三月份三角函数经验分析与注意事项及复习战略

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三月份三角函数经验分析与注意事项及复习战略

第一节三角函数的定义、诱导公式

1、回归定义，用定义解题达到精准神速之效。注意r的取值恒为正，而x与y的取

值在于角度所在象限；

2、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。口诀的核心内容就是和二分之派有关。先

看辅助角，辅助角为二分之派的奇数倍，sin→cos cos→sin；若为偶数倍，则不变。

再令原始角度为第一象限角，然后加上辅助角后落在哪个象限，两个象限对应的三

角函数值正负性相同则符号为正，若正负性相反则为负。

第二节三角函数中二倍角公式及其两角和差公式的运用

1、余弦二倍角公式的三种形式需要特别注意！尤其是二倍角公式中影响w的

变化情况需要谨慎；

2、二倍角公式的另一种运用就是降幂，实现化简。两角和与差公式中需注意正弦的

符号是跟着走的而余弦的符号是相反的；

3、三角函数中各个公式的运用顺序：诱导公式→二倍角公式→两角和差公式→辅助

角公式（化一公式）；

第三节三角函数图像和性质

把正弦函数一个周期函数图象烂熟于心，能很快的在稿纸上画出来。并且记住它的

一些基本性质：对称性、单调性、区间最值、奇偶性的判断；

第四节正弦型三角函数的综合分析

整体看待：把正弦后面的部分看做一个整体，在讨论单调性的时候只需令整体落在

正弦函数对应的单调区间即可；在讨论对称性与区间最值的时候也是用同样的方法。第五节解三角形题型剖析

1、齐次等式的运用：边化正弦、正弦化边；

2、三角形内角和为180度，其中一角的正弦等于另外两个角的和的正弦；其中一个

角的余弦等于另外两个角的余弦的相反数；

3、求边或三角形面积都需要用到余弦定理，对已知角用余弦定理，然后根据题意再

建立一个关于边的方程从而解之；

易错误区：

1、求值三角函数的选择，已知角度落在第一二象限，取余弦；已知角度落在第一四象限，取

正弦；这样取为了保证最后结果的唯一性；

2、诱导公式化简时符号千万要注意；

3、二分之派是正余弦的互化的核心枢纽；看到二分之派就要有意识的sin→cos cos→sin；

4、在讨论正弦型函数的性质时整体看待的前提是把变量角度化正；

5、万能公式牢记于心，很多时候可以达到事半功倍的效果；

6、如果三角函数部分想拿满分，赶紧去练习化简吧，化简不能超过一分钟，否则难拿高分，

争分夺秒的战术永远是在高考数学中一举夺魁，笑傲江湖并立于不败之地的有力法宝！

不为最后一搏，岂能笑傲江湖？！Year 2012.Apr.16

初中数学_锐角三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和 与现实生活的联系． 2．能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的 倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算． (二)能力训练要求 1．经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有 条理地，清晰地阐述自己的观点． 2．体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问 题和解决问题，提高解决实际问题的能力． 3．体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神． (三)情感与价值观要求 1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲． 2．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯． 教学重点 1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系． 2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的 联系． 教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比．

教学方法 引导—探索法． 教具准备 FLASH 演示 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 用 FLASH 课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右 分层次出现： [问题 1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他 的边和角吗？ [问题 2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发 展，幢幢大楼拔地而起．70 年代位于南京西路的国际饭店还一直是 上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂 冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？ 你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？ 通过本章的学习，相信大家一定能够解决． 这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起．(板书课题§1．1．1 从梯子的倾斜程度谈起)． Ⅱ．讲授新课 用多媒体演示如下内容：

初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析

初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析 一、选择题 1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ ） A ． 12 B ． 2 C ． 3 D ． 3 【答案】A 【解析】 【分析】 首先连接OC ，由CE 是⊙O 切线，可证得OC ⊥CE ，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接OC ， ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°， ∵OA=OC ， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COE=∠A+∠OCA=60°， ∴∠E=180°-90°-60°=30°， ∴sinE=sin30°=12 . 故选A. 2．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且1 2 MN BC = ，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 设a ＝1 2BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝ 1 2 BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝ 1 2 （BM·DM?CN·EN ）＝()()2 21tan tan 22 2x a x a tan x a ααα????-?=? ? --， ∵ 2 a tan α ?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分， 故选：A ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

