高中数学必修一、必修四、必修五知识点汇总

高中数学必修一、必修四、必修五知识点

一、知识点梳理

必修一第一单元

1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合.

2.特征：确定性、互异性、无序性.

3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形}

4.常用的数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *.

5.集合的分类：

(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集φ 不含任何元素的集合 例：{x|x 2

=－5｝

5.关系：属于∈、不属于?、包含于?(或?)、真包含于、集合相等＝.

6.集合的运算

（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ?

数学表达式：{}

B x A x x B A ∈∈=?且 性质：A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=?,,

（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ?

数学表达式：{}

B x A x x B A ∈∈=?或 性质：A B B A A A A A A ?=?=Φ?=?,,

（3）补集：已知全集I ，集合I A ?，由所有属于I 且不属于A 的元素组成的集合。表示：A C I 数学表达式：{}

A x I x x A C I ?∈=且 方法：韦恩示意图, 数轴分析.

注意：① 区别∈与、与?、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ.

③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n

2，所有真子集的个数是n

2-1, 所有非空真子集的个数是22-n

。

④空集是指不含任何元素的集合。}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

⑤符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

8.函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域.

①．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是

使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

②．求函数的值域的方法 : 先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

9.两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则（与表示自变量和函数值的字母无关）都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

10.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.

11.函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法

12.函数的单调性(局部性质)

（1）增函数

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

注意：函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法：

○1任取x1，x2∈D，且x1

○2作差f(x1)－f(x2)；

○3变形（通常是因式分解和配方）；

○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（1）偶函数

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

○2确定f(－x)与f(x)的关系；

○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于

原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：

1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○

2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有

最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有

最小值f(b)；

13．一些有用的结论：

(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同； (2)偶函数在其对称区间上的单调性相反； (3)若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =

15. 复合函数

(1).复合函数：若y=f(u),u=g(x),x ∈(a,b),u ∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值围是g(x)的值域。

(2).复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出 (3).复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性： ①若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； ②若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。

简记为“同增异减” 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。 6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

必修一第二单元

1．根式的概念:一般地，如果a x n

=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *

．

当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．

式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）． 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，?

??<≥-==)0()

0(||a a a a a a n n

2．分数指数幂 规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n

m

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-n N n m a a a

a

n

m

n

m

n

m

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s

r r a

a +=

),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(

),,0(Q s r a ∈>；

（3）s

r

r

a a a

b =)(

),0,0(Q r b a ∈>>．

一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα

>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

4.一般地，函数)1a ,0a (a y x

≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．

5.指数函数的性质

图象特征

函数性质

1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<

向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +

函数图象都过定点（0，1） 1a 0=

自左向右看， 图象逐渐上升

自左向右看， 图象逐渐下降

增函数

减函数

6.对数的概念：一般地，如果N a x

=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =

a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式

说明：○

1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○

2 x N N a a x =?=log ； ○

3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：

○

1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○

2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 7.对数式与指数式的互化：x N a =log ? N a x = 8.对数的性质

（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：N a

N

a =log ；

（5）n a n

a =log ．

9.如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：

（1）M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； （2）=N

M

a

log M a log －N a log ； （3）n

a M log n =M a log )(R n ∈．

10.换底公式

a

b

b c c a log log log =

（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．

（1）b m

n

b a n

a m log log =

； （2）a b b a log 1log =．

11.对数函数的概念

1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数。其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○

1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5

log 5x

y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

○

2 图象特征

函数性质

1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<

函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞）

图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R

函数图象都过定点（1，1） 11=α

自左向右看， 图象逐渐上升

自左向右看， 图象逐渐下降

增函数

减函数

一象限的图象纵坐标都大于一象限的图象纵坐标都大于0log ,1>>x x a 0log ,10><

0log ,10<<x x a

图象对应的对数函数的底数逐渐变大．

12.幂函数：一般地，形如α

x y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 幂函数性质归纳：

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

必修一第三单元

1.函数零点的概念：

对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 函数零点的意义：

函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2.函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点：

（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；

（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

3.零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)有零点.即存在c ∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根.

