余弦定理公式的含义及其证明.doc
如右图所示，AABC,在c 上做高，将c 边写作:
余弦定理公式的含义及其证明
少三(2)宋伊辰
在做参考书的时候，我有时会遇到“已知一个一般三角形的两边长及其夹角的度数，要求第 三边长度”的情况。与直角三角形不同，这时直接求第三边长显得有些困难，往往要花很大 力气。那么，有没有什么方法可以直接求解呢？ 我向爸爸提出了我的疑问。 “可以用余弦定理求啊。”他回答道。
“余弦定理是什么？ ”怀者满腹的疑问，我开始上网搜寻答案。
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是揭示三角形边角 关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边 求角的问题。
如左图所示，在左ABC 中，余弦定理可表示为:
c 2
二决 + 护-2abcos(y)
同理，也可描述为：
fr 2 = c 2
+
- 2i?ccos ㈤ = tc 2 - 2&C￡O5(a]
i
1?
勾股定理是余弦定理的特例。
当火为90。时，cos(” 二 0,余弦定理可简化为。2 二 /+砂，即勾股定理。
那么，我们乂如何证明余弦定理的成立呢？我乂对此展开了探究。 法一(代数证明)：
将等式两边同乘以C 得到：
C 2 = tfCCOS (^] +frccos(ff)
同理， a 1 - nccos(p) + nbcos(y)①
①+②得：
/ +砂 二"cos (们+ ibcos(y) + bccos(aj+ nbcos(y) * + 砰 =[nccos(p) +bccos(a)] + |“bcos(v)+ nbcos(v)]
2
+ fc 2 = c 2
+ 2abcos(y)
c 2
= a 2
+ b 2
-2abcos{y)
b
a
A
(°) + nbcos(y)①
b 2
二 bccos(o) + nbcos(v)②
法二(运用相交弦定理证明)：
如图，在三角形ABC 中，ZA=a , AB=a, BC=b, AC=c 以B 为I 员【心，以长边AB 为半径 做圆(这里要用长边的道理在于，这样能保证C 点在圆 内)。 延I K BC,交。B 于点D 和E DC=a-b, CE=a+b, AC=c *.* AG=2acos Q ?e .CG=2acos a -Co DC X CE=AC X CG .L (a-b)(a+b)=c(2acos a -c) 化简得：= "2 *+ 2QC (C OSQ)
法三(平面儿何)：
在左ABC 中，已知AC 二b, BC 二a,匕C 二Y ,求c 。 过点A 作AD1BC 于D,
AD=AC ? sin Y =b ? sin Y , CD=AC ? cos Y =b ? cos Y ABD=BC-CD=a- b ? cos Y 在 RtAABD ZADB=90°
二 AB^ = AD~ + BD~ = (b ? sin Y )~+ (a - b ? cos Y )
cr -b~ 一2沥cos Y
法四(解析儿何)：
|
以点C 为原点0, AC 为x 轴，建立如右图所示的平 面直角坐标系。
B
在AABC 中，AC=b, CB=a, AB=c,则 A, B, C 点的 卞了、 坐标分别为 A(b, 0),
B(acosC, asinC), C(0, 0). I AB | 2
= (acosC-b)2 +(czsinC-0)2
=a 2 cos2C - 2abcos C + b 2 + a 2
sin 2C =a 2
-\-b 2
一2沥cosC
即 c? =a 2
+b 2
- lab cos C
经过一番思考和尝试，我成功地运用多种方法证明了余弦定理公式。那么，这个公式在实际 的题目当中有什么应用呢？ 网上的资料给了我答案。 余弦定理可应用于以下两种需求：
1、 当已知三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。
2、 当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三仇形的三个内角。
余弦定理还可以变换成以下形式：
a
B
A
萨--- 2— ----- . h2 +c2 -a2
a = \
b 4- c一2阮cos A cos A = ---------
2bc
2ca
+ a2 -laccosB
a2^b2
c = y/a2 +b2 -2abcosC cosC
2ab
由此看来，余弦定理是一个简洁却实用的公式。它是勾股定理在一般三角形情形下的推广, 应用也更广泛。余弦定理是高中数学中的一?条基本定理，但它却在平面儿何，立体儿何，平而三角形解析等领域中发挥着巨大的作用。