三角函数教材分析()

第四章 三角函数教材分析 2006.3.3 三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的式子变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。本章所学的知识内容，既是解决生产实际问题的工具，又是学习后继知识内容和高等数学的基础。 (一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，以及三角函数的图象和性质，已知三角函数值求角等。 (二)章头引言安排了一个实际问题——求半圆内接矩形的最大面积。这个问题可以用二次函数来解决，但如果设角度为自变量，就会得到三角函数式，学生尚未学过求它的最大值。 (三)第一单元是“任意角的三角函数”。首先推广了角的概念，介绍了弧度制，接着把三角函数的概念由锐角直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的基本关系式及正弦、余弦的诱导公式。而且教科书在本大节的各小节中，都安排了许多实例以及知识的应用。 1.任意角，包括任意大小的正角、负角和零角，应该注意掌握终边相同的角、象限角、轴上的角（限界角）等概念的联系与区别，要求能准确地表示，还要注意与这些角有关的角的表示，如：已知角α是第几象限的角，求2α、3 α角所在的象限和2α角所在的位置；运用“整数集=奇数集∪偶数集”写出终边在x 轴或y 轴上的角α的集合。

注意：“角α的终边在x 轴的非负半轴上”的叙述方式，与过去的说法“角α的终边在x 轴的正 2.由于任意角α的三角函数值仅与角α的终边所在的位置有关，与其终边上的点的位置选取无关；而且三角函数的定义是同角三角函数关系式，乃至整章知识的基础，所以必须牢固掌握任意角的三角函数的定义。要结合单位圆内的三角函数线，掌握数形结合的数学思想方法解决三角函数问题。 3.三角函数线：单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示。用三角函数线的数值来代替三角函数值要比由定义所规定的比值来求得三角函数值要直观得多，因此三角函数线是讨论三角函数性质的一个重要工具，特别是在求取值范围、比较大小、解三角不等式等问题时，用三角函数线来求解十分简捷。另外，三角函数线又是绘制正弦曲线、正切曲线的基础。 4.诱导公式在三角函数求值、化简三角函数式、证明三角恒等式中起着重要的桥梁作用，一定要熟记在心。可以用“奇变偶不变，符号看象限”或“纵变横不变，符号看象限”来帮助记忆。 5. 同角三角函数基本关系式，可用“正六边形记忆法”来记忆。当已知一个角的一个三角函数值时，可以按照“正 六边形”图示来求出这个角的其他三角函数值，值得提示的 是：应该首选倒数关系，尽量少用平方关系，因为用平方关 系时，需要讨论三角函数值的符号。 (四)第二单元是“两角和与差的三角函数”。先引入平面内两点间距离公式(只通过画图说明公式的正确性，不予 严格证明)，用距离公式推出和角的余弦公式，然后顺次推 出其他公式，同时安排了这些公式的简单应用和实际应用， 包括解决引言中的实际问题，引出半角公式、和差化积及积化和差公式让学生有所了解。 1.两角和与差的三角函数公式是本节所有公式（二倍角公式、半角公式以及万能公式、积化和差公式与和差化积公式）的基础，在教学过程中，要将公式之间的内在联系讲透。既要重视公式的正向运用，也要重视公式的逆用与变形运用训练，提高公式的灵活应用水平。 2.三角公式的主要运用是三角函数式的化简、求值及证明三角恒等式。 在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切割化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等。 i ）注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧： ①常值代换，特别是“1”的代换，如：θθctg tg =1，θθ2 2cos sin 1+=，θθ22csc 1ctg -=，θθ22sec 1tg -=等等； ②项的分拆与角的配凑； ③降次与升次； ④万能代换。 ii ）对于形如θθcos sin b a +的式子，要引入辅助角?并化成)sin(22?θ++b a 的形式，这里辅助角?所在的象限由b a ,的符号决定，?角的值由a b tg = ?确定。对这种思想，务必强化训练，加深认识。 αααcot

