求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

求轨迹方程的常用方法：

题型一 直接法

此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。

例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。

解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈ ∴12

0322230-=--?--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2

3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。

变式1

已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。

（1） 求动点M 的轨迹C 的方程；

（2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜

率。

题型二 定义法

圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。

例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2

2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。

∴2=a ，4=c 故动圆圆心M 的轨迹方程为112

42

2=-y x 变式2

在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，

求ABC △的重心的轨迹方程．

解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263

BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，

其中1213c a ==，

．5b =∴．

∴所求ABC △的重心的轨迹方程为22

1(0)16925

x y y +=≠ 题型三 相关点法

此法的特点是动点),(y x M 的坐标取决于已知曲线C 上的点)','(y x 的坐标，可先用y x ,来表示','y x ，再代入曲线C 的方程0),(=y x f ，即得点M 的轨迹方程。

例3 如图，从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程

分析：从题意看动点P 的相关点是Q ，Q 在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。 解：设动点P 的坐标为),(y x ，点Q 的坐标为),(11y x ，则点N 的坐标为)2,2(11y y x x -- N 在直线2=+y x 上，

∴22211=-+-y y x x …①

又 P Q 垂直于直线2=+y x ， ∴11

1=--x x y y ，即011=-+-x y y x …② 由①②解得???

????-+=-+=123211212311y x y y x x …③ 又点Q 在双曲线122=-y x 上，∴12

121=-y x …④ ③代入④，得动点P 的轨迹方程为0122222

2=-+--y x y x

变式3已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．