海淀区2015-2016高三期中数学理科含答案详解

海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学（理科） 2015.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1. 已知集合{}

2|20P x x x =--≤，{}1,0,3,4M =-，则集合P

M 中元素的个数为

A.1

B.2

C. 3

D.4 2. 下列函数中为偶函数的是 A.1y x

=

B. lg y x = Ｃ. ()2

1y x =- D.2x y = 3. 在ABC ?中,60A ∠=?, 2,1AB AC ==, 则AB AC ?的值为 A. 1 B. 1- C.

12 D.12

- 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S S n --=-(2)n ≥，且23S =，则13a a +的值为 A. 1 B. 3 C. 5 D.6 5. 已知函数44()cos sin f x x x =-，下列结论中错误．．

的是 A. ()cos2f x x = B. 函数()f x 的图象关于直线0x =对称

C. ()f x 的最小正周期为π

D. ()f x 的值域为[ 6. “0x >”是“+sin 0x x >”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A . 若函数x

y a =（0a >，且1a ≠

log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，

且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足 A. 1a b << B. 1b a << C. 1b a >> D. 1a b >>

8. 已知函数1, 1(), 111, 1x f x x x x -≤-??=-<

，函数2

()1g x ax x =-+. 若函数()()y f x g x =-恰好有

2个不同零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)

(2+)-∞∞， C.1

(,)(1,+)2

-∞-∞ D. (,0)(0,1)-∞

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.

2

1

2d ______.x x =?

10. 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若4c =，sin 2sin C A =，sin B =

，则____,a =_____.ABC S ?=

11. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且39108a a a a +=-. 若0n a =，则n = . 12. 已知向量(1,1)=a ，点(3,0)A , 点B 为直线2y x =上的一个动点，若//AB a ，则点B 的坐标为______.

13. 已知函数()sin()f x x ω?=+(0ω>). 若()f x 的图象向左平移π

3

个单位所得的图象 与()f x 的图象向右平移

π

6

个单位所得的图象重合，则ω的最小值为______. 14. 对于数列{}n a ，若,*()m n m n ?∈≠N ，都有m n

a a t m n

-≥-（t 为常数）成立，则称数列{}

n a 具有性质()P t .

（i ） 若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为______； （ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n a

a n n

=-，且具有性质(10)P ，则实数a 的取值范围 是______.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分）

已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，若11a =, 3244a a a =. （Ⅰ）求公比q 和5a 的值； （Ⅱ）求证：2n

n

S a <.

16.（本小题满分13分）

已知函数ππ())cos(2)33

f x x x +++. （Ⅰ）求π()6

f 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.

17. （本小题满分13分）

如图，在四边形ABCD 中，18,3,5,,cos 37

AB BC CD A ADB π===∠=∠=. （Ⅰ）求BD 的长；

（Ⅱ）求证：πABC ADC ∠+∠=.

18. （本小题满分13分）

已知函数3

21()13

f x x x ax =

+++，曲线()y f x =在点(0,1)处的切线为l . （Ⅰ）若直线l 的斜率为3-，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()f x 是区间[2,]a -上的单调函数，求a 的取值范围.

19.（本小题满分14分）

A

B

D

C

已知由整数组成的数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且1,a a = 12n n n S a a +=. （Ⅰ）求2a 的值； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）若15n =时，n S 取得最小值，求a 的值.

20.（本小题满分14分）

已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]1[ 1.2]2[1]1=-=-=，，. 对于函数()f x , 若存在m ∈R 且,m ?Z 使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是Ω函数. （Ⅰ）判断函数21

()()sin π3

f x x x

g x x =-=，是否是Ω函数；（只需写出结论）

（Ⅱ）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期为T ，若()f x 不是Ω函数，求

T 的最小值；

（Ⅲ）若函数()a

f x x x

=+是Ω函数，求a 的取值范围. 理科 ：

15．解：（Ⅰ）法一：因为{}n a 为等比数列， 且3244a a a =，

所以2334a a =，所以34a =，

---------------------------1分 因为233

141

a a q a ===，

---------------------------2分 所以2q =±. 因

为

n a >，所以0q >，即2q =

---------------------------3分

所以45116a a q ==. （此处公式2分，结果1分）

--------------------------6分

法二：因为{}n a 为等比数列，且3244a a a =，所以24114a q a q =，

---------------------------1分

所以24q =，

---------------------------2分 所以2q =±, 因

为

n a >，所以0q >，即2q =

---------------------------3分

所以45116a a q ==. （此处公式2分，结果1分） --------------------------6分

（Ⅱ）法一：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, （此处公式1分，结果1分） --------------８分

因为1(1)211n n n a q S q

-==--, （此处公式1分，

结果1分） --------------------------10分

所以11211222

n n n n n S a ---==-,

因

为

1

1

02n ->，所以

11

222

n n n S a -=-<.

