三角函数、数列、导数试题及详解
三角函数、数列导数测试题及详解
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是 符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50
B ．70
C ．80
D ．90
3．2
(sin cos )1y x x =+-是
A ．最小正周期为2π的偶函数
B ．最小正周期为2π的奇函数
C ．最小正周期为π的偶函数
D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，
每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量
*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是
A ．若*
,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*
,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若*
,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若*
,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列
6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ．
133
8
+ B ．
133
8
C ．
133
8
± D ．
12
4
-
7．如图是函数sin()y x ω?=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低
点，O 为坐标原点，则OA OB ?的值为 A ．12π B ．
2
119π+
C ．2
119
π-
D ．2
113
π-
8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个
不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为
A ．1
2
B．
1
2
-C
．
3
2
D．—
3
2
9．设函数f（x）=e x（sinx—cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为A．
1006
(1)
1
e e
e
ππ
π
-
-
B．
2012
2
(1)
1
e e
e
ππ
π
-
-
C．
1006
2
(1)
1
e e
e
ππ
π
-
-
D．
2012
(1)
1
e e
e
ππ
π
-
-
10．设函数
11
()(),
21
x
f x x A
x
=+
+
为坐标原点，A为函数()
y f x
=图象上横坐标为*
()
n n N
∈的点，向量
1
1
,(1,0),
n
n k k n n
k
a A A i a i
θ
-
=
==
∑向量设为向量与向量的夹
角，满足
1
5
tan
3
n
k
k
θ
=
<
∑的最大整数n是
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位
置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设
1
(sin cos)sin2,()
3
f f
ααα
+=则的值为．
12．已知曲线1*
()()
n
f x x n N
+
=∈与直线1
x=交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的
切线与x轴交点的横坐标为
201212012220122011
,log log log
n
x x x x
+++
则的值为____．
13．已知
22
sin sin,cos cos,
33
x y x y
-=--=且x，y为锐角，则tan（x -y）= ．14．如图放置的正方形ABCD，AB =1．A，D分别在x轴、y轴的正半
轴（含原点）上滑动，则OC OB
?的最大值是____．
15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形
的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称
这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可
得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r），则（1）使得P（3，r）>36的最
小r的取值是；
（2）试推导P（n，r）关于，n、r的解析式是____．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知2
(2sin ,),(1,23sin cos 1)OA a x a OB x x ==-+，O 为坐标原点，0,a ≠设
(),.f x OA OB b b a =?+>
（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2
π
π]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，
17．（本小题满分12分）
如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．
18．（本小题满分12分）
国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习
期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．
签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一
个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．
（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；
（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的
工资余额是多少？
（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）
已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；
（II ）设2
()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．
20．（本小题满分13分）
已
