高三数学理科模拟试题及答案

一、选择题：

1.

10i

2-i

= A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i

解：原式10i(2+i)

24(2-i)(2+i)

i =

=-+.故选A.

2. 设集合{}1|3,|

04x A x x B x x -??

=>=

?

，则A B = A. ? B. ()3,4 C.()2,1- D. ()4.+∞

解：{}{}1|

0|(1)(4)0|144x B x x x x x x x -??

=<=--<=<

?

.(3,4)A B ∴=.故选B.

3. 已知ABC ?中，12

cot 5

A =-， 则cos A = A.

1213

B.

513 C.513

- D. 12

13

-

解：已知ABC ?中，12cot 5A =-，(,)2

A π

π∴∈.

12

cos 13

A ===-

故选D. 4.曲线21

x

y x =

-在点()1,1处的切线方程为

A. 20x y --=

B. 20x y +-=

C.450x y +-=

D.

450x y --=

解：11122

2121

||[]|1(21)(21)

x x x x x y x x ===--'=

=-=---, 故切线方程为1(1)y x -=--,即20x y +-= 故选B.

5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为

A.

10

10

B. 15

C.

310

10

D.

35

解：令1AB =则12AA =,连1A B 1C D ∥1A B ∴异面直线BE 与1CD 所成的角即1A B

与BE 所成的角。在1A BE ?中由余弦定理易得1310

cos A BE ∠=。故选C 6. 已知向量()2,1,10,||52a a b a b =?=+=，则||b = A. 5

B. 10

C.5

D. 25

解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。故选C 7. 设323log ,log 3,log 2a b c π===，则 A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>

解：322log 2log 2log 3b c <<∴>

2233log 3log 2log 3log a b a b c π<=<∴>∴>> .故选A.

8. 若将函数()tan 04y x πωω??=+> ?

?

?

的图像向右平移6

π个单位长度后，与函数tan 6y x πω??

=+ ??

?

的图像重合，则ω的最小值为

A ．1

6

B. 14

C. 13

D.

12

解：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π

ππππωωω???

?=+??????

→=-=+ ?

+? ????向右平移个单位 1

64

()6

62k k k Z π

π

ωπωπ

+=

∴=+∈∴

-

， 又min

1

02

ωω>∴=.故选D 9. 已知直线()()20y k x k =+>与抛物线

2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，

若||2||FA FB =，则k = A. 13

B.

2

C. 23

D.

22

解：设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线 ()()20y k x k =+>恒过定

点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,于N , 由

||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则

1

||||2

OB AF =

, ||||OB BF ∴

= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022

(1,22)1(2)3

k -∴=

=

--, 故选D 10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

A. 6种

B. 12种

C. 30种

D. 36种 解：用间接法即可.22244430C C C ?-=种. 故选C

11. 已知双曲线()22

2210,0x y C a b a b

-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为

3的直线交C 于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为A ．6

5 B. 75 C. 58 D.

95

解：设双曲线22

221x y C a b

-=：的右准线为l ,过

A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,

BD AM D ⊥于,由直线AB 的斜率为3,知

直线AB 的倾斜角为

1

6060,||||2

BAD AD AB ?∴∠=?=

, 由双曲线的第二定义有

1||||||(||||)AM BN AD AF FB e -==-11

||(||||)22AB AF FB ==+.

又156

43||||25

AF FB FB FB e e =∴?=∴= 故选A

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“?”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西

D. 下

BN l ⊥解：展、折问题。易判断选B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

13. (4

y x 的展开式中33x y 的系数为 6 。

解：(4

224y x x y x y =，只需求4()x y 展开式中的含xy 项

的系数：246C =

14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则9

5

S S = 9 . 解：{}n a 为等差数列，95

53

995S a S a ∴

== 15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。若圆C 的面积等于74

π

，则球O 的表面积等于 8π.

解：设球半径为R ，圆C 的半径为r ，2277.44

4r r ππ==,得由 因为222R OC =

=。由2222217)84

R r R =+=+得22R =.故球

O 的表面积等于8π.

16. 已知AC BD 、为圆O :224x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为

(

M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 。

解：设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222123d d OM ==+.