--------------------------13分

法二：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, （此处公式1分，结果1分） --------------８分

因为1(1)

211n n n a q S q

-==--, （此处公式1分，

结果1分） --------------------------10分

所

以

11

202

n n n S a --=-<，所以

2n

n

S a <.

--------------------------13分

法三：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, （此处公式1分，结果1分） --------------８分

因为1(1)

211n n n a q S q

-==--, （此处公式1分，

结果1分） --------------------------10分 要证

2n

n

S a <，只需2n n S a <， 只需212n n -< 上式

显

然

成

立

，

得

证

.

--------------------------13分

16.解：

（Ⅰ）因为ππ())cos(2)33

f x x x =+++,

所以πππππ())cos(2)66363

f =?

++?+, 2π2π313sin(

)cos()13322

=+=-=.

--------------------------4分

（Ⅱ）因为π

π())cos(2)33

f x x x =+++,

所

以

π1π())cos(2)]323f x x x =+++

-------------------------------6分

π

πππ

2[cos sin(2)sin cos(2)]

636

3x x =+++

-------------------------7分

ππ2sin[(2)]36

x =++

π2sin(2)2

x =+ 2cos2x = ,

--------------------------9分 所

以

周

期

2π2π=π||2

T ?=

= .

--------------------------11分 令

2ππ22πk x k -≤≤，

--------------------------12分 解得π

ππ2k x k -≤≤，k ∈Z ， 所

以

()

f x 的

单

调

递

增

区

间

为

π

(π,π),

2

k k -k ∈Z .

--------------------------13分

法二：因为π

π())cos(2)3

3f x x x =+++,

所

以

ππππ

()cos cos2sin )(cos2cos sin2sin )

3333

f x x x x x =++-

-------------------7分

11sin2)(cos2)22x x x x =++

2cos2x = --------------------------9分

所

以

周

期

.

2π2π

=π||2

T ?=

= --------------------------11分 令

2ππ22πk x k -≤≤，

--------------------------12分 解得π

ππ2k x k -≤≤，k ∈Z , 所

以

()

f x 的

单

调

递

增

区

间

为

π

(π,π),

2

k k -k ∈Z .

--------------------------13分

17．解：（Ⅰ）法一：

在ABD ?中，因为1

cos 7

ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈,

--------------------------1分

所

以

sin ADB ∠=

,

--------------------------3分 根

据

正

弦

定

理

，

有

sin sin BD AB

A ADB

=

∠∠,

--------------------------6分 代

入

8,,3

AB A π=∠=

解得7BD =.

--------------------------7分 法二：作BE AD ⊥于E .

因

为

π8,3

AB A =∠=

，所以在ABD ?中，π

sin

3

BE AB =?=.

--------------------------3分 在BDE ?中，因为1

cos 7

ADB ∠=

，(0,π)ADB ∠∈，

所

以sin ADB ∠=

,

--------------------------6分 所

以

7

sin BE

BD BDE

=

=∠.

--------------------------7分

（Ⅱ）法一：在BCD ?中，根据余弦定理 222

cos 2BC CD BD C BC CD

+-∠=?

--------------------------10分

代入3,5BC CD ==，得1cos 2

C ∠=-，

--------------------------11分

(0,π)C ∠∈,所以2π3

C ∠=

.

--------------------------12分

所以 πA C ∠+∠=，而在四边形ABCD 中 +2πA ABC C ADC ∠+∠+∠∠= 所

以

πABC ADC ∠+∠=.

--------------------------13分

法二：在ABD ?中，11

cos ,14

ABD ∠=

所以sin ABD ∠=，

1

cos 7

ADB ∠=， 所以sin ADB ∠=

.

--------------------------8分

在BCD ?中，11

cos ,14

DBC ∠=

所以sin ABD ∠=,

13

cos 14

BDC ∠=， 所以sin 14

ADB ∠=

.