知
211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足
9
(2)(1).10
n n b n a =
+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；
（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；
（Ⅲ）若1
*1
m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．
21．（本小题满分14分）
设曲线C ：()ln ( 2.71828
),()()f x x ex e f x f x '=-=表示导函数．
（I ）求函数f （x ）的极值；
（Ⅱ）数列{a n }满足111
,2(
3)n n
a e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；
（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1 012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x ' 参考答案 一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用． 【参考答案】 C 【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB → ∥a ，∴31＝y －12 ，∴y ＝7． 2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质． 【参考答案】 B ． 【解题思路】 3321654)(q a a a a a a ++=++，∴ 2 1 3= q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70． 3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运 算能力． 【参考答案】D 【解题思路】2 (sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数 2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。 4．【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查观察分析和运算能力． 【参考答案】B 【解题思路】第一行是以2为首项，以 1为公差的等差数列，第一列是以2为首项， 并且每一列都是以 2 1 由为公比的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式可求得8 3 ,85,1===z y x ，所以它们的和等于2，故选B 。 5．【考点分析】本题考查了等差数列和等比数列的判定，以及平行向量和垂直向量的基本结 论． 【参考答案】A 【解题思路】：由//n c b 选A ． 6．【考点分析】本题考查等差中项和等比中项的定义以及三角变换，考查方程思想和运算能 力． 【参考答案】A 【解题思路】依题意有θθcos sin 2sin 2+=x ， ① 2sin sin cos x θθ= ② 由①2-②×2得，022cos 2cos 42=--x x ，解得cos 2x = 又由θθcos sin sin 2=x ，得02sin 12cos ≥-=θx ，所以 8 33 1-不合题意。故选A 。 7．【考点分析】本题主要考查正弦函数sin()y A x ω?=+的图像与性质以及数量积的坐标 表示，数形结合思想． 【参考答案】C 【解题思路】由图知T 4＝5π12－π6＝π 4，∴T ＝π， ∴ω＝2，∴y ＝sin （2x ＋φ）， 将点????－π12，0的坐标代入得sin ????－π6＋φ＝0， ∴φ＝π6， ∴A ????π6，1，B ????2π3，－1，∴OA →·OB →＝π2 9 －1，故选 C ． 8．【考点分析】本题主要考查函数的零点和等差数列的定义，考查数形结合思想． 【参考答案】D 【解题思路】设两个根依次为)(,βαβα<．而函数)(x f y =的零点为2 3, 2π π,则由图象 可 得 : 2 322,232 π ππβαπβαπ +==+< <<． ∴ 可 求 2 3 65cos ,65-==∴= ππαm ． 9．【考点分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和． 【参考答案】 B ． 【解题思路】∵函数f （x ）=e x （sinx-cosx ），∴f ′（x ）=（e x ）′（sinx-cosx ）+e x （sinx-cosx ）′ =2e x sinx ， ∵x ∈（2k π，2k π+π）时，f ′（x ）＞0，x ∈（2k π+π，2k π+2π）时，f ′（x ）＜ 0， ∴x ∈（2k π，2k π+π）时原函数递增，x ∈（2k π+π，2k π+2π）时，函数f （x ）=e x （sinx-cosx ）递减，故当x=2k π+π时，f （x ）取极大值，其极大值为f （2k π+π）=e 2kπ+π[sin （2k π+π）-cos （2k π+π）]=e 2kπ+π×（0-（-1））=e 2kπ+π，又0≤x ≤2012π，∴函数f 10．【考点分析】本题考查函数、数列与向量的综合应用，考查向量的夹角公式的运算及正 切函数的定义． 【参考答案】B 【解题思路】由题意知A n =（n ，f （n ）），→ → =n n A A a 0，则θn 为直线A 0A n 的倾斜角，所以 二、填空题： 11．【考点分析】本题主要考查了函数的概念和函数解析式，以及三角函数的基本运算． 【参考答案】9 8 - 【解题思路】设ααcos sin +=x ，则12sin 2 -=x α，1)(2 -=x x f ，所以 9 8)31(-=f ． 12．【考点分析】本题主要考查了导数的几何意义的应用，数列的运算及对数的运算性质的综合应用，考查了基本运算的能力． 【参考答案】 －1 【解题思路】f ′（x ）＝（n ＋1）x n ，k ＝f ′（1）＝n ＋1，点P （1,1）处的切线方程为：y －1＝（n ＋1）（x －1），令y ＝0得，x ＝1－ 1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝n n ＋1 ，∴x 1×x 2×…×x 2011 ＝12×23×34×…×2010201120122011 ?＝2012 1，则log 2012x 1＋log 2012x 2＋…＋log 2012x 2011＝log 2012 （x 1×x 2×…×x 2011）＝log 2012 2012 1 ＝－1． 