4.二分法及步骤：

对于在区间a [，]b 上连续不断，且满足)(a f ·)(b f 0<的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度ε，用二分法求函数)(x f 的零点近似值的步骤如下： 1．确定区间a [，]b ，验证)(a f ·)(b f 0<，给定精度ε； 2．求区间a (，)b 的中点1x ；

3．计算)(1x f ：○

1 若)(1x f =0，则1x 就是函数的零点； ○

2 若)(a f ·)(1x f <0，则令b =1x （此时零点),(10x a x ∈）； ○

3 若)(1x f ·)(b f <0，则令a =1x （此时零点),(10b x x ∈）； 4．判断是否达到精度ε；

即若ε<-||b a ，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤2~4．

必修四第一单元

1.任意角的三角函数的意义及其求法：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==

则sin y r α=

, cos x r α=, tan y

x

α=. 2.三角函数值在各个象限的符号：

正弦：上正下负; 余弦：左负右正； 正切：一、三正，二、四负 3.同角三角函数间的关系：

1cos sin 22=+αα.

sin cos tan ;cot cos sin ααα=

α=

α

α.

4.诱导公式

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???．

()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

图象

奇偶性

奇函数 偶函数

奇函数

单 调 性

单调增区间:

[2,2]22

k k π

π

ππ-

+(

k Z ∈)

单调减区间:

3[2,2]2

2

k k π

π

ππ+

+

k Z ∈)

单调增区间:

[2,2]k k πππ-(k Z ∈)

单调减区间: (k Z ∈)

[2,2]k k πππ+(k Z ∈)

单调增区间：

(,)22

k k π

π

ππ-

+(

k Z ∈)

周期性

2T π=

2T π=

T π=

对 称 性

对

称

中

心

:

(,0)k π,k Z ∈

对称轴: 2

x k π

π=+

，

k Z ∈

对

称

中

心:(,0)2

k π

π+,k Z ∈

对称轴: x k π=, k Z ∈

对称

中

心:(

,0)2

k π

,k Z ∈ 对称轴：无

最值

2,2

x k k z π

π=+

∈时，

max 1y =；

32,2

x k k z π

π=+∈时，

min 1y =-

2,x k k z

π=∈时，

max 1y =；

2,x k k z ππ=+∈时，

min 1y =-

无

6.得到函数()sin y x ω?=A +的图象的方法：

方法1、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数

()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

方法2、函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移

?

ω

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象． 7.函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质：

①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ω

π

=

=

T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?．

函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =

-，()max min 12y y B =+，()21122

x x x x T

=-<．

必修四第二单元

16、向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

a

C

B

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当

0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

20、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．

设()11,a x y =，()22,b x y =，

其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线．

21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++??

?++??

．

23、平面向量的数量积：

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，

a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2

2

a a a a ?==或a a a =?．③a

b a b ?≤． ⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()()

a b a b a b λλλ?=?=?；③()

a b c a c b c +?=?+?． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+．

若(),a x y =，则2

2

2

a x y =+，或2a x y =

+

设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+=． 设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，

θ是a 与b 的夹角，则

121

cos a b a b

x θ?=

=

+．

必修四第三单元

1.三角恒等变换公式

正弦的两角和、差公式：sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β

sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β

余弦的两角和、差公式：cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β

cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β 正切的两角和、差公式：tan （α＋β）＝

tan tan 1tan tan αβ

αβ

＋－

tan （α－β）＝

tan tan 1tan tan αβ

αβ

－＋

正弦的二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α

余弦的二倍角公式：cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α ＝2cos 2 α－1 ＝1－2sin 2

α 正切的二倍角公式：tan 2α＝22tan 1tan α

α

－

.

sin cos 12tan cos 1sin 2tan .