--------------------------9分

所以cos cos()ABC ABD DBC ∠=∠+∠，

23cos cos sin sin 98

ABD DBC ABD DBC =∠∠-∠∠=

--------------------------11分

cos cos()ADC ADB BDC ∠=∠+∠，

23cos cos sin sin 98

ADB BDC ADB BDC =∠∠-∠∠=-

--------------------------12分 即

cos cos ABC ADC ∠=-∠, 所以πABC ADC ∠+∠=.

--------------------------13分 18．解

（Ⅰ）因为(0)1f =，所以曲线()y f x =经过点(0,1), 又

2'()2f x x x a

=++,

--------------------------2分 所

以

'(0)3

f a ==-,

--------------------------3分 所以2

'()23f x x x =+-.

当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:

--------------------------5分

所以函数 ()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-，(1,+)∞, 单调

递

减

区

间

为

(3,1)

-.

--------------------------7分 （Ⅱ） 法一:

因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,

当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立，

即2

'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立，

根据二次函数的性质，只需要'(2)0

'()0

f f a -≤??≤?， 解得30a -≤≤.

--------------------------8分 又

2a

-<，所以

20

a -<≤.

--------------------------9分

当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立， 只要2

'()2f x x x a =++在[2,]a -上的最小值大于等于0即可， 因为函数2

'()20f x x x a =++≥的对称轴为1x =-， 当

21a -<≤-时，'()

f x 在[2,]a -上的最小值为

'()

f a ，

--------------------------10分 解

2'()=30f a a a +≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立.

--------------------------11分

当1a -<时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'(1)f -，（注：此处用0?≤也可得分）----------12分

解'(1)120f a -=-+≥得1a ≥，所以1a ≥， 综

上

，

实

数

a

的取值范围是

20

a -<≤或

1

a ≥.

--------------------------13分 法二：

令'()0f x =即2

20x x a ++=，44a ?=-

①若0?≤ 即1a ≥时，'()0f x ≥恒成立，函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增-----------------8分

所

以

1

a ≥.

--------------------------9分

②若0?> 即21a -<<，由2

20x x a ++=得11x =-，21x =-

若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立， 即2

'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立，

根据二次函数的性质，只需要122

x x a

≤-??≥?， 解得30a -≤≤.

--------------------------10分

又

21

a -<<，所以

20

a -<≤.

--------------------------11分

若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立 根

据

二

次

函

数

的

性

质

，

只

需

要

22

x ≤-或

1x a ≥

-------------------------12分

1≤-

(1)a -+（解得3a ≤-与21a -<<矛盾），此种情况不成立 综

上

，

实

数

a

的取值范围是

20

a -<≤或

1

a ≥.

--------------------------13分

法三：

因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,

当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立， 即2

'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-恒成立，只需2

(2)a x x ≤-+

根据二次函数的性质只需2

2

[(2)2(2)]

(2)

a a a a ?≤--+?-??≤-+??，解得30a -≤≤ --------------------------8分 又

2a

-<，所以

20

a -<≤.

--------------------------9分

当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立， 即2

'()20f x x x a =++≥对[2,]x a ∈-恒成立，只需2

(2)a x x ≥-+ 设函数2

()2g x x x =--的对称轴为1x =-， 当

21a -<≤-时，()

g x 在[2,]a -上的最大值为

()

g a ，

--------------------------10分 解

()a g a ≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立.

--------------------------11分 当

1a

-<时，

()

g x 在[2,]a -上的最大值为

(1)

g -，

-------------------------12分

解(1)a g ≥-得1a ≥，所以1a ≥， 综

上

，

实

数

a

的取值范围是

20

a -<≤或

1

a ≥.

--------------------------13分 19．解：

（Ⅰ）因为12n n n S a a +=，所以1122S a a =，即1122a a a =, 因

为

10

a a =≠，所以

22

a =,

--------------------------2分

（Ⅱ）因为12n n n S a a +=，所以112(2)n n n S a a n --=≥，两式相减， 得

到

112()

n n n n a a a a +-=-，

--------------------------4分 因

为

n a ≠，所以

112

n n a a +--=，

--------------------------5分

所以212{},{}k k a a -都是公差为2的等差数列， 当

21n k =-时，

12(1)1

n a a k n a =+-=+-,

--------------------------6分 当

2n k =时，

22(1)2n a k k n

=+-==,

--------------------------7分 所

以

1, , n n a n a n n +-?=?