13．【考点分析】本题主要考查两角和与差的正弦余弦正切，同角三角函数的基本关系式， 正弦余弦函数的诱导公式及其运用，考查正弦函数的单调性． 【参考答案】 －214 5 【解题思路】两式平方相加得：cos （x －y ）＝5 9， ∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x 1－cos 2x －y ＝－214 9 ， ∴tan （x －y ）＝sin x －y cos x －y ＝－214 5． 14．【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算． 【参考答案】2 【解题思路】法一: 取AD 的中点M ,连接OM ．则． 2 12 1 212121)(110)()(=??+=+≤?+=+?+=?+?++=?+?+?+?=+?+=?AB OM 法二:设θ=∠BAx ,则)2 0(),cos sin ,(cos ),sin ,cos (sin π θθθθθθθ≤ ≤++C B , 2 2sin 1cos sin sin cos cos sin ) sin ,cos (sin )cos sin ,(cos 2 2 ≤+=+++=+?+=?∴θθ θθθθθθθθθθθ 15．【考点分析】本题考查等差数列的基本知识，递推数列的通项公式的求解等基本方法， 考察抽象概括能力以及推理论证能力． 【参考答案】（1）9r =．（2）(,)[2(1)(2)]2r P n r r n =+--． （或(2)(1) 2 n r r r --+等） 【解题思路】 （1）(1)(3,)2r r P r += , 由题意得 (1) 362 r r +>, 所以,最小的9r =． （2）设n 边形数列所对应的图形中第r 层的点数为r a ,则12(,)r P n r a a a =++???+ 从图中可以得出:后一层的点在2n -条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以12r r a a n +-=-,11a = 所以{}r a 是首项为1公差为2n -的等差数列, 所以(,)[2(1)(2)]2r P n r r n = +--． （或(2)(1) 2 n r r r --+等） 三、解答题： 16．【考点分析】本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公 式、诱导公式和向量等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化、分类讨论等数学思想． [解析] （1）f （x ）＝－2a sin 2x ＋23a sin x cos x ＋a ＋b ＝2a sin ????2x ＋π 6＋b ， ∵a >0，∴由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得， k π－π3≤x ≤k π＋π 6，k ∈Z ． ∴函数y ＝f （x ）的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π 6]（k ∈Z ） （2）x ∈[π2，π]时，2x ＋π6∈[7π6，13π6]， sin ????2x ＋π6∈[－1，1 2 ] 当a >0时，f （x ）∈[－2a ＋b ，a ＋b ] ∴????? －2a ＋b ＝2a ＋b ＝5，得????? a ＝1 b ＝4， 当a <0时，f （x ）∈[a ＋b ，－2a ＋b ] ∴????? a ＋ b ＝2－2a ＋b ＝5，得????? a ＝－1 b ＝3 综上知，????? a ＝－1b ＝3或????? a ＝1 b ＝4 17．【考点分析】本题是解三角形的应用问题，考查三角形中的正弦定理、三角恒等变换、 三角函数性质等基础知识，主要考查运算求解、推理论证等能力． 解：（1）连结DE ，在?CDE 中，3609015105150o o o o o DCE ∠=---=， （1分） 11111 sin150sin 3022224 o o CDE S DC CE ?= ??=?=?=（平方百米） （4分） （2）依题意知，在RT ?ACD 中，tan 1tan 60o AC DC ADC =?∠=?= （5分） 在?BCE 中，1801801054530o o o o o CBE BCE CEB ∠=-∠-∠=--= 由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE = ∠∠ （6分） 得1 sin sin 45sin sin30 o o CE BC CEB CBE = ?∠=?=∠ （7分） ∵000cos15cos(6045)cos60cos 45sin 60sin 45o o o o =-=+ （8分） 12== （9分） 在?ABC 中，由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-?∠ （10分） 可得22AB =-= （11分） ∴AB = （12分） 18．【考点分析】本题主要考查一元二次不等式的应用， 数列的基本应用和等差数列的性质， 考查等价转化和建模能力． （2）设李顺第n 个月还清，则应有 (12)(121) 12500(50050)(12)50240002 n n n -?--?++?-+ ?≥ 整理可得238280n n --≥，解之得33321 30n +≥>，取31n =， 即李顺工作31个月就可以还清贷款． 这个月，李顺的还款额为 (3012)(30121) 24000[12500(50050)(3012)50]4502 -?---?++?-+ ?=元， 第31个月李顺的工资为191500 1.051500 2.5263789?=?=元， 因此，李顺的剩余工资为37894503339-=． …………………12分 19．【考点分析】本题考查函数、导数和三角函数知识的综合运用，利用导数研究函数的单 调性、值域，主要考查运算求解能力． 解：（Ⅰ） '()1cos 0,()[0,]f x x f x π=+≥∴在上单调递增． min max ()(0)0,()()f x f f x f ππ∴==== 所以函数()f x 的值域为[0,]π ……………………． 5分 （Ⅱ）()cos g x x =，记2 ()cos 1x x ax μ=--，则'()sin 2x x ax μ=--． 当1 2 a ≤- 时，"()cos 20x x a μ=--≥,所以'()x μ在[0,)+∞上单调递增． 又'(0)0μ=，故'()0x μ≥．从而()x μ在[0,)+∞上单调递增． 所以()(0)0x μμ≥=，即2 cos 1x ax ≥+在[0,)+∞上恒成立…………．8分 当2 1 - >a 时，0)("),0(,0,021)0("00<∈>?