数学解决问题的意识.而在勾股定理这一章节的学习过程中我们同样可以发现其中蕴含着多种的数学思想. 本文主要介绍其中主要的四种数学思想. 1 方程思想 “方程”历来是数学研究的重要内容之一，也是研究数学重要的工具.对于众多数学问题的求解，方程常常可以充当由已知探索未知的桥梁而发挥巨大的作用.运用方程的观点去考察问题，运用方程的思想去分析问题，能有效地沟通知识间的纵横联系，发现各种数量之间的关系.有助于解题思路的寻求与优化. 勾股定理本身就是反应了直角三角形中三边的关系.所以在勾股定理的应用中最常见也是最基本的一类问题就在直角三角形中已知两边求第三边的问题，或是关于此类问题的变形题.而方程思想在勾股定理关于此类问题的求解过程中都得到了广泛的运用． 1.1 求距离长度问题 例１：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇 的长度分别是多少？ 分析：在Rt△ABC中，只有BC边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另 一边的长度.因此可以通过设立未知量，建立方程求解. 解: 设：水的深度为AB为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺. 依题意可以得到如图1所示的图形 ∵在Rt△ABC中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程 （x+1）2=x2+52 解得 x=12 ∴ x+1=13 则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图1 1.2 折纸问题 例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D落边BC上，交BC与点F.已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. 分析：Rt△AEF,是Rt△AED沿边AE边折叠的，所以就可以通 过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到 许多的直角三角形.要求EC边长，构造直角三角形，找出EC边所 在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之间的关系.在已知量与为质量之间建立方程关系. 解：由题意，得AF=AD,DE=EF. 在Rt△ABF中，AB=8cm，AF=AD=10cm， E D A B C

勾股定理回顾与思考

第一章勾股定理 回顾与思考 一、学生起点分析 通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难． 二、教学任务分析 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用． 本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣． 为此，本节课的教学目标是： ①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用． ②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．

例析方程思想在勾股定理中的应用

例析方程思想在勾股定理中的应用 数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用。方程思想在勾股定理这部分知识中有着广泛的应用，下面举例说明： 一、 直接利用勾股定理列方程： 例1：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。 解析：设旗杆的高度AC 为x 米，那么绳子的长度AB 为(1+x )米，根据题意得到△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，根据勾股定理得到：()22215+=+x x ，解得x ＝12。 答：旗杆的高度为12米。 【总结】在实际问题中，通常直接利用勾股定理建立相等关系列出方程。 二、 两次利用勾股定理列方程： 例2：在锐角?A BC 中，AB=15，AC=13，BC=14， A Ｄ⊥BC 垂足为D ，计算DA 的长度。 解析：设DB ＝x ，CD ＝x -14， 在Rt ?ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得： AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝； 2215x -

在Rt ?ACD 中，∠ADC ＝90°，根据勾股定理得: AD 2＝AC 2—CD 2,即AD 2＝()；2 21413x -- ∴2215x -＝()；2 21413x -- 解得9=x 在Rt ?ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得： AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝， ＝－＝222221291515x - ∴（负值舍去）。＝12DA 答：DA 的长度的长度为12。 【总结】如果题目中有三角形的高线时，可以在两个三角形中分别运用勾股定理表示同一个量，从而建立相等关系列方程求解。 三、利用等积性建立方程： 例3：在Rt ?ABC 中，∠C ＝90°，，，68==BC AC CD 为斜边AB 边上的高，求CD 的长度。 解析：在Rt ?ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得： 222BC AC AB +=， ∵S ?ABC CD AB BC AC ??=??2 121＝ ∴CD AB BC AC ?=? ∴CD 1068=? 10 100 36 64682 222==+=+=+=BC AC AB

小专题(二)：方程思想在勾股定理中的应用

小专题（二）：方程思想在勾股定理中的应用 【教材母题】一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺.） 方法指导 在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠. 针对训练 类型1 利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系 1.求下列直角三角形中未知的边长.

