高三数学训练题(十二)高三数学综合训练(2)
广州市高三数学训练题 (十二) 综合训练( 2 )
（时间：120分钟 满分150分）
（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，原本卷命题人:谭曙光 修改：李敏） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选
（1）设集合A = {x |x 2（A ）{x |x >1} (B ） {x |x >0} （C ）{x |x <-1} （D ） {x |x <-1或x >1}
（2）若(x 2－1)+(x 2－2x －3)i 是纯虚数，则实数x 的值是
（A ）1 B ） －1 （C ） ±1 （D ） 以上都不对 （3）已知等差数列{a n }的各项均为正，且公差不为0，设P ＝
2
a a 8
2+，Q ＝64a a ，则P 与Q 的大小关系为 （A ） P ＞Q （B ） P ＜Q （C ） P ＝Q （D ） 无法确定 （4）已知sin(π+α)＝2
1
-
且tan α＜0则cos α的值为 （A ） 21± （B ） 2
1- （C ） 23- （D ） 23
±
（5）直线l 1，l 2互相平行的一个充分条件是
（A ） l 1，l 2都平行于平面α （B ） l 1，l 2与平面α所成的角相等 （C ） l 1平行于l 2所在平面α （D ） l 1，l 2都垂直于平面α
（6）平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB －BC )·(AD －CD )＝0，则三角形ABC 是 （A ） 直角三角形 （B ） 等腰三角形 （C ） 等腰直角三角形 （D ） 等边三角形
（7）将一张坐标纸折叠一次，使点(10，0)与(－6，8)重合，则与点(－4，2)重合的点是
（A ） (4，－2) （B ） (4，－3) （C ） (3，
2
3
) （D ） (3，－1) （8）对一组数据Z i （i ＝1，2，3，…，n ），如果将它们改变为Z i －C （i ＝1，2，3，…，n ），
其中C ≠0，则下面结论正确的是 （A ） 平均数与方差均不变 （B ） 平均数变了，而方差保持不变 （C ） 平均数不变，方差变了 （D ） 平均数与方差均发生了变化
（9）正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面
积之比为
（A ） 2 （B ） 3 （C ）
26 （D ） 3
32 （10）F 1、F 2是双曲线22a x 22
b
y -＝1的左、右两个焦点，P 是双曲线右支上任一点，从右焦点
向∠F 1PF 2的平分线作垂线，垂足为M ，点M 的轨迹是曲线C 的一部分，则曲线C 是
（A ） 圆 （B ） 椭圆 （C ） 双曲线 （D ） 抛物线
（11）已知函数f(x)＝x 9x 3m ?-+m+1对x ∈(0，∞+)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范
围是 （A ） 2－22＜m ＜2+22 （B ） m ＜2 （C ） m ＜2+22 （D ） m ≥2+22
（12）a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分
别为集合M 和N ，那么“2
1
2121c c b b a a ==”是“M=N ”的 (A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件. (C)充要条件
(D)既非充分又非必要条件.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
（13）平面内一动点P 到直线2x +3y 5-＝0和到点M(1，1)的距离相等，则P 点的轨迹为
______________ (写出轨迹名称)．
（14）函数y 1-≤x ≤0）的反函数为_______________．
（15）若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，
则三人中只有一人命中的概率是___________．
（16）一个三位数abc 称为“凹数”，如果该三位数同时满足a ＞b 且b ＜c ，那么所有不同的三
位“凹数”的个数是_____________________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，
（17）（本小题満分12分）
设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？
（18）（本小题满分12分）
正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长是 ，侧棱长
是3，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ．
（Ⅰ）求证：A 1C ⊥面AEF ；
（Ⅱ）求截面AEF 与底面ABCD 所成的二面角的大小；
（Ⅲ）求点B 到面AEF 的距离．
A D 1 C 1
B 1 A 1
D C B F
E
（19）（本小题満分12分）
若数列{n a }的通项21n a n =-，设数列{n b }的通项1
1n n
b a =+，又记n T 是数列{n b } 的前n 项的积．
（Ⅰ）求1T ，2T ，3T 的值；
（Ⅱ）试比较n T 与1+n a 的大小，并证明你的结论．
（20）（本小题満分12分）
如图，有甲乙两个村庄，甲村位于一直线河岸的岸边A 处，乙村与甲村在河的同侧，乙村位于离河岸40km 的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距50km ，两村要在此岸边合建一个自来水厂C ，从自来水厂到甲村和乙村的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元. 现要进行工程费用测算.