∴<--=x x x x a μμ时，使． 所以在)('x μ]0(0x ，上单调递减，从而0)0(')('=≤μμx ， 故()x μ在],0(0x 上单调递减，0)0()(=<μμx 这与已知矛盾． …… 综上，故a 的取值范围为1 2 a ≤- ． ……………．12分 20．【考点分析】本题主要考查数列的基本应用和等比数列的性质，以及数列的通项公式考 查等价转化和函数方程思想． 解：（I ）∵0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+，2 n n )1a ()a (f -=，)1a (10)a (g n n -=， ∴ 1)-(a 1)-10(a )a a (2n n n 1n =+-+． 即 01)-9a -(10a )1a (n 1n n =-+． 又2a 1=，可知对任何* N n ∈，01≠-n a ，所以10 1 a 109a n 1n += +．…………2分 ∵10 91a 1 101 a 1091a 1a n n n 1n =--+=--+， ∴{}1a n -是以11a 1=-为首项，公比为10 9 的等比数列．………4分 （II ）由（I ）可知1a n -=1 n )10 9( - （*N n ∈） ． ∴n n n )10 9 )(2n ()1a )(2n (109b +=-+=． )2 n 11(109)10 9)(2n ()109 )(3n (b b n 1 n n 1n ++=++= ++．……………………………5分 当n=7时， 1b b 7 8 =，78b b =； 当n<7时， 1b b n 1 n >+，n 1n b b >+； 当n>7时， 1b b n 1 n <+，n 1n b b <+． ∴当n=7或n=8时，n b 取最大值，最大值为78 8710 9b b ==．……8分 （III ）由1 m 1m m m b t b t ++< ，得0])3m (910t 2m 1[t m <+-+ （*） 依题意（*）式对任意* N m ∈恒成立， ①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．…………9分 ②当t<0时，由 0) 3m (910t 2m 1>+-+，可知0t m <（*N m ∈）． 而当m 是偶数时0t m >，因此t<0不合题意．…………10分 ③当t>0时，由0t m >（*N m ∈）, ∴ 0)3m (910t 2m 1<+-+ ∴) 2m (10)3m (9t ++>． （* N m ∈）……11分 设) 2m (10)3m (9)m (h ++= （* N m ∈） ∵)2m (10)3m (9)3m (10)4m (9)m (h )1m (h ++-++= -+ =0) 3m )(2m (1 109<++?- , ∴ >>->>>)m (h )1m (h )2(h )1(h ． ∴m)(h 的最大值为56 )1(h = ． 所以实数t 的取值范围是5 6 t >．…………………………………13分 21．【考点分析】本题考查函数、导数和数列知识的综合运用，利用导数研究函数的单调性、 极值，主要考查运算求解、推理论证和化归转化等能力． 解：（I ）11()0ex f x e x x -'= -==，得1 x e = 当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表： ∴当1 x e = 时，()f x 取得极大值1()2f e =-，没有极小值； …………（5分） （II ）∵11 2( )3n n a f e a +'=+，∴12n n a a e +=+, 12n n a e a e ++=+，∴(21)n n a e =- …………（7分） 假设数列{}n a 中存在成等差数列的三项,,()r s t a a a r s t <<，则2s r t a a a =+， 112(21)(21)(21),222,212s r t s r t s r t r e e e +-+--=-+-=+∴=+ 110,0,2,12,s r t r s r t r -+--+>->∴+又为偶数为奇数假设不成立 因此，数列{}n a 中不存在成等差数列的三项 …………（10分） （III ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴ 2121021 ln ln ()1 x x e x x e x x x ----=-，∴21201 ln 0x x x x x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211 ()ln ()x g x x x x x =-- 211211 ()ln ()x g x x x x x =--，0ln )(1211>=' x x x g x ，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2 122222 ()()ln ()0x g x g x x x x x <=--=； 222211 ()ln ()x g x x x x x =--，0ln )(1222>=' x x x g x ，2()g x 是2x 的增函数， ∵12x x <，∴1 211111 ()()ln ()0x g x g x x x x x >=--=， ∴函数2 211 ()ln ()x g x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（12分） 又∵ 22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211 ()ln ()x g x x x x x =--在12(,)x x 是增函数， ∴函数2 211 ()ln ()x g x x x x x =--在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（14分） （方法2）∵0()AB f x k '=，∴ 2121021 ln ln ()1 x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一 设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x > ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（12分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数 ∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（14分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分。