九年级下册期中数学试题及答案(人教版)
九年级（下）期中数学试卷
一、选择题
1．将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5x2，﹣4x
2．抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（）
A．（m，n）B．（﹣m，n）C．（m，﹣n）D．（﹣m，﹣n）
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则形成的圆环的面积为（）
A．无法求出B．8 C．8πD．16π
5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
6．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为（）
A．135°B．120°C．110°D．100°
7．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=（）cm．
A．16 B．8 C．8 D．4
9．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换
C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④2a+b=0；
⑤a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r= ．
12．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行的时间x（单位：s）的函数解析式是y=﹣1.2x2+48x，则飞机着陆后滑行m后才能停下来．
13．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于．
14．“六?一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法正确的有．
①如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次；
②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；
③当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70
④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“铅笔”区域的频率0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
三、解答题（共90分）
15．解方程
（1）3x（x﹣2）=2（2﹣x）
（2）﹣0.5x2﹣2x=1（配方法）
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如表，求该二次函数解析式的一般形式．
x …﹣﹣1 ﹣0 1 …
y …﹣﹣2 ﹣﹣2 ﹣0 …
17．如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
18．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
19．在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，如图所示，O、A、B三点均为格点．
（1）直接写出线段OB的长；
（2）画出将△OAB向右平移2个单位后向上平移3个单位的△O
1A
1
B
1
；
（3）将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点AB所扫过的面积．
20．小明对自己所在班级的50名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：
（1）求m的值；
（2）从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．
21．如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．
22．已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= ，CB= ．
23．有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12cm．按图﹣1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形纸板的斜边AB上，且点D
与点A重合．若直尺沿射线AB方向平行移动，如图﹣2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为S （cm2）．
（1）当x=0时，S= ；当x=10时，S= ；
（2）当0＜x≤4时，如图﹣2，求S与x的函数关系式；
（3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式；
（4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值．
九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．将一元二次方程5x2﹣1=4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5x2，﹣4x
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】计算题．
【分析】方程化为一般形式后，找出二次项系数与一次项系数即可．
【解答】解：方程整理得：5x2﹣4x﹣1=0，
则二次项系数和一次项系数分别为5，﹣4．
故选C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．抛物线y=2（x+m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（）
A．（m，n）B．（﹣m，n）C．（m，﹣n）D．（﹣m，﹣n）
【考点】二次函数的性质．
【专题】配方法．
【分析】本题比较容易，考查根据二次函数解析式确定抛物线的顶点坐标．
【解答】解：因为抛物线y=2（x+m）2+n是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是（﹣m，n）．故选B．
【点评】抛物线的顶点式定义的应用．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：图1、图5都是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．
图3不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；也不是中心对称图形，因为绕中心旋转180度后与原图不重合．
图2、图4既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选B．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．两个同心圆中大圆的弦AB与小圆相切于点C，AB=8，则形成的圆环的面积为（）
A．无法求出B．8 C．8πD．16π
【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】计算题．
【分析】画出图形，如图所示，由小圆与AB相切，利用切线的性质得到OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB中点，求出AC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OA2﹣OC2的值，由大圆面积减去小圆面积求出圆环面积即可．
【解答】解：如图所示，
∵弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴C为AB的中点，
∴AC=BC=AB=4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OA2﹣OC2=AC2=16，
则形成圆环的面积为πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=16π，
故选D．
【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及垂径定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（）
A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644
C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）=7644，
故选C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
6．如图，点A、C、B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为（）
A．135°B．120°C．110°D．100°
【考点】圆周角定理．
【分析】先运用“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，再运用周角360°即可解．
【解答】解：∵∠ACB=a
∴优弧所对的圆心角为2a
∴2a+a=360°
∴a=120°．
故选B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】OM最长边应是半径长，根据垂线段最短，可得弦心距最短，分别求出后即可判断．