2020年高考数学三角函数专题解题技巧

三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-

深圳市初中数学锐角三角函数的解析含答案

深圳市初中数学锐角三角函数的解析含答案 一、选择题 1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是() A．4 B．83C．6 D．43 【答案】B 【解析】 【分析】 设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案. 【详解】 设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB， 由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC， ∴∠OAB=60°， 在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB3 ∴光盘的直径为3 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数. 2．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图： （1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C； （2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D； （3）连接BD，BC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝ 3 2 D．cosD＝ 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论． 【详解】 由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确； ∴点B在以AD为直径的圆上， ∴∠ABD＝90°，故A正确； ∴点C是△ABD的外心， 在Rt△ABC中，sin∠D＝AB AD ＝ 1 2 ， ∴∠D＝30°，∠A＝60°， ∴sinA＝ 3 2 ，故C正确；cosD＝ 3 2 ，故D错误， 故选：D． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（） A．23B．3C．33D．3 【答案】A 【解析】

谈谈你对开展《三角函数》单元主题教学的一些看法与观点。

谈谈你对开展《三角函数》单元主题教学的一些看法与观点。 答：《三角函数》教材分析及教学建议 一、新旧教材对比分析 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。三角恒等变换在数学中有一定的应用。三角函数与三角恒等变换是高中数学课程的传统内容，因此，本模块的内容属于“传统内容”。与以往的教科书相比较，本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。 1．以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干，教材体系更显合理。 “标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习目标是： （1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用； （2）运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。 根据上述学习目标，在编写教科书过程中，特别注意突出主干内容，强调模型思想、数形结合思想。 “三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，研究三角函数的基本性质，并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。 与传统的处理方法不同，这里把三角恒等变换从三角函数中独立出来，其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。 为了实现削枝强干的目标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理。在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角以及符号等内容。任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。三角恒等变换中，两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。积化和差、和差化积、半角公式都作为三角

高中文科数学三角函数知识点总结

三角函数知识点 一．考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二．知识点 1．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x +

(1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。 （2）商数关系： ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． x y +O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o|cosx| |cosx|>|sinx| |cosx|>|sinx| |sinx|>|cosx| sinx>cosx cosx>sinx 16. 几个重要结论:O O x y x y T M A O P x y

人教版九年级数学《锐角三角函数》优质说课稿

今天我说课的课题是人教版初中数学新教材九年级数学下册 28章《锐角三角函数》。对于本章，我将从教材内容，学情分析、教学目标，教学重点、难点，教学方法和学法等几个方面加以说明。 一、教材内容分析 本章教材分为二个小节：第一节包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦、正切的概念)，特殊角三角函数值以及用计算器求已知锐角角函数值或已知三角函数值求锐角；第二节包括解直角三角形。这两大块是紧密联系的，锐角三角函数是角直角三角形的基础，为解直角三角形提供了有效的工具。解直角三角形又为锐角三角函 数提供了与实际紧密联系的沃土，为锐角三角函数提供了与实际联 系的机会。锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如测量、建筑、物理学中，人们常常遇到距离、角度、高度的计算，这 些都归结到直角三角形中边角的关系问题，而这些关系又恰好是锐 角三角函数中的正弦、余弦和正切的关系。纵观江西省近年来的中考，特殊角三角函数的运算以及解直角三角形的应用也是考查的重点，题目设计贴近于实际生活。因此，是初中数学的教学的重要内 容之一。同时，又为学生进入高中后学习任意角三角函数打下基础。 二、学情分析 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探 究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握直角三角形中各 边和各角的关系（如直角三角形中的勾股定理，两锐角互余等知识），能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有一定的 推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了坚实基础。 心理上九年级学生的逻辑思维已从经验型逐步向理论型发展，观察 能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

三、教学目标 根据教学内容和学情确定本章的教学目标 （一）知识与技能目标： 1、通过实例使学生理解并认识锐角三角函数的概念，符号的含义，掌握锐角三角函数正弦、余弦、正切的表示。 2、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，那么它的三角函数值也都固定这一事实。 3、掌握特殊角30°、45°、60°正弦、余弦、正切值。 4、能够正确使用计算器，由已知角求函数值求或由已知函数值求锐角。 5、使学生学会根据定义求锐角的三角函数。 6、了解坡度问题中坡比、铅直高度、水平距离等有关的概念，用坡度解决实际问题。 （二）情感、态度与价值观目标： 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要学生进行观察、思考、交流，合作、探究进一步体会数学知识之间的联系，充分感受数学中数形结合的数学思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。 四、教学重点、难点、关键

