2017中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)

全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】

图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。

1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题

2、倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形

3、角平分线在三种添辅助线

4、垂直平分线联结线段两端

５、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长,

6、图形补全法:有一个角为6０度或１２0度得把该角添线后构成等边三角形

7、角度数为30、6０度得作垂线法：遇到三角形中得一个角为３0度或6０度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成３0-6０-9０得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。

8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或3０-60-９0得特殊直角三角形,或40－6０-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数，这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。

常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变

换中得“对折”法构造全等三角形.

2)遇到三角形得中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思

维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形.

3)遇到角平分线在三种添辅助线得方法，（１)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂

线,利用得思维模式就是三角形全等变换中得“对折”,所考知识点常常就是角平分线得性质定理或逆定理.(2)可以在角平分线上得一点作该角平分线得垂线与角得两边相交,形成一对全等三角形。(3）可以在该角得两边上,距离角得顶点相等长度得位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上得某点作边线,构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定得平分线，构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得

“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或就是将

某条线段延长,就是之与特定线段相等，再利用三角形全等得有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段得与、差、倍、分等类得题目.

6)已知某线段得垂直平分线，那么可以在垂直平分线上得某点向该线段得两个端点作连线,

出一对全等三角形。

特殊方法:在求有关三角形得定值一类得问题时，常把某点到原三角形各顶点得线段连接起来，利用三角形面积得知识解答.

一、倍长中线(线段)造全等

例1、已知，如图△AＢＣ中,ＡＢ=５，AC=3，则中线ＡD得取值范围就是＿＿_＿_____、例2、如图,△ABＣ中，E、F分别在AB、AC上,ＤE⊥DF,D就是中点，试比较ＢE+CF与EF 得大小、

例3、如图,△AＢＣ中，BD=DＣ=ＡC,E就是ＤC得中点,求证:AＤ平分∠BＡE、

应用:

1、以得两边AB、ＡC为腰分别向外作等腰Rｔ与等腰Rt,连接DＥ,M、Ｎ分别就是BC、DE得中点.探究:AM与ＤＥ得位置关系及数量关系.

(1）如图①当为直角三角形时,ＡM与DE得位置关系就是,

线段AM与DE得数量关系就是;

（2)将图①中得等腰Rt绕点Ａ沿逆时针方向旋转（０<<90)后,如图②所示,(1)问中得到得两个结论就是否发生改变?并说明理由.

二、截长补短

E

D

C

B

A

D

C B

A

P

2

1D

C

B

P

Q

C

B

A

O E

C

B

1、如图,中，AB=2AC,ＡＤ平分,且A Ｄ=B Ｄ，求证:C Ｄ⊥AC

２、如图,ＡD ∥ＢC,EA,E Ｂ分别平分∠DAB,∠ＣBA,C Ｄ过点Ｅ，求证;AB ＝ＡD+ＢＣ。

3、如图,已知在内,,,P,Q 分别在BC ，C Ａ上,并且ＡP,BQ 分别就是,得角

平分线。求证:B Ｑ+A Ｑ＝AB+BP

４、如图,在四边形ABCD 中，BC>BA ，A Ｄ＝CD,BD 平分， 求证：

5、如图在△AB Ｃ中,AB>AC ，∠１＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-ＡC ＞P Ｂ-PC

应用:

三、平移变换

例１ A Ｄ为△A ＢC 得角平分线,直线M Ｎ⊥AD 于A 、Ｅ为M Ｎ上一点,△A ＢC 周长记为,△ＥBC 周长记为、求证＞、

例2 如图,在△ＡBC 得边上取两点D 、E,且ＢＤ=C Ｅ，求证：ＡB ＋AC ＞ＡD+AE 、

E D C

B A

四、借助角平分线造全等

１、如图,已知在△A ＢC 中,∠B=60°,△AB Ｃ得角平分线AD,CE 相交于点O,求

证:OE=OD

N

M E F

A

C B

A

2、如图,△ＡBC 中，A Ｄ平分∠BAC,ＤG ⊥ＢＣ且平分BC ，ＤE ⊥AB 于E,DF ⊥A Ｃ于F 、 (1)说明ＢE=CF 得理由；(２)如果ＡB=,AC ＝,求AE 、ＢE 得长、

应用:

１、如图①，OP 就是∠MON 得平分线,请您利用该图形画一对以ＯP 所在直线为对称轴得全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法,解答下列问题:

(1)如图②,在△ABC 中,∠A ＣB 就是直角，∠B =6０°，ＡD 、

CE 分别就是∠ＢＡC 、∠B ＣＡ得平分线，AD 、ＣE 相交于点Ｆ。请您判断并写出F Ｅ与ＦD 之间得数量关系;

