工程数学基础教程课后习题答案
工程数学基础习题解答
习题一
A
一、判断题
1.√；，
2.√；
3.×；
4.×；
5.×；
6.×；
7.×；
8.√；
9.√；10.×.
二、填空题
1.;C C A B
2.111(){1,2,3,4},(){,,},(){,,},(){1,4},(){2,3};f f a b e f A a b e f B f b --=====D R
3.满;
4.2sup =
E ,3inf -=E ; 5.0; 6.0; 7. n ; 8.Y .
B
1.证 ()y f A B ?∈?,x A B ?∈?使得)(x f y =.由x A B ∈?,得x A ∈,且x B ∈故()()y f x f A =∈且()y f B ∈,即()()y f A f B ∈?,因此()()()f A B f A f B ???.
当f 是单射时,只需证明()()()f A f B f A B ???即可： ()()(),y f A f B f ?∈??R f 由是单射知,().
(),(),1X y f x y f A y f B x ?=∈∈∈使得且
,,()(),x A x B x A B y f x f A B ∴∈∈∈?=∈?且即从而故()()()f A f B f A B ???.
是可能的，例如,
2:,[2, 0],[1, 3],[1, 0].f x
x A B A B =-=-?=-取则()([1,0])[0, 1], f A B f ?=-=于是而
[][]()()0, 4[0, 9]0, 4.f A f B ?=?=从而有 .
2. 证（1）n ?∈,有)2 ,2(12 ,12][-?-+-n n ,故 ∞
=-?-+-1)2 ,2(12 12][n n ,n .
另一方面,)2 ,2(-∈?x ,k ?∈
,使][12 ,12k k x -+-∈,故 ∞
=-+-∈1
][12 12n n ,n x ,于是
?
-)2 ,2( ∞
=-+-1
][12 12n n
,n .
因此, ∞
=-+-=
-1
][12 ,12)2 ,2(n n
n .
（2）n ?∈,有)12 ,12(]2 ,2[n n +--?-,故 ∞
=+--?-1)12 ,12(]2 ,2[n n n .
另一方面,对任意]2 ,2[-?x ,即2>x ,k ?∈
,使得212>+>k
x ,即
)12 ,12(k k x +--?,从而 ∞
=+--?1)12 ,12(n n n x ，故 ∞
=-?+--1
]2,2[)12 ,12(n n n .
因此, ∞
=+--=
-1
)1
2,12(]2,2[n n n .
3. sup ,sup ,sup ,.A A A μμμμ''===证设且要证唯一只需证明即可
sup ,,,sup ,,;.inf .
A A A A A μμμμμμμμμμ'''=≤=''≤= 因为是最小上界而是的上界故又因为是最小上界而是
的上界故因此 类似地可以证明是唯一的 4. 证 设{}D Y αα∈是线性空间X 的一族子空间,要证D Y X αα∈?也是的线性子空间.显然D Y αα∈?≠?，z 只需证明.D Y X αα∈?对的线性运算是封闭的事实上，,D
x y Y αα∈?∈?及,λ?∈,从而对每一个D ∈α,有,x y Y α∈,故x y Y α+∈,x Y αλ∈.于是,D x y Y αα∈+∈?,D x Y ααλ∈∈?.因此,D
Y αα∈?是X 的线性子空间. 5. ,,,W f g W λ?∈?∈证显然包含零多项式故非空；又及，有
()(0)()(0)(0)(0)(0)(0)[(0)(0)][(0)(0)]000,f g f g f g f g f f g g '''''+++=+++=+++=+=即
;()(0)()(0)(0)(0)[(0)(0)]00,.
f g W f f f f f f f W λλλλλλλ'''+∈+=+=+==∈即 [0, 1].n W P 所以,是的线性子空间
111102112
1001121 [0, 1],(),()2.(0)(0)0,0,,()(1).
n n n n n n n n n n n f W P f x a x a x a x a f x na x a x a f f a a a a f x a x a x a x a x -----'?∈?=++++=+
++'+=+==-=++++-设则由
得即故
23(1,,,,),dim .n x x x x W W n -=由上可知,是的一个基故
6. 1(1),(0)0.()0,0.T T T x T T x -?===“”:因为是线性的故有于是,若则由存在知是单射,从而有 1T T -?“”:要证存在,只需证明是单射：
121212121212,,((),()()()0,0,,.
x x X T x T x T x x T x T x x x x x T ?∈=-=-=-==当)即时由条件得即故是单射 1112121211221122(2),,,,,s.t.,,(),().y y Y x x X y Tx y Tx x T y x T y λλ--?∈?∈?∈====及即于是有
1111111221122112211221122(+)[()()][()]()(),T y y T T x T x T T x x x x T y T y λλλλλλλλλλ-----=+=+=+=+
1:.T Y X -→故是线性的
7. 22
22
:,.B A σ??→
解首先验证是线性的然后求其在即下的矩阵
22
1212,,,,X X k k σ??∈
?∈由的定义，有 1
0010
000,
,
,
0001
00
1()B ??
????
??
=?
???????????????
1122011221012021122(+)(+)+()+(),k X k X A k X k X k A X k A X k X k X σσσ===
22
22
:
.σ??→故是线性的
1112
21
22
1
00
10
00
0,,,0
00
01
00
1E E E E B ????????
====??????????
??
??
??
关键是求基元的像在基下的坐标：
()()()1111122122111
0000000,00,T
a
b a
c
d c
E aE E cE E E a c σσ????
??
===+++=?
???????????
即
()()()1211122122120
10
00000,00,T
a
b a c
d c E E aE E cE E a c σσ????
??
===+++=?
???????????
即
()()()21111221222100010000,00,T
a
b b
c
d d
E bE E dE E E b d σσ????