（Ⅰ）求出水管总费用关于水厂C 到D 的距离的函数关系式； （Ⅱ）问自来水厂C 建在何处，才能使水管总费用最省？
D
C
A
B
（21）（本小题満分12分）
在以O 为原点的直角坐标系中，点A （3，－1）为Rt OAB ?的直角顶点. 已知|AB |=2|OA |，且点B 的纵坐标大于零. （Ⅰ）求向量的坐标；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使二次函数12
-=ax y 的图像上总有关于直线OB 对称的两个不
同的点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围.
（22）（本小题満分14分）
已知32()(0)f x x bx cx d =+++-∞在， 上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程()0f x =有三个根，它们分别为2αβ， ，． （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求证(1)2f ≥；
（Ⅲ）求||αβ-的取值范围．
（十二）综合训练( 2 )
参考答案
（1） 特值排除 取 x = 2，显然排除C 、D; 再取 x = 1/2 ，显然排除B ．故应选A ．
（2）由条件?????≠--=-0
3x 2x 0
1x 22解得x ＝1，选A ．
（3）因为{a n }是各项均为正的等差数列，则a 2+a 8＝a 4+a 6，又公差不为0，由基本不等式
可得P ＞Q ，选A ．
（4）由sin(π+α)＝2
1-
且tan α＜0知α为第二象限的角，所以cos α＝23-，选C ．
（5）若l 1，l 2都垂直于同一个平面则l 1，l 2互相平行，但反之不一定成立，选D ． （6）由(AB －)·(AD －)＝0得 (AB －)·(AD +)＝0即(AB －)·＝0，
(－)·(+)＝0，即2
2
-＝0，||＝|BC |，故为等腰三角形，选B ． （7）由条件，以(10，0)和(－6，8)为端点的线段的垂直平分线方程为y ＝2x ，则与点(－4，
2)重合的点即为求点(－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点，求得为(4，－2)，选A ．
（8）x ＝n 1(x 1+x 2+…+x n )，S 2＝n
1
[(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x n －x )2]，令x i 换成x i －c ，则x ＝n 1[(x 1－c)+(x 2－c)+…+(x n －c)]＝ x －c ，当x i 换成x i －c 的方差为2S '＝n
1
{[(x 1－c)－
(x －c)]2+[(x 2－c)－
(x －c)]2+…+[(x n －c)－(x －c)2]}＝ n
1
[(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x n －x )2]＝S 2，选B ．
（9）设正方体边长为a ，则正四面体棱长为2a ，S 正方体＝6a 2，S 正四边体＝4×2
1
×(2a)2
×sin o 60，故选B ．
（10）设垂线交PF 1于Q ，而|QF 1|＝|PF 1|－|PQ|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ，在△F 1F 2Q 中，|MO|＝
2
1
|QF 1|，故C 为以原点为圆心a 为半径的圆，选A ． （11）法1：令t ＝x 3，则问题转化为函数f(t)＝t 2－mt+m+1对t ∈(1，∞+)的图象恒在x
轴的上方，即△＝(－m)2－4(m+1)＜0或 ???????>++-<≥?0
m 1m 112m 0解得m ＜2+22． 法2：问题转化为m ＜1t 1t 2-+ ，t ∈(1，∞+)，即m 比函数y ＝1
t 1
t 2-+ ，t ∈(1，∞+)的最
小值还小，又y ＝1t 1
t 2-+＝t －1+1
t 2-+2≥21t 2)1t (--+2＝2+22，所以m ＜2+22，选C ．
（12）反例否定:一方面，当
2
1
2121c c b b a a ==时，取1111a b c ===，2221a b c ===-， 易知M 为实数集，N 为空集，这说明M 与N 不能相等；
另一面，当M=N 时，若M 与N 均为空集，就可取1111,2,a b c ==-=-2221a b c ===-，
这时不能得出
2
1
2121c c b b a a ==．故应选D ． （13）因为点M(1，1)在直线2x+3y 5-＝0上，故P 点的轨迹为直线．
（14）由y ＝2x 2-得x 2＝2－y 2，又1-≤x ≤0，所以x ＝2y 2--，又因为y ＝2
x 2-（1-≤x ≤0）的值域为[1，2]，得y ＝2x 2-（1-≤x ≤0）的反函数为y ＝2x 2--（1≤x ≤2）．
（15）设甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，丙命中为事件C ，P(A B ?C ? )+ P(A B
?C ?)+P(A B ?C ?)＝
54×52×103+51×53×103+51×52×107
＝250
47 （16）三位“凹数”可分两类：一类是aba ，共有2
10C ＝45，另一类是abc ，a ≠c ，共有2310C ＝240，故共有45+240＝285个
（17）解：以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X －B (5，0.2)，于是X 有概率分
布P (X =k )=C k 50.2k 0.85－
k ,k =0,1,2,3,4,5.