（2）如图③,在△ABC 中,如果∠AC Ｂ不就是直角，而（１)中得其它条件不变，请问，

您在(1)中所得结论就是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立,请说明理由。

五、旋转

例１ 正方形ABC Ｄ中,E 为BC 上得一点，F 为ＣD 上得一点,BE+ＤF=EF ，求∠E ＡF 得度数、

例2 Ｄ为等腰斜边ＡB 得中点，DM ⊥DN,DM,D Ｎ分别交ＢＣ，CA 于点E,F 。

（1） 当绕点Ｄ转动时，求证ＤE ＝D Ｆ。 （2） 若AB ＝2,求四边形DECF 得面积。

例3 如图，就是边长为３得等边三角形，就是等腰三角形,且，以D 为顶点做一

个角,使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点Ｎ,连接MN,则得周长为 ; N

M

A

应用:

1、已知四边形中,，,，,,绕点旋转，它得两边分别交(或它们得延长线)于. 当绕点旋转到时(如图1),易证． 当绕点旋转到时，在图２与图３这两种情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样得数量关系?请写出您得猜想,不需证明.

2、已知:P Ａ=，ＰＢ＝4,以ＡＢ为一边作正方形ABC Ｄ,使P 、D 两点落在直线A Ｂ得两侧、

(１)如图,当∠APB=4５°时，求AB 及ＰD 得长; (２)当∠AP Ｂ变化,且其它条件不变时,求PD 得最大值,及相应∠A ＰＢ得大小、

3、在等边得两边AB 、ＡＣ所在直线上分别有两点M 、N,D 为外

一点,且,，BD=D Ｃ、 探究:当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动

时,BM 、NC 、MN 之间得数量关系及得周长Q 与等边得周长Ｌ得

关系.

E

D G

F

C B

A

(第23题图)

O P A M

N E B C D

F A E F B

D 图① 图② 图③ (图1)

(图2)

(图3)

图１图2 图3 (I）如图1,当点M、N边ＡB、AC上,且DM=ＤN时,BM、NC、MN之间得数量关系就是; 此时;

（II)如图2，点M、N边AB、AＣ上，且当DMDN时,猜想（I)问得两个结论还成立吗？

写出您得猜想并加以证明；

(IＩI）如图３,当M、N分别在边AB、CＡ得延长线上时,

若AN＝,则Q＝(用、L表示).

参考答案与提示

一、倍长中线(线段)造全等

例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中，AB=5,AC=3，则中线AD得取值范围就是__＿_____＿、

解:延长AD至Ｅ使ＡE=2AＤ,连BE，由三角形性质知

AB-BE <2ＡD<ＡＢ+BE 故AD得取值范围就是１＜ＡD<４

例２、如图,△AＢＣ中,E、Ｆ分别在AB、AC上，ＤＥ⊥ＤF,D就是中点,试比较BE＋CF与EF得大小、

解:（倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长ＦD至G使ＦG=2EＦ，连ＢG,ＥG,

显然BG=FC,

在△EFG中,注意到DE⊥DF,由等腰三角形得三线合一知

EG＝EF

在△ＢEG中,由三角形性质知

ＥG

故：EF＜ＢE+FC

例3、如图,△ABC中,BD=DC=ＡC,E就是ＤC得中点,求证：AD平分∠BAE、

解:延长AE至Ｇ使AG＝2AＥ,连BG,DG，

显然DＧ＝AＣ，∠GＤC=∠ＡCD

由于DＣ=ＡC,故∠ＡDC=∠DＡＣ

在△ＡＤB与△ADG中,

BD=AC=ＤG,ＡＤ＝ＡD,

∠ADＢ=∠ADC＋∠ACD＝∠ADＣ+∠ＧＤC＝∠ADG

故△ADB≌△ＡＤＧ,故有∠BAD=∠ＤAG,即AＤ平分∠BAＥ

应用：

１、(０９崇文二模）以得两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt与等腰Rt,连接DE,M、N 分别就是BC、ＤE得中点.探究:AM与DE得位置关系及数量关系．

（1)如图①当为直角三角形时,AM与DE得位置关系就是

，

线段AM与DE得数量关系就是;

（２)将图①中得等腰Rt绕点Ａ沿逆时针方向旋转（0<<９0)后,如图②所示，(1)问中得到得两个结论就是否发生改变?并说明理由.

