自主招生辅导
保送生数学辅导（1）函数部分
主要方法：数形结合，构造法，迭代，换元法，判别式法.
例1.已知函数()(1)1f x x x =+-，关于x 的方程()f x x m =+有三个不同实根.求实数m 的取值范围.
例 2. 设定义域为R 的函数?????=≠-=)
1(,0)1(,1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）
A ．0c
B ．0>b 且0 C ．0 D ．0≥b 且0=c 例3. 设函数()),f x x =（1）求证()f x 是奇函数；（2）求证()f x 在R 是单调递减函数；（3 ）解方程：1)21)0x x -+-=. 练习：关于x 的不等式（x x a x a x x 844)3 232+<+++-的解集为A ，不等式 5log 22<+x x 的解集为B ，B B A =Y ，求实数a 的取值范围。 例4.关于x 的方程2 lg()lg()4ax ax =的实根都大于1.求实数a 的取值范围. 例5.已知函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根，问(())f f x x =是否有实根并证明你的结论. 例6.设9k ≥，解关于x 的方程：32229270x kx k x k ++++= 例7. 关于x 的方程ax ex x x +-=232ln 有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）． ??? ? ?+∞-21,.e e A ??? ??+∞-221,.e e B ()e C ,.∞- ??? ? ?+∞-e e D 1,.2 例8. 已知二次函数)(x f 满足,2)2(,1)2(==-f f 且)4(4 1)(2+≤≤x x f x 对一切实数x 恒成立，则)4(f 的值是.__________ 例9. 设二次函数2 ()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）当x R ∈时，都有(1)(1)f x f x -+=--且()f x x ≥成立;(2)当(0,2)x ∈时，21()()2 x f x +≤；（3）()f x 在R 上的最小值为0. (Ⅰ)()f x 的解析式；（Ⅱ）求最大的实数m ，使得存在t R ∈，只要[1,]x m ∈，就有()f x t x +≤成立. 例10.2281 ax x b y x ++=+的最大值是9，最小值是1.求实数,a b . 例11. 设a 是已知实数，)(x f 是定义在[]1,1-上的函数满足：1)1(,0)0(==f f ，且对任意[]1,1,-∈y x 都有())()(12y af x f a y x f +-=?? ? ??+成立．⑴ 求a 值； ⑵ 判断)(x f 的奇偶性；⑶ 求??? ??71f 的值． 例12. 若不等式y x k y x +≤+ 2对任意正实数x 、y 成立，求实数k 的取值范围 例题答案：1.5 (1,)4m ∈-；；3.（3）23x =-；练习：0≥a ；4.1(0,)100 ；5.无； 6.3x x k ==+；；例8. 419；例9.（1）21()(1)4 f x x =+； （2）9；例10.5a b ==；11.1(1),(2)2a =奇；（3）17；12. 26≥k 课后练习： 1.已知函数c b a x f x <<-=,12)(且)()()(b f c f a f >>，则有（ ） A ．0,0,0<< B ．0,0,0>≥ C ．c a 22 <- D ．222<+c a 2.已知1x 是方程3lg =+x x 的根，2x 是方程310=+x x 的根，那么(21=+x x ） A ．6 B ．3 C ．2 D ．1 3.已知函数)(x f 是定义在R 上的单增函数，且是奇函数，关于t 的不等式 0)1()(2>-+t f bt f 对任意),0(+∞∈t 恒成立，则实数b 的取值范围是.________ 4.若2log 0a x x -<对任意1(0,)2 x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 5. 已知函数x x x f 21 2)(-=，（1）若()2f x =，求x ；（2）若()()022≥+t mf t f t 对[]2,1∈t 恒成立。求实数m 的取值范围． 6. 方程27)(+=+xy y x 的正整数解共有__________个 7.设y x ,为实数，且满足：,1 )1(2009)1(1)1(2009)1(33?????=-+--=-+-y y x x 则y x +=.________ 8.若,123222=++y xy x 则xy y x ++的最小值是.__________ 9. 不等式0104422>+++++b ay x y xy x 对任意实数y x ,恒成立，则b a ,应满足的条件是___________. 9. 关于x 的不等式215log 1)log (6)log 30a a x ax ?+++≥（其中1)a >有且 只有一个解，求a . 答案：;；3.41>b ；4.1(,1)16； 5.2(1)log 1);(2)5x m =≥-； 6. 2个；；8. -89；9. 25,20>=b a ；10.2a =