??
===+++=?
???????????
即
()()()2211122122200
00
10
00,00,T
a
b b c
d d E E bE E dE E b d σσ????
??
===+++=?
???????????
即
000
0.0000a
b
a b A c d c d ??
???
?∴=??
??
??
习 题 二
A
一、判断题
1.√；
2.×；
3.√；
4.√；
5.×；
6.√；
7.×；
8.×；
9.√；10.√；11.×；12.×.
二、填空题
1.x ；
2.n ；
3.2,(1),i,i λλλλ-+-；
4. 1,1λλ-+；
5.200004014????-??????
；6.200020012??
????
????；7.O ； 8.O ；9.1λ-；10.6.
三、单项选择题
1.(d)；
2. (b)；
3. (b)；
4. (d)；
5. (a).
B
1.解
（1）E A λ-()[]
???→????
?????-----??→?????????-----=-+212]3,2[]2,1[020012
201200120012λλλλλλλ ()[]()[]()[]
()[]222311322132232)2(00)2(10001020)2(10201
-?+-?-?--?+??→?????????----???→?????????-----λλλλλλλλ ()[]???????
?-??→?????????---?3123)2(11)2(0001
000
1λλ,
3123()()1, ()(2).d d d λλλλ∴===-
（2）E A λ-[][]()[]
??→????
?????------??→?????????------=+
-λλλλλλλ13123,1111111111111
()[][]
3211222311111011010011012λλλλλλλλλλ+?-????+----????????+--???→+???→????
????-------????
[]
()[]???
?????-++???→?????
????-++---?-+)2)(1(11)2)(1(0001011117312λλλλλλλλ, 1()1d λ∴=,1)(2+=λλd ,)2)(1()(3-+=λλλd .
（3）E A λ-????
?
?????+---→????????
??+---=5234
0100010012345100010001λλλλλλ
λλ
??
????????++---→5423001001000
12
λλλλλ????
?
?????+++--→54320010001000123
2λλ
λλλλ
????
??????++++→54321112
34λλλλ, 12()()()1d d d λλλ∴===,5432)(2
3
4
4++++=λλλλλd .
（4）[]1,2310013
004100140071211721761671E A λλλλλλλλλ----????????++????-=??→????--------????????
()[]()()()21122314162131113001000021000(1)0004210(4)21061110611
1λλλλλλλλλλλλλλ+-+????
-+-????
+?-?????-????--????????-+-????????→????→????-----+--????
--???? []()22
43232
10001
0000(1)000(1)0
0062106
2
1061010
10(1)0λλλλλλλλ+?????+????????--????
???→????→????------????---????
()()()2
4
21[4()]
[24(1)]
10
[246]
[41]
[342]2
2100
01
000(1)0(1)0000
010********(1)(1)01001
01010
λλλλλλ-?-?-+?-?-+?-?????
?-????-??
?????→????→??-???
???-??-????-????-?
?
[][]24
2,4(2)
3,4[32]10
4100010
0(1)0100011
1
0(1)λλλ-+?????
????-???
?????→???→????????-????
, 123()()()1d d d λλλ∴===,4
4)1()(-=λλd .
2. 解 (1)∵4
det ()(2)A λλ=-+，∴4
4)2()(+=λλD ,又∵010
212101
00≠-=++λλ,
∴1)(3=λD ,从而1)()(21==λλD D .于是不变因子为1)()()(321===λλλd d d ,
44)2()(+=λλd ；初等因子组为4)2(+λ. (2)2
21
001
00
10010()0
0000()0
00
()B λα
λα
λαλαλλαλαλα
λα++????
????++?
???
??????+-+????
+-+????
?
????
???
?
??
?++?22)()(11αλαλ, 故不变因子为 1)()(21==λλd d ,2
3)()(αλλ+=d ,2
4)()(αλλ+=d ;
初等因子组为 2
2)(,)(αλαλ++.
(3)显然3
13()1,det ()(1)()D C D λλλλ==+=,而
2
(1)(5)
08(1)
adj ()3(1)(1)6(1)2(1)
0(1)(3)C λλλλλλλλλλ+++??
??=+++?
???-++-??
， ∴1)(2+=λλD .
因此2321)1()(,1)(,1)(+=+==λλλλλd d d ; 初等因子组:2
)1(,1++λλ.
（4）由第1题（4）知1)()()(321===λλλd d d ,4
4)1()(+=λλd .
也可这样解：由行列式的Laplace 展开定理得
43
1
21
det ()(1)411D λλλλλλ
----=
?
=-+，
故4
4)1()(-=λλD ;又)(λD 的左下角的三阶子式372471
672170
142+-=---+λλλλ
与)(4λD 是互质的,所以1)(3=λD ,从而1)()(12==λλD D .
因此4
4321)1()(,1)()(,1)(-====λλλλλd d d d ;初等因子组:4
)1(-λ.
3.解（1）∵1
2
020(1)(1)(2)2
11E A λλλλλλλ---=
-=+--+，∴1~12A J ??
??
=-??????.
（2）∵E A λ-6
11123034371230343104252
373
-+-+-=-++-+-=--+--=
λλλλλλλλλλλλ 6
11
1
23036411022-+-+++----=λλλλλλλ
)i )(i )(1(123+--=-+-=λλλλλλ，
∴~A J ???
????
?-=i i 1
. （3）∵[]1,231001300410014007121172117616171E A λλλλλλλλλ----????????++????
-=→????
--------????????
[][][])1(12)1(13)6(14+?+-?+?+???→?λ?????
????
???-----→???????
??
???--------λλλλλλλλλλ2
2
22
)1()
1(0100
000)1(0000111
60124000)1(0003
1