2

tan 12tan

2tan 2

tan 12tan

1cos 2

tan 12tan

2sin .cos 1cos 12tan 2cos 12cos 2cos 12

sin 2

22

2

222

α

αααααα

α

αα

ααα

α

ααα

ααααα

-=+=-=+-=

+=

+-=+=-=

；；；万能公式：；；降幂公式：

必修五第一单元

1.正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

形式一：R C c

B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)

形式二：???

??===C

R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边化正弦)

形式三：::sin :sin :sin a b c A B C =（比的性质）

形式四：

sin ,sin ,sin 222a b c

A B C R R R =

==（正弦化边）

利用正弦定理能够解两类三角形：

1、已知三角形的任意两角与任意一边.其步骤是： （1）利用三角形角和定理求出第三个角； （2）利用正弦定理求出另两边.

2、已知三角形的任意两边与其中一边的对角.其步骤是： （1）利用正弦定理求出另一边的对角； （2）利用三角形角和定理求出第三个角； （3）利用正弦定理求出第三边.

此时，可能无解或仅有一解或有两解. 判断有多少个解的方法： 在

ABC

?中，已知a,b 和A ，解三角形时，由正弦定理得

时，时，则有一解；当时，则无解；当当1sin 1sin 1sin ,sin sin a A

b a A b a A b a A b B ==

，

即如果一定为锐角，有一解，则即如果B A b a B B A b a ,,,≥≥则有两解.

2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

(遇见二次想余弦)形式一：2222cos a b c bc A =+-

2222cos b c a ca B =+- 2222cos c a b ab C =+-

形式二：

222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222

cos 2a b c C ab +-=

利用余弦定理能够解三类三角形：

1、已知三角形的三边，求三个角.其步骤是： （1）利用余弦定理求出两个角；

（2）利用三角形的角和定理求出第三个角.

2、已知三角形的两边及其夹角，求第三边和另外两个角，其步骤是： 方法一：（1）利用余弦定理求出第三边； （2）利用余弦定理求出一个角；

（3）利用三角形角和定理求出第三个角. 方法二：（1）利用余弦定理求出第三边； （2）利用正弦定理求出一个角；

（3）利用三角形角和定理求出第三个角.

3、已知三角形的任意两边与其中一边的对角：用余弦定理求出第三边，此时第三边的个数即为三角形解的个数.

必修五第二单元

1．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 2．等差数列的有关概念：

(1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 (2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

(3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)

2

n n n S na d -=+。

(4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b

A +=

。 提醒：

[1]等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n

a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

[2]为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）

；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 3．等差数列的性质： (1）．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的

一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+=+-是关

于n 的二次函数且常数项为0. (2）．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 (3）．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

(4）．若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、

*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n a a 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列. (5）．在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。 4．等比数列的有关概念：

(1）等比数列的判断方法：定义法

1

(n n

a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或

11

n n n n a a

a a +-=(2)n ≥。 (2）．等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

(3）．等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，

1(1)1n n a q S q -=-11n a a q q

-=-。

特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

(4）．等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：

不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。

提醒： [1]等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；[2]为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇

数个数成等比，可设为…，22,,,,a a

a aq aq q q

…（公比为q ）；但偶数个数成等比时，

不能设为…33,,,aq aq q a

q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此

设，且公比为2q 。 5.等比数列的性质：

（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =.

(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；

若{}{}n n a b 、

成等比数列，则{}n n a b 、{}n n

a

b 成等比数列； 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.

(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列. 五.数列的通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即12()n a a a f n ++

+=）求n a ，用作差法：{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==

-≥。

⑶已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()

,(2)

(1)

n f n f n a n f n =??=?≥?-?。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

⑸已知

1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12

112

1

n n n n n a a

a a a a a a ---=???

?(2)n ≥。

⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。 六.数列求和的常用方法：

1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+，222112(1)(21)6

n n n n +++=++，

33332

(1)123[]2

n n n +++++=.

2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k

=-++；

③2211111

()1211

k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -

=<<=-++--； ④1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!

n n n n =-++；

⑥

=<<=. 6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其在特征，再运用分组求和法求和。