以Y 表示一周内所获利润，则Y =g (X )=??
?
??
??≥-===3 22 01
50 10X X X X 若若若若
Y 的概率分布为：
P (Y =10)=P (X =0)=0.85=0.328，P (Y =5)=P (X =1)=C 150.2·0.84
=0.410 P (Y =0)=P (X =2)=C 25·0.22·0.83=0.205
P (Y =－2)=P (X ≥3)=1－P (X =0)－P (X =1)－P (X =2)=0.057
故一周内的期望利润为：EY =10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(万元)
（18）解：（Ⅰ）证明：∵CB ⊥面A 1B ，∴A 1C 在平面A 1B 上的射影为A 1B ，又∵A 1B ⊥AE ，∴A 1C ⊥AE ， 同理A 1C ⊥AF ，
又AE ∩AF ＝A ，∴A 1C ⊥面AEF ；
法2：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立直角坐标系，则B(3，0，0)，A(0，0，3)， 设E(3，0，y E )
∵B A 1⊥AE ，而B A 1＝(－3，0，3)，AE ＝(3，0，y E )，∴B A 1AE ?＝0， 即3-×3+0×0+3×y E ＝0，得y E ＝1，∴E(3，0，1)，而C(3，3，0)， ∴C A 1＝(3，3，－3)，∴C A 1AE ?＝3×3+3×0+(－3)×1＝0，∴C A 1⊥AE ?， 同理C A 1⊥AF ?，又AE ∩AF ＝A ，∴A 1C ⊥面AEF ．
（Ⅱ）A 1B ⊥AE ，AA 1⊥AB ，∴∠BA 1A ＝∠EAB ．∴Rt △A 1AB ∽Rt △ABE ，
∴
A
A A
B AB EB 1=又∵AB ＝3，A 1A ＝3，∴EB ＝1，AE ＝13+＝2， 同理DF ＝1，AF ＝2，∵EF ∥BD ，∴EF ∥面ABCD ，
∴过A 作直线l ∥EF ，则l 为 面AEF 与面ABCD 的交线，
过B 作BM ⊥l 于M ，连EM ，∵EB ∥面ABCD ，∴BM 是EM 在面ABCD 内的射影， ∴EM ⊥l ， ∴∠EMB 是所求的二面角的平面角，
A
D 1 C 1
B 1
A 1 D
C
B
F E
BM ＝
26，tan ∠EMB ＝2
6
1
EMB ＝arctan 36
法2：设截面AEF 与底面ABCD 所成的二面角为α，
因为△ABD 为AEF 在底面ABCD 上的射影三角形，则cos α＝AEF
ABD
S S ??，
而S △ABD ＝
23，S △AEF ＝2
15，所以cos α＝515，α＝arccos 515； 截面AEF 与底面ABCD 所成的二面角为θ，则cos θ＝|cos α|＝||
AA ||C A ||
1111
＝|
1
9333?++-|＝
515，α＝arccos 5
15
． 法3：C A 1面AEF 的法向量，1AA 是面ABCD 的法向量，C A 1与1AA 的夹角为α， （Ⅲ）设点B 到面AEF 的距离为h ，由V B －EFA ＝V F －AEB ＝V D －AEB ， 得
31h·S △AEF ＝31
DA·S △AEB ， h ＝AEF
AEB S S DA ???，由EF ＝6，得S △AEF ＝215，DA ＝3，
S △AEB ＝
2
3
3121=
??，∴h ＝2
15
23
3?