【解答】解：①M与A或B重合时OM最长，等于半径5；
②∵半径为5，弦AB=8
∴∠OMA=90°，OA=5，AM=4
∴OM最短为=3，
∴3≤OM≤5，
因此OM不可能为2．
故选A．
【点评】解决本题的关键是：知道OM最长应是半径长，最短应是点O到AB的距离长．然后根据范围来确定不可能的值．
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=（）cm．
A．16 B．8 C．8 D．4
【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．
【分析】连接OC，求出∠OAC=∠OCA=∠B，根据圆周角定理求出∠AOC=2∠B，根据三角形内角和定理求出∠AOC=90°，∠OAC=∠OCA=45°，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠B=∠OAC，
∴∠B=∠OAC=∠OCA，
∵根据圆周角定理得：∠AOC=2∠B，
∴在△OAC中，由三角形内角和定理得：4∠OAC=180°，
解得：∠OAC=45°，
则∠ACO=45°，∠AOC=90°，
由勾股定理得：AC===8（cm），
故选C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质，圆周角定理，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形并求出∠AOC=90°．
9．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）
A．向右平移7格
B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换
C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称
D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格
【考点】生活中的轴对称现象；生活中的平移现象．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】认真观察图形，找准特点，根据轴对称的性质及平移变化得出．
【解答】解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格．故选D．
【点评】主要考查了轴对称的性质及平移变化．
轴对称图形具有以下的性质：
（1）轴对称图形的两部分是全等的；
（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④2a+b=0；
⑤a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：如图，①抛物线开口方向向下，则a＜0．故①正确；
②∵对称轴x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即b＞0．故②错误；
③∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．故③正确；
④∵对称轴x=﹣=1，∴b+2a=0．故④正确；
⑤根据图示知，当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0．故⑤正确．
综上所述，正确的说法是①③④⑤，共有4个．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题
11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r= 2 ．
【考点】三角形的内切圆与内心．
【专题】压轴题．
【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC﹣AB），由此可求出r的长．
【解答】解：如图，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8；
根据勾股定理AB==10；
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=（AC+BC﹣AB）；
即：r=（6+8﹣10）=2．
【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．
12．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行的时间x（单位：s）的函数解析式是y=﹣1.2x2+48x，则飞机着陆后滑行480 m后才能停下来．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据二次函数的性质，结合最值公式，直接求出即可解决问题．
【解答】解：∵﹣1.2＜0，
∴当x=﹣=20时，y取得最大值，
此时， =480（m）．
故答案为480．
【点评】该题主要考查了二次函数的性质及其应用问题；牢固掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于．
【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理．
【专题】几何综合题．
【分析】作B′F⊥AD，垂足为F ，WE⊥B′F，垂足为E ，根据绕顶点A 逆时针旋转30°，计算出边，然后求面积．
【解答】解：如图，作B′F⊥AD，垂足为F ，WE⊥B′F，垂足为E ， ∵四边形WEFD 是矩形，∠BAB′=30°，
∴∠B′AF=60°，∠FB′A=30°，∠WB′E=60°，
∴B′F=AB′sin60°=，AF=AB′cos60°=，WE=DF=AD ﹣AF=， EB′=WE′cot60°=，EF=B′F﹣B′E=， ∴S △B′FA =，S △B′EW =，S WEFD =，
∴公共部分的面积=S △B′FA +S △B′EW +S WEFD =； 法2：连接AW ，如图所示：
根据旋转的性质得：AD=AB′，∠DAB′=60°， 在Rt△ADW 和Rt△AB′W 中， ∵，
∴Rt△ADW≌Rt△AB′W（HL ）， ∴∠B′AW=∠DAW=DAB′=30°， 又∵AD=AB′=1，
在Rt△ADW 中，tan∠DAW=，即tan30°=WD， 解得：WD=，
∴S △ADW =S △AB′W =WD?AD=，
则公共部分的面积=S △ADW +S △AB′W =． 故答案为．
【点评】本题利用了正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理求解．
14．“六?一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法正确的有 ①②③ ．
①如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次； ②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；
③当n 很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70 ④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一定有3次获得文具盒．
【解答】解：①指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有2000×0.3=600次，故①正确；
②转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故②正确；
③频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故③选项正确； ④随机事件，结果不确定． 故答案为：①②③．
【点评】本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．
三、解答题（共90分） 15．解方程
（1）3x （x ﹣2）=2（2﹣x ） （2）﹣0.5x 2﹣2x=1（配方法）
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【分析】（1）提取公因式（x﹣2）可得（x﹣2）（3x+2）=0，再解两个一元一次方程即可；（2）首先把二次项系数化为1，然后进行配方，再开方求出方程的解．
【解答】解：（1）∵3x（x﹣2）=2（2﹣x），
∴（x﹣2）（3x+2）=0，
∴3x+2=0或x﹣2=0，
∴x
1=﹣，x
2
=2；
（2）∵﹣0.5x2﹣2x=1，∴x2+4x=﹣2，
∴x2+4x+4=﹣2+4，
∴（x+2）2=2，
∴x+2=±，
∴x
1=﹣2+，x
2
=﹣2﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如表，求该二次函数解析式的一般形式．
x …﹣﹣1 ﹣0 1 …
y …﹣﹣2 ﹣﹣2 ﹣0 …
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】利用表中数据，取三组对应值代入y=ax2+bx+c中得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可．
【解答】解：把（﹣1，﹣2），（0，﹣2），（1，0）代入y=ax2+bx+c代入得，
解得．
所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
17．如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．
【专题】证明题．
【分析】连接OD，只要证明CD⊥OD即可．