四边形ABCD 的面积22121||||8()52

S AB CD d d =?=≤-+= 三、解答题： 17设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，

3

cos()cos 2

A C

B -+=

，2b ac =，求B 。 分析：由3

cos()cos 2

A C

B -+=，易想到先将()B A

C π=-+代入

3cos()cos 2A C B -+=得3

cos()cos()2

A C A C --+=然后利用两角和与差的

余弦公式展开得3

sin sin 4A C =；又由2b ac =，利用正弦定理进行边角互

化，得2sin sin sin B A C =，进而得sin B =.故233

B ππ

=或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B π=

时，由1cos cos()2

B A

C =-+=-，进而得3

cos()cos()212

A C A C -=++=>，矛盾，应舍去。

也可利用若2b ac =则b a b c ≤≤或从而舍去23

B π

=。不过这种方法学生不易想到。

18（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,AB AC D ⊥、E 分别为1AA 、1B C 的中点，DE ⊥平面1BCC （I ）证明：AB AC =

（II ）设二面角A BD C --为60°，求1B C 与平面BCD 所成的角的大小。 （I ）分析一：连结BE ，111ABC A B C -为直三棱柱， 190,B BC ∴∠=?

E 为1B C 的中点，BE EC ∴=。又DE ⊥平面1BCC ，

BD DC ∴=（射影相等的两条斜线段相等）而DA ⊥平面ABC ，

AB AC ∴=（相等的斜线段的射影相等）

。 分析二：取BC 的中点F ，证四边形AFED 为平行四边形，进而证AF

∥DE ，AF BC ⊥，得AB AC =也可。

分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。

（II ）分析一：求1B C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点1B 到面BDC

的距离即可。

作AG BD ⊥于G ，连GC ，则GC BD ⊥，AGC ∠为二面角A BD C --的平面角，60AGC ∠=?.不妨设23AC =，则2,4AG GC ==.在RT ABD ?中，由

AD AB BD AG ?=?，易得6AD =.

设点1B 到面BDC 的距离为h ，

1B C 与平面BCD 所成的角为α。利用

111

33

B B

C BC

D S D

E S h ???=?，可求得h =23，又

可求得

1

43BC = 11

sin 30.2

h B C αα=

=∴=? 即1B C 与平面BCD 所成的角为30.?

分析二：作出1B C 与平面BCD 所成的角再行求解。如图可证得

BC AFED ⊥面，所以面AFED BDC ⊥面。由分析一易知：四边形AFED

为正方形，连AE DF 、，并设交点为O ，则EO BDC ⊥面，OC ∴为EC 在面BDC 内的射影。ECO ∴∠即为所求。以下略。

19（本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式。 解

：（

I

）

由

11,

a =与

142

n n S a +=+，有

12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=

由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-

又12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．

（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=?，113

224

n n n n a a ++∴

-= ∴数列{}2

n n a

是首项为12

，公差为34

的等比数列． ∴

1331(1)22444

n n

a n n =+-=-，2

(31)2n n a n -=-? 评析：第（I ）问思路明确，只需利用已知条件寻找1n n b b -与的关系即可．

第（II ）问中由（I ）易得11232n n n a a -+-=?，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1(,n n n a pa q p q +=+为常数)，主要的处理手段是两边除以1n q +． 20（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列与数学期望。

（II ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率11462108

15

C C P C ?==

（III ）ξ的可能取值为0，1，2，3

1234211056(0)75C C P C C ξ==?=，11121

46342212110510528

(1)75

C C C C C P C C C C ξ==?+?=

， 21622110510(3)75

C C P C C ξ==?=

，31

(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-== 21（本小题满分12分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>

的离心率为3，过右焦点F 的直

线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距

离为

2

（I ）求a ，b 的值；

（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有

OP OA OB =+成立？

若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。 解:(I ）设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l

=

1c =.

又c e a b a ==∴==

（II ）由(I ）知椭圆的方程为22

:132

x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y

由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 :1l x my =+

代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然0?>。 由韦达定理有：1224,23m y y m +=-

+12

24

,23

y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为： 点1212P (,)x x y y ++的坐标为，点

P 在椭圆上，即

22

1212()()132

x x y y +++=。

整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=。 又A B 、在椭圆上，即22221122236,236x y x y +=+=.

故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++与①代入②解得

212

m =

1222y y ∴+=-,12x x +=22432232

m m -+=+,即3(,22P ±.

当3,(,:12222

m P l x y =

-=+; 22.(本小题满分12分)

设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x < （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()2122

4

In f x ->

解: （I ）()2222(1)11a x x a f x x x x x

++'=+=>-++

令2()22g x x x a =++，其对称轴为12

x =-。由题意知12x x 、是方程

()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为

480(1)0a g a ?=->??

-=>?

，得1

02a << ⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数；

当3,(,),:12222

m P l x y =-

=-+. ⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数；

（II ）由（I ）21

(0)0,02

g a x =>∴-<<，222(2)a x x =-+2

()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2

设()()221(22)1()2

h x x x x ln x x =-++>-，

则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++ ⑴当1(,0)2x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在1[,0)2

-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减。

()1112ln 2

(,0),()224

x h x h -∴∈->-=

当时 故()22122

()4

In f x h x -=>．