锐角三角函数--特殊角的函数值

25.2锐角三角函数（2） 教学目标 ：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点： 进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。 教学准备：一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程： 一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ， 所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a

《锐角三角函数》题型分析

《锐角三角函数》题型分析 【经典范例引路】 例1（考察基本的三角函数关系）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值；（3）求A A 22cos sin +的值；（4）求tanA ?tanB 的值。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900 ，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 解题关键：熟记锐角三角函数的基本概念及公式： 特别要熟记的内容：当∠A+∠B ＝900时，（1）sinA ＝cosB ＝cos （900-A ）； （2）sin 2A+ sin 2B ＝1或sin 2A+ cos 2A ＝1；cos 2 A+ cos 2B ＝1 （3）tanA ?tanB=1 例2（考察特殊角的计算）计算：020045sin 30cot 60sin +? 解题关键：扎实的实数计算能力是关键，尤其是分数及含有根号的无理数计算化简 例3（考察锐角三角函数值的转换）已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2 5 tan = B ，那么cosA （ ） A 、 25 B 、35 C 、5 5 2 D 、32 变式：已知α为锐角，且5 4 cos = α，则ααtan sin +＝ 。 解题关键：已知任意一个锐角三角函数值都可以转换出其它两个锐角三角函数值 例4（考察锐角三角函数的增减性及二次根式、绝对值的化简问题） 已知009030<<<βα，则αβαβcos 12 3 cos )cos (cos 2-+- --＝ 。 解题关键：（1）理解锐角三角函数的增减性:sinA 和tanA 的值随∠A 的增大而增大，即角度越大，sinA 和tanA 的值就越大，而cosA 的值随∠A 的增大而减小（反之也成立）。 （2）记得公式==a a 2

三角函数教材分析及教学建议.doc

《三角函数》教材分析及教学建议 一、新旧教材对比分析 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域屮具有重要的作用。这是学生在高屮阶段学习的最后一个基本初等函数。三角恒等变换在数学屮有一定的应用。三角函数与三角恒等变换是高屮数学课程的传统内容，因此，木模块的内容属于“传统内容”。与以往的教科书相比较，本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。 1. 以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干，教材体系更显合理。 “标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习H标是： （1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题屮的作用； （2）运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。 根据上述学习Fl标，在编写教科书过程屮，特别注意突出主干内容，强调模型思想、数形结合思想。 “三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，研究三角函数的基本性质，并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。 与传统的处理方法不同，这里把三角恒等变换从三角函数屮独立出来，其H的也是为了在三角函数一章屮突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。 为了实现削枝强干的Fl标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理。在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角以及符号arcsinx,arccosx,arctanx等内容。任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。三角恒等变换屮，两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。 根据上述考虑，本模块先安排三角函数，再安排平面向量，然后再把三角恒等变换作为平面向量的一个应用，安排在第3章，紧接着再安排解三角形的内容（放在数学5的第1章）。这样的教材体系的合理性在于： （1）以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础，三角函数置于其上位概念（即函数）之下，使三角函数的学习有一?个好的“先行组织者”，找到一个有力的“固着点”-三角函数的学习是一种“逐渐分化”式的学习。 （2）三角函数的学习为平面向量的学习作了必要的准备，因为平面向量的某些内容（向量的数量积）需要用到钝角的三角函数。 （3）将三角恒等变换安排在平而向量Z后，使学生能够切实感受到平而向量的威力（用向量为工具推导三角变换公式非常简捷，血用其他方法都比较繁琐）。另外, 由于三角

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）

初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案

初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2 【答案】C 【解析】 分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值． 详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA=BC，AC⊥BD， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点A（1，1）， ∴OA=， ∴BO=， ∵直线AC的解析式为y=x， ∴直线BD的解析式为y=-x， ∵OB=， ∴点B的坐标为（?，）， ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴， 解得，k=-3， 故选C． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到

达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ．1000tan α米 D ．1000sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α= ，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α= ， ∴1000tan tan AC AB αα ==米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= 23，那么AB 的长是（ ） A ．3 B ．43 C 5 D 13【答案】A 【解析】 根据锐角三角函数的性质，可知cosA= AC AB =23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A ∠的邻边 斜边，然后带入数值即可求解. 4．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重