【解答】证明：连接OD；
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵AD∥OC，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．
∴∠BOC=∠COD．
∵OB=OD，OC=OC，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC，又BC是⊙O的切线．
∴∠OBC=90°．
∴∠ODC=90°．
∴DC是⊙O的切线．
【点评】本题考查切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用．
18．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由． 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】增长率问题；压轴题．
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可； （2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 【解答】解 （1）设平均每次下调的百分率为x ． 由题意，得5（1﹣x ）2=3.2．
解这个方程，得x 1=0.2，x 2=1.8（不符合题意）， 符合题目要求的是x 1=0.2=20%． 答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）， 方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5=15000（元）． ∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．
19．在边长为1的方格纸中建立直角坐标系，如图所示，O 、A 、B 三点均为格点． （1）直接写出线段OB 的长；
（2）画出将△OAB 向右平移2个单位后向上平移3个单位的△O 1A 1B 1；
（3）将△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点AB 所扫过的面积．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换． 【专题】计算题；作图题．
【分析】（1）利用点B 的横坐标可得OB 的长；
（2）利用网格特点和平移的性质画出点O 、A 、B 的对应点O 1、A 1、B 1，从而得到△O 1A 1B 1；
（3）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 的对应点A′、B′，则可得到△OA′B′，然后利用两扇形的面积的差计算AB 所扫过的面积． 【解答】解：（1）OB=3； （2）如图，△O 1A 1B 1为所作； （3）如图，△OA′B′为所作， OA==2，
线段AB 所扫过的面积=S 扇形AOA′﹣S 扇形BOB′=﹣=π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应点与旋转中心的连线段的夹角都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
20．小明对自己所在班级的50名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题： （1）求m 的值；
（2）从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．
【考点】频数（率）分布直方图；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据班级总人数有50名学生以及利用条形图得出m的值即可；
（2）根据在6～10小时的5名学生中随机选取2人，利用树形图求出概率即可．
【解答】解：（1）m=50﹣6﹣25﹣3﹣2=14；
（2）记6～8小时的3名学生为，8～10小时的两名学生为，
P（至少1人时间在8～10小时）=．
【点评】此题主要考查了频数分布表以及树状图法求概率，正确画出树状图是解题关键．
21．如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．
【考点】切线的判定；圆周角定理．
【分析】（1）根据圆周角定理推论得到∠ACB=90°，即∠ABC+∠CAB=90°，而∠MAC=∠ABC，则
∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，根据切线的判定即可得到结论；
（2）连AD，根据圆周角定理推论得到∠ABC=90°，由DE⊥AB得到∠DEB=90°，则∠1+∠5=90°，
∠3+∠4=90°，又
D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，得到∠3=∠5，于是∠1=∠4，利用对顶角相等易得∠1=∠2，则有FD=FG．【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
而∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线；
（2）解：如图
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．
22．已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．
∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．
又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．
又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= 2 ，CB= ﹣1 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=CB，根据BE=AB﹣AE即可证得；
（2）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．
【解答】解：（1）如图（2）：AB﹣BD=CB．
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AB﹣AE，
∴BE=AB﹣BD，
∴AB﹣BD=CB．
如图（3）：BD﹣AB=CB．
证明：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB，∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°﹣∠AFB，∠D=90°﹣∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=CB．
又∵BE=AE﹣AB，
∴BE=BD﹣AB，
∴BD﹣AB=CB．
（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，
∴综合了第一个图和第二个图两种情况，
若是第1个图：易证△ACE≌△DCB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．
BD=BH，
∴BH=DH=1．
直角△CDH中，∠DCH=30°，
∴CD=2DH=2，CH=．
∴CB=+1
若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．
解法类似上面，CD=2，但是CB=﹣1．
故答案为：2，﹣1．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
23．有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12cm．按图﹣1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形纸板的斜边AB上，且点D
与点A重合．若直尺沿射线AB方向平行移动，如图﹣2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为S （cm2）．
（1）当x=0时，S= 2 ；当x=10时，S= 2 ；
（2）当0＜x≤4时，如图﹣2，求S与x的函数关系式；
（3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式；
（4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值．
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】本题考查二次函数的应用，根据移动的距离和三角形的性质进行计算，关键是要进行分段计算，把每段算好后再进行总结．
【解答】解：（1）由题意可知：
当x=0时，△ABC是等腰直角三角形，
此时AE=EF=2，
则阴影部分的面积为S=×2×2=2；
故答案为：2；
当x=10时，直尺运动到最右边，
阴影部分的面积为：S=×2×2=2；
故答案为：2；
（2）当0＜x≤4时，阴影部分的面积为：S=×（x+2）×（x+2）﹣x2=2x+2；
（3）当6＜x＜10时，由分析可知：阴影部分的面积为：
S=×（12﹣x）（12﹣x）﹣×（12﹣x﹣2）×（12﹣x﹣2）
=×（12﹣x）（12﹣x）﹣×（10﹣x）×（10﹣x）
=﹣2x+22；
（4）当4≤x≤6时，可得S=﹣x2+10x﹣14；
所以S=
则：当x=5时，S有最大值=11．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．同时还有三角形的面积及不规则图形的面积计算．