有效数字和误差

误差与有效数字

武汉市第六中学物理教研组 朱克生

物理实验离不开误差分析和测量值与计算值的有效数问题。本文主要目的是了解误差的有关概念，并对测量值与计算值的有数数字的保留个数做一个定量的描述。

一、误差

1、误差的定义

测量值与被测物体的真实值之间的差异叫误差。误差是绝对不能避免的，但是可以减小。

2、误差的分类

（1）、从误差来源上分为偶然误差与系统误差。

①偶然误差是由于实验人和读数的不准确等偶然因素造成的。它的特点是：当多次重复同一测量时，偏大和偏小的机会比较接近，可以用取平均值的方法来减小偶然误差。

比如长度的测量，多次测量同一个物体的长度，估计值就会或大或小，为了减小误差可以取平均值。

②系统误差是由仪器结构缺陷、实验方法不完善造成的。系统误差的特点：多次重复同一测量的结果总是大于（或小于）被测量的真实值，呈现单一倾向。比如采用打点计时器来验证机械能守恒定律，由于空气阻力和计时器与纸带的摩擦，造成物体增加的动能总比．．物体减小的重力势能小。

（2）、从误差分析上分为绝对误差与相对误差。

①绝对误差，测量值与真实值之差。注意：绝对误差有正负之分的。比如长度的测量，要估计到最小分度的下一位，估读总是不准确的，测量值有时比真实值大，有时比真实值小，所以绝对误差有正有负，但绝对误差的大小一般不大于最小分度值（天平指感量）。

②绝对误差的绝对值与测量值的百分比称为相对误差。如果绝对误差用Δx 表示，测量值用x 表示，则相对误差就是η=%100??x

x 。严格讲，式中分母应为真实值。实验估算时则用测量值代替。（人教版高中物理必修一P99）

绝对误差由于仪器本身的原因造成，一般很难减小，所以在相同的条件下为了提高测量的准确程度，应该考虑尽量减小相对误差。

比如用逐差法求匀变速直线运动的加速度。如果所给的长度有五段，此时应该舍去一段，我们就舍弃长度小的哪一段，因为在绝对误差相同的情况下，长度小的相对误差要大一些。

二、有效数字

1、定义：具体地说，是指在实验中实际能够测量到的数字。比如某一物体的长度测量值

是13．3mm、0 ．0030m，则要由左向右从第一个不为零的数字数起分别有三位和两位有效

数字。能够测量到的数字是包括最后一位估计的，不确定的数字。我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做近似数字。把测量结果中能够反映

被测量大小的带有一位近似数字的全部数字

．．．．叫有效数字。前面的两个测量值中13mm和0.003m是可靠数字（即准确数），而0.3mm和0.0000m是估计的，为近似数字。

2、记录结果保留的有效数字

在高中阶段有两个测量工具是没有估计值的，它们分别是秒表与游标卡尺。其它测量工具记录测量结果有准确值和估计值两部分组成。比如最小分度是“1”的，要估读到最小分度的下一位。最小分度是“2”、“5”，分别按二分之一或五分之一估读到最小分度的同一位。

图1图2

比如图1，0．6A量程电流表的最小分度是0.02A，记录结果就是0.51A，其中0.01A为估读的，因为指针达到或超过了一格的二分之一，没有超过的不多读。比如图2读0.50A。

图3图4

比如图3，15V量程的电压表最小分度是0.5V，可将11.5V到12.0V之间分成五等分，然后就看到指针接近或达到一格的五分之三，记录结果是11.8V。而图4读12.5V。

3、计算结果保留的有效数字。

实验的结果往往是由若干直接测量值经过运算得到的。每一个直接测量值的误差都对最后结果产生影响，应当按照一定的数学方法来确定运算结果的有效数字。但是这种处理方法

比较复杂，中学阶段不做要求。运算结果如果题目中有要求就按要求保留有效数字

．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．个数

．．，如

果没有要求一般取两位或三位有效数字就可以了。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

《仪表维修工》（中国石油大学出版社）第69页