类型2 利用图形的折叠找两边的数量关系 2.如图，在Rt ABC △中，6,4,90AB BC B ?==∠=，将ABC △折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ） A.53 B.52 C.83 D.5 3.如图，在长方形纸片ABCD 中，已知8AD =，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且3EF =，则AB =____________. 4.如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点A 与C 重合.若长方形的长BC 为8，宽AB 为4，则折痕EF 的长度为_______________.

类型3 利用勾股定理和方程思想求点的坐标 5.如图，在平面直角坐标系中，(1,3) △为等腰三 A，试在x轴上找一点P，使OAP 角形，求出P点的坐标.

参考答案 【教材母题】解：折断处离地面11420 尺. 针对训练 1.解：图1，AC AB ==图2，3AC BC ==. 2.C 3.6 4. 5.解：使OAP △为等腰三角形的点P 有：1234(2,0),((5,0)P P P P .

(完整版)勾股定理(基础)知识讲解

勾股定理（基础） 撰稿：吴婷婷 责编：常春芳 【学习目标】 1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； 3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222 a b c +=． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的 目的． （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-． 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以． 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12， 所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10． 【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）已知b ＝6，c ＝10，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10， ∴ 2222210664a c b =-=-=， ∴ a ＝8． （2）设3a k =，5c k =， ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=． 类型二、与勾股定理有关的证明

勾股定理中的思想方法

勾股定理中的思想方法 勾股定理及其逆定理是中学阶段两个非常重要的结论，它是数与形结合的一个典范．在本章的学习中不仅体现了数形结合的思想，还包含了其他的数学思想方法，现列举如下，供大家参考： (1)面积法．教材中证明勾股定理的几种方法均采用了面积法，即用不同的方式表示同一个图形的面积，从而列出等式解决问题． 例1已知 △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5㎝．BC ＝3㎝，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长． 分析：由题意可知利用勾股定理可求得AC ，然后用不同的方式表示△ABC 的面积，进而求出CD 的长． 解：如图1 ，∵△ABC 是直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC 2＝52-32，∴AC =4（㎝），又S △ABC ＝12BC ×AC ＝12AB ×CD ，∴ CD ＝BC AC AB ?＝?345 ＝2.4（cm ）． (2)构造法．本章利用勾股定理的前提是在直角三角形中，若题中不具备这个条件，可考虑添加辅助线构造直角三角形． 例2 如图2，已知△ABC 中， ∠B ＝30°， ∠C ＝45°， AB ＝4， AC ＝△ABC 的面积． 分析：要求面积需知道一边和这边上的高，题中不是直角三角形，不能用勾股定理来解决，可考虑作BC 边上的高，构造直角三角形来解决． 解：过点A 作ACD ⊥BC ，垂足为D ，在Rt △ADB 中，∵AB ＝4， ∠B ＝30°∴AD ＝12AB ＝2，由勾股定理得，BD ＝ ＝ ＝． 在Rt △ADC 中，∵AC ＝， ∠C ＝45°由勾股定理得AD 2＋CD 2＝AC 2，即2AD 2＝ () 2，∴AD ＝CD ＝2， ∴BC ＝BD ＋CD ＝＋2，∴S △ABC ＝12 BC ×AD ＝12 (＋2)·2 ＝＋2． (3)转化思想．勾股定理是从形到数的转化，其逆定理是从数到形的转化．本章题目中还有把四边形转化为三角形的问题，把立体图形转化为平面图形的问题．这些都体现了转化的数学思想． 例3 如图3，已知四边形ABCD 中，∠B ＝90°， AB ＝3， BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13．求四边形ABCD 的面积． 分析：由题意联想勾股数，可连接AC 把四边形的问题转化为三角形的问题． 解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝25，∴AC ＝5．在△ACD 中，∵AC 2＋CD 2＝52＋122＝169， AD 2＝132＝169，∴AC 2＋CD 2＝AD 2， ∴∠ACD ＝90°．∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB AC ?＋?12 AC CD ＝1342??＋15122??＝6＋30＝36． (4)分类讨论思想．在计算中遇到直角边和斜边不能确定的时候，要考虑分类讨论． 例4 已知Rt △ABC 中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长． 图1D C B A 图2 D C B A 图3 D A B C