?为奇数,

为偶数.

--------------------------8分

（Ⅲ）

法一：因为12n n n S a a +=，由（Ⅱ）知道1, , n n a n a n n +-?=??为奇数,

为偶数,

注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的，

当n 为偶数时，0n a >，所以此时1n n S S ->， 所

以

15

S 为最小值等价于

13151517

,S S S S ≥≤，

--------------------------11分 所

以

141516170, 0

a a a a +≤+≥，

--------------------------12分

所以141510, 161710a a ++-≤++-≥， 解

得3228a -≤≤-.

--------------------------13分

因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠， 所

以

a

不能取偶数，所以31, 29a a =-=-.

--------------------------14分 法二：

因为12n n n S a a +=，由（Ⅱ）知道1, , n n a n a n n +-?=??

为奇数,为偶数,

所以

1

(1)(1), 2

1() , 2

n n a n n S n n a n ?+-+??=?

?+??为奇数,为偶数, --------------------------10分

因为15S 为最小值，此时n 为奇数，

当n 为奇数时，2

22()1

1124(1)(1)222

n a a n a n an a S n a n +-+-++-=+-+==，

所以 14162

a

≤-≤， 解

得

3228a -≤≤-，

--------------------------13分

因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠， 所

以

a

不能取偶数，所以31, 29a a =-=-.

--------------------------14分 20. 解： （

Ⅰ

）

21

()3

f x x x

=-是Ω函数，

--------------------------2分

()sin πg x x

=不

是

Ω函数.

--------------------------4分 （

Ⅱ

）

T 的最小值为 1.

--------------------------5分

因为()f x 是以 T 为最小正周期的周期函数，所以()(0)f T f =. 假

设

1T <，则[]0T =，所以([])(0)f T f =，矛盾.

--------------------------7分

所以必有1T ≥， 而函数()[]l x x x =-的周期为1，且不是Ω函数 所

以

T 的最小值为1；

--------------------------9分

（Ⅲ） 当函数()a

f x x x

=+

是Ω函数时， 法一：设()([])f m f m =，所以[][]

a a m m m m +

=+，所以有[]a m m = --------------------------11分

当0m >时，则[]0m ≠，所以有1m >，所以[]1m >

因为[][]1m m m <<+，所以2

[][][]([]1)m m m m m <<+，

所以

2[][]([]1)

m a m m <<+.

--------------------------12分 当0m <时，[]0m <，

因为[][]1m m m <<+，所以2

[][][]([]1)m m m m m >>+，

所以

2[][]([]1)

m a m m >>+.

--------------------------13分 记[]k m =, 综上可以得到 “

0a >且

*2

,k a k ?∈≠N 且(1)a k k ≠+”.

--------------------------14分

法二：

若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾. 若0a <，则2

'()10a

f x x =-

>， 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到

[]0m m ≥，所以此时()a f x x x

=+

不是Ω函数.

--------------------------10分

当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]

a a m m m m +=+，所以有[]a m m = --------------------------11分

当0m >时，则[]0m ≠，所以有1m >，所以[]1m >

因为[][]1m m m <<+，所以2

[][][]([]1)m m m m m <<+，

所以

2[][]([]1)

m a m m <<+.

--------------------------12分 当0m <时，[]0m <，

因为[][]1m m m <<+，所以2

[][][]([]1)m m m m m >>+，

--------------------------13分 记[]k m =, 综上可以得到 “

0a >且

*2

,k a k ?∈≠N 且(1)a k k ≠+”.

--------------------------14分 法三：

若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾. 若0a <，则2

'()10a

f x x =-

>， 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到

[]0m m ≥，所以此时()a f x x x

=+

不是Ω函数.

--------------------------10分

当0a >时，函数()a f x x =+

,2'()10a

f x =-=，x =

--------------------------11分

①当[]0m >时，可得[][]1([])([]1)

m m f m f m ?<<+?

?<+??,

解

得

2[][]([]1)m a m m <<+

--------------------------12分

②当[]0m <时，可得[][]1([])([]1)

m m f m f m ?<<+?

?

>+??,

--------------------------13分 记[]k m =, 综上可以得到 “

0a >且

*2

,k a k ?∈≠N 且(1)a k k ≠+”.

--------------------------14分