＝515．
（19）（1）
21n a n =-，∴11111
112211
T b a ==+
=+=?-， 2122118
2(1)2(1)2213
T b b a =?=?+
=+=?- 31233818116
(1)(1)332315
T b b b a =??=?+=?+=?-
（2）由（1）中可猜想得T n ＞1+n a ； 只须证明对于n ∈N ，
1
11
(11)(1)(1)
(1)35
21
n ++++
>-
设n =1时，左=1+1=2，右=3，∈2＞3，故原不等式成立； 假设n =k （k ≥1）时，原不等式成立，即12)1
21
1()511)(311)(11(+>-++++k k ， 当n =k +1时，不等式左边为
11
111
(11)(1)(1)
(1)[1]
)35212(1)121
k k k ++++
+>+-+-+ 1)(22)2121
k k k +
=+++ 不等式的右边为
32+k ， 只须得出
)22(1
21
2+++k k k ＞
32+k ，事实上
2
)22(1212???
? ??+++k k k －(
)
2
32+k =
12)384(48422+++-++k k k k k =1
21
+k ＞0， 故
)22(1
21
2+++k k k ＞32+k 成立，从而
]1
)1(21
1)[1211()511)(311)(11(-++-++++k k ＞32+k ．即n =k +1时不等式也成立，
∈对于n ∈N ，则有12)1
21
1()511)(31
1)(11(+>-+++
+n n 成立．
． （20）解：（∈）设C 到D 的距离为x km ,
BD =40 AC
=50-x
∴
又设总的水管费用为y 元，依题意有：
3(50)5y a x =-+(050)x <<
即15035y a ax =-+ (050)x <<为所求函数关系式
（∈）
15035y a ax =-+(050)x <<
∴ '3y a =
- 令'0,30y x ==得 在（0，50）上，y 只有一个极值点。
根据实际意义，函数在x =30(km )处取得最小值，此时AC =50x -=20（km ）
,A D ∴自来水厂建在之间距甲村20km处可使水管费用最省.
（21）解：（Ⅰ）设22||2||40(,),,30,
||||0AB OA u v AB u v u v AB OA ?=?+=?=∴??-=?=??? 得 22
,.(3,1),66
u u OB OA AB u v v v ==-??=+=+-?
?==-??或因为 所以v －1>0,得v =6,故AB =(2，6).
（Ⅱ）∈AB =(2，6),又A （4，－3），∈B 点的坐标为（5，5）…则直线OB 的方程为y =x . 设P (x 0,y 0) 关于直线OB ：y =x 对称点为Q (y 0, x 0) ， 若点P 、Q 在二次函数12
-=ax y 图像上，则
2
002
001,
1.
y ax x ay ?=-??=-??得000000()()()y x a y x y x -=--+00y x ≠，001
y x a
∴+=-
将001y x a =-
-代入2
00
1y ax =-中得200110ax x a ++-= 由题意得 114(1)0a a ?=-->3
4304
a a ?->?>
故当3
4
a >时，抛物线y =ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.
（22）解：（Ⅰ）,c bx 2x 3)x (f 2++=' )0,()x (f -∞在 上是增函数，在[0，2]上是减函数，∴当
)x (f ,0x 时=取到极大值， .0c ,
0)0(f =∴='∴
（Ⅱ）).2b (4d ,0)2(f +-=∴= 0bx 2x 3)x (f 2=+='的两个根分别为,3
b 2x ,0x 21-== ∵函数]2,0[)(在x f 上是减函数，3b ,23
b
2x 2-≤∴≥-
=∴. .2b 371)2b (4b 1d b )1(f ≥--=++-=++=∴
（Ⅲ）)x )(2x )(x ()x (f ,0)x (f ,2,β--α-==βα可设的三根是方程
,2x )22(x )2(x )x (f 23αβ-αβ+β+α+β+α+-=∴
??
???-=--=+∴??
?-=---=∴.21,2.
2,2d b d b αββααββα
.16)2b ()2b (8)2b (d 2)2b (4)(||2222--=+-+=++=αβ-β+α=β-α∴
3||,3b ≥β-α∴-≤ .