专题勾股定理与折叠问题

专题：勾股定理在折叠问题中应用 一.知识要点 （1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等. （2）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算. 二.典例解析 （一）三角形的折叠 1.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D 为BC 上一点，将AC 沿AD 折叠，使点C 落在AB 上，求CD 的长 2.如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°， D 为AB 上一点，将⊿ABC 沿DE 折叠，使点B 与点A 重合， ①若AC=4，BC=8，求CE 的长 ②若AC=24，BC=32，求折痕DE 的长 A C B D C ′ C B E C B E

A B D F E C G A ′ ? D A B C 1.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上， 得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 2.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ， 求EC 的长. 变式：如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上， 边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的 坐标为 3.如图，矩形纸片ABCD ，AB=4cm ，BC=8cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ①求DF 的长； ②求重叠部分△AEF 的面积； ③求折痕EF 的长. Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｄ′

1.将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为 MN ①求线段CN 的长； ②求AM ； ③求折痕MN 的长 变式：如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上 的B '处，点A 对应点为A '，且3B C '=，则AM 的长是___________. A ′ D A B C N M

《勾股定理》专题复习

第一章《勾股定理》专项练习 专题一：勾股定理 考点分析： 勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题 典例剖析 例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件 平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算 两圆孔中心A和B的距离为______mm． （2）如图2，直线l上有三个正方形a b c ，，，若a 的面积分别为5和11，则b的面积为（） A．4 B．6 C．16 D．55 分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可． 解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB2=902+1202=22500，所以AB=150（mm） （2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C． 点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决． 例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求 122424454 A E A A E C A E C ++ ∠∠∠的度数． 解：连 32 A E． 32122222 A A A A A E A E == ，， 322122 90 A A E A A E ∠=∠=， 322122 Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS）． 322122 A E A A E A ∴∠=∠． 由勾股定理，得： 4532 C E C E ===， 4532 A E A E ===，4433 2 A C A C ==， 445332 A C E A C E ∴△≌△（SSS）． 图2 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 5 E 2 E 1 E 1 D 1 C 1 B 4 C 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 5 E 2 E 1 E 1 D 1 C 1 B 4 C 3 C 2 C 图3

勾股定理知识点、经典例题

知识点及例题 知识点一：勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。 （2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式： c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab 知识点二：用面积证明勾股定理 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 图（1）中，所以。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 图（2）中，所以。 方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。 在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）, 所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：. 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。 知识点三：勾股定理的作用 1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系； 3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。 2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数 满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的： ①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41． 如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有

方程思想在折叠中与勾股定理的运用

方程思想在折叠中与勾股定理的运用 例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A 与B 重合，折痕为DE ，若已知AC=10cm ，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？ 分析:点A 与点B 重合, 折痕为DE ，说明直线DE 是 线段AB 的__________,若想求出CE 的长,应连接_____ 构成直角三角形______,图中还有哪几个直角三角形,分别是____________ 图中的相等线段有________________________(结合例1的解题思想完成题) 【环节三】能力提升 例3如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，求EB 的长． 图中还有哪些线段你能求出来 【环节四】直角三角形中的分类讨论思想 若△ABC 中，AB=34，AC=13，高AD=5，求BC 的长是多少? 分析:三角形中的三条重要线段是_____________,______________,____________ 其中_______________比较特殊,可有____种情况,因此,此题可有下列两种情况 图(1)中的高在三角形的_______部,图(2)中的高在三角形的_______部 本题还可以变式为求其周长或面积,你来试一试 A F E D C B A 图2 图 1

【及时巩固】 若△ABC 中，AB=15，AD=9，求△ABC 的周长是多少? 【环节五】课堂小结 本节课你又学习了哪些知识和数学思想 4在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高(根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解)． 5.若△ABC 中，AB=20，AC=15，高AD=12求BC 的长是多少， 6.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗 7、折叠矩形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的点F 重合，如果AB ＝6，AD ＝10，求BF 、DE 之长． F E D C B A