三角函数教材分析解读

第一章 三角函数教材分析 三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础 本章教学时间约用16课时，具体分配如下(仅供参考)： 1.1任意角和弧度制 约2课时 1.2 任意角的三角函数 约3课时 1.3 三角函数的诱导公式 约2课时 1.4 三角函数的图象和性质约4课时 1.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 约2课时 1.6 三角函数模型的简单应用 约2课时 小结与复习 约1课时 一、 内容与要求 (一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、以及三角函数的图象和性质和三角函数模型的简单应用 (二)章头引言安排了一个天体运动问题——地球与月亮、月亮的圆缺和农历日期的周期对应的规律 第一大节是“任意角和弧度制”教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，和换算关系等； 第二大节是“任意角的三角函数”，由锐角三角函数直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式 第三大节是“三角函数的诱导公式” 能够通过诱导公式化简和计算. 第四大节是“三角函数的图象和性质”x y sin = ，x ∈ [0,π2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2 π个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质 第五大节是“函数y=Asin(ωx+φ) 的图象” 通过图像研究性质. 第六大节是“三角函数模型的简单应用” 三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型. (三)本章的教学要求是： 1．使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算 2．使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式 3．使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力 4．三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型，初步掌握其实际应用方法

2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——4.三角函数、解三角形

4．三角函数、解三角形 一、选择题 【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x + 2π 3 )，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线C 2 B ．把 C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π 6 个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12 个单位长度，得到曲线C 2 【2016，12】已知函数)2 ,0)(sin()(π ?ω?ω≤ >+=x x f ，4 π - =x 为)(x f 的零点，4 π = x 为 )(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)36 5,18(π π单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 【2015，8】函数()f x =cos()x ω?+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） A ．13 (,),44k k k ππ- +∈Z 错误!未找到引用源。 B ．13 (2,2),44k k k ππ-+∈Z 错误!未找到引用源。 C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13 (2,2),44 k k k -+∈Z 【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=o o o o （ ） A ．3- B ．3 C ．12- D ．12 【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则 y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）

锐角三角函数说课稿

《锐角三角函数》说课稿 武城县滕庄中学苏永坤 一、说教材： 这节课是人教版数学教科书九年级下册第二十八章第一节锐角三角函数第一课时，主要内容是了解锐角三角函数的意义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 本节课是学生在学习勾股定理、相似三角形的基础上学习锐角三角函数，教材从一例实际问题引入，把它抽象成数学问题，转化成前面已经所学过的有关直角三角形的性质来解决，从而得出正弦的概念，这节课内容不仅在实际问题中有广泛应用，又为下面学习解直角三角形做基础，因此，在教材中处于十分重要的地位。 二、说教学目标： 在新课改革的背景下的数学应以学生的发展为本，学生的能力培养为主，同时从知识教学、技能训练等方面，根据《新课程》标准对本节课内容的要求及针对学生的一般性认知规律和学生个性品质发展的要求，确定教学目标如下： 知识目标： 1、让生初步了解锐角三角函数的意义。 2、理解在直角三角形中一个锐角的对边的比值就是这个锐角的正弦函数。 3、会根据已知直角三角形的边长，求一个锐角的正弦值。 能力目标： 1、培养学生发现直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边的比值不变的规律。 2、理解锐角与锐角三角函数之间是一一对应的关系，体会函数的思想和数形结合的思想。 情感目标： 1、通过让生探求正弦函数经历自主探索、合作交流、归纳总结等活动，培养学生探索的科学精神。 2、进一步培养学生一丝不苟、严谨治学的科学态度和强烈地学习欲望。 教学重点： 锐角的正弦函数的定义。 教学难点： 理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。 三、学情分析： 本节内容学生已经学习了勾股定理和相似三角形的知识，有了一定的知识基础，认识能力和逻辑思维能力逐步增强，对于学习锐角三角函数有积极的作用，但本节内容是学生新接

锐角三角函数之间的关系和特殊角Word版

课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角 学习目标： 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。 自主学习 一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的 值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的 值.sin cos =α 二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角，且5 3sin = α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13 12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5 3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13 5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。 合作再探 一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化） ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、 若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中，有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值