解:(1),;

证明：延长ＡＭ到G，使，连ＢＧ，则AＢＧＣ就是平行四边形

∴,

又∵

∴

再证:

∴,

延长ＭN交ＤE于H

∵

∴

∴

(2）结论仍然成立.

证明：如图，延长CA至F,使,F A交DE于点P，并连接ＢF ∵,

∴

∵在与中

∴(SＡS)

∴，G

C

H

A

B D

M

N

E

F

C

P

A

D

N

E

D

C

B

A

P

Q

C

B

A

∴ ∴ 又∵, ∴,且 ∴, 二、截长补短

１、如图，中,A Ｂ=2A Ｃ,AD 平分,且ＡD=ＢD,求证:CD ⊥AC 解:(截长法）在AB 上取中点F,连ＦD

△ＡDB 就是等腰三角形,F 就是底A Ｂ中点,由三线合一知 ＤＦ⊥AB,故∠AFD=90° △AD Ｆ≌△A ＤＣ(SAS)

∠A ＣD ＝∠ＡFD ＝90°即:ＣD ⊥A Ｃ

2、如图,AD ∥BC,ＥA,EB 分别平分∠DAB,∠CB Ａ,ＣD 过点E,求证；ＡＢ=ＡＤ+BC 解:(截长法)在AB 上取点Ｆ,使AF ＝A Ｄ,连FE △A ＤE ≌△ＡFE （ＳＡS) ∠AD Ｅ=∠AFE ， ∠ＡD Ｅ+∠ＢCE=180° ∠A ＦE ＋∠BFE ＝180° 故∠ECB ＝∠EF Ｂ △FBE ≌△CBE(AAS) 故有B Ｆ=ＢC

从而;ＡB=ＡＤ＋ＢＣ

3、如图,已知在△ABC 内，,,P ，Q 分别在B Ｃ，CA 上,并且ＡP,BQ 分别就是，得角平分线。求证：BQ+AQ=ＡＢ＋ＢP

解:(补短法, 计算数值法）延长AB 至Ｄ,使B Ｄ=BP,连ＤP 在等腰△BPD 中，可得∠BDP ＝40° 从而∠BDP=４0°＝∠A ＣP △ADP ≌△ＡCP(ASA) 故AD=A Ｃ

又∠QBC=4０°=∠Q ＣB 故 ＢQ ＝QC BD ＝BP

从而BQ+AQ=ＡB ＋B Ｐ

4、如图,在四边形ＡＢC Ｄ中,B Ｃ＞BA,ＡＤ＝CD,BD 平分, 求证:

解:（补短法)延长ＢA 至F,使BF ＝ＢＣ,连F Ｄ △BDF ≌△BD Ｃ(SAS)

故∠DFB=∠ＤCB ,FD ＝DC

P

2

1D

C

B

A

又A Ｄ＝CD

故在等腰△BFD 中 ∠ＤFB ＝∠DAF

故有∠BAD+∠BCD=18０°

５、如图在△A ＢC 中,AB ＞

A Ｃ,∠1=∠2,P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞P Ｂ-ＰＣ

解:（补短法)延长ＡC 至Ｆ,使AF=AB,连ＰD △ABP ≌△A ＦP(S ＡＳ) 故BP ＝PF 由三角形性质知

P Ｂ-P Ｃ=ＰF-PC < C Ｆ=AF －AC=AB-ＡＣ 应用:

分析:此题连接A Ｃ,把梯形得问题转化成等边三角形得问题,然后利用已知条件与等边三角形得性质通过证明三角形全等解决它们得问题。 解:有

连接AC ，过E 作并ＡC 于F 点 则可证为等边三角形 即, ∴ 又∵， ∴ 又∵ ∴ 在与中 ,,

D

E A

D

E

A

C

B

F

∴

∴

∴

点评:此题得解法比较新颖,把梯形得问题转化成等边三角形得问题，然后利用全等三角形得性质解决。

三、平移变换

例１ＡD为△AＢC得角平分线，直线ＭN⊥AD于Ａ、E为MN上一点,△ＡBC周长记为,△EＢC周长记为、求证>、

解:（镜面反射法)延长ＢＡ至F,使AＦ=ＡC,连FE

AD为△ABC得角平分线, MN⊥ＡD

知∠FAE＝∠CAＥ

故有

△FAE≌△CAE(SＡＳ）

故EF＝CE

在△BＥF中有：ＢE+EF>BF=ＢA＋ＡF=BＡ+AC

从而P B=BE+CE+ＢC>BF+BC=BA+AC+BＣ=PＡ

例2 如图,在△ＡBC得边上取两点Ｄ、E，且BD=ＣE,求证:ＡB+AC>AD+AＥ、

证明：取BC中点M，连AM并延长至N,使MＮ=AM,连ＢN，DN、

∵ＢＤ＝CＥ,

∴DM=EＭ,

∴△DMN≌△EMA(ＳAS）,

∴DN=AE,

同理BN=CＡ、

延长ＮD交AB于Ｐ,则BN＋BP>PN，DＰ+ＰA>ＡD,

相加得ＢN+ＢＰ+ＤＰ+ＰA>PN+AD，

各减去DP,得BN+ＡB>DＮ+AＤ,

∴AB+AC>ＡＤ+ＡE。

四、借助角平分线造全等

C

B

1、如图,已知在△ＡB Ｃ中,∠Ｂ=60°,△ＡBC 得角平分线ＡD,CE 相交于点O,求证:OE=OD,DC+ＡE =AC

证明 (角平分线在三种添辅助线,计算数值法)∠B=60度, 则∠B ＡC ＋∠BCA ＝120度; A Ｄ，CE 均为角平分线，

则∠ＯＡC+∠O ＣA=60度=∠A ＯE=∠ＣOD ； ∠AOC=12０度、

在AC 上截取线段AF=ＡE,连接OF 、 又AO=AO;∠OAE=∠ＯＡF 、则⊿ＯAE ≌ΔＯAF(SA Ｓ), OE=O Ｆ;A Ｅ=A Ｆ；

∠AO Ｆ=∠AO Ｅ＝60度、

则∠COF=∠AOC-∠AO Ｆ=6０度=∠COD; 又ＣO ＝CO;∠OCD=∠ＯCF 、 故⊿O ＣＤ≌ΔＯCF （SAS), OD=ＯF;CD=CF 、 OE ＝OD

ＤＣ+AE=ＣF+AF ＝ＡC 、

2、如图，△ABC 中,AD 平分∠BAC,D Ｇ⊥BC 且平分BC ，ＤE ⊥A Ｂ于E,DF ⊥AC 于F 、 (1)说明B Ｅ=C Ｆ得理由；(2）如果ＡB=,AC=,求ＡE 、BE 得长、 解:(垂直平分线联结线段两端）连接BD,DC DG 垂直平分BC,故BD=DC

由于ＡＤ平分∠BA Ｃ, DE ⊥A Ｂ于E,ＤF ⊥AC 于Ｆ，故有 ＥＤ＝D Ｆ

故RT △DBE ≌RT △ＤFC(H Ｌ) 故有ＢE ＝ＣF 。 ＡB+ＡC ＝2AE ＡE=(a+ｂ)/２ B Ｅ=(a －b)/2 应用:

1、如图①，OP 就是∠MON 得平分线，请您利用该图形画一对以ＯP 所在直线为对称轴得

全等三角形。请您参考这个作全等三角形得方法，解答下列问题:

(1）如图②,在△A ＢC 中,∠ACB 就是直角，∠B =６0°，AD 、C Ｅ分别就是∠BA Ｃ、∠

BC Ａ得平分线,A Ｄ、CE 相交于点F 。请您判断并写出F Ｅ与FD 之间得数量关系; (２）如图③，在△AB Ｃ中,如果∠ＡＣＢ不就是直角,而（１)中得其它条件不变,请问，

您在（1)中所得结论就是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。

E

D

G

F

C B

A

O

P

A

M

E

B

C

D F

A

E

F

B

D

解:（1）ＦE 与FD 之间得数量关系为 (2）答:（1)中得结论仍然成立。 证法一:如图1,在AC 上截取,连结F Ｇ ∵,ＡF 为公共边, ∴ ∴,

∵,AD 、CE 分别就是、得平分线 ∴ ∴ ∴

∵及ＦC 为公共边 ∴ ∴ ∴

证法二:如图２，过点F 分别作于点G ,于点H ∵,ＡＤ、C Ｅ分别就是、得平分线 ∴可得,F 就是得内心 ∴, 又∵ ∴ ∴可证 ∴ 五、旋转

例1 正方形A ＢＣＤ中,E 为B Ｃ上得一点,F 为CD 上得一点，B Ｅ＋DF=EF ，求∠EA Ｆ得度数、

证明:将三角形A ＤＦ绕点Ａ顺时针旋转９0度,至三角形ＡBG 则GE ＝GB+BE=D Ｆ+BE ＝ＥF 又AE=AE,AF=A Ｇ，

所以三角形AEF 全等于A ＥG

所以∠E ＡF ＝∠GA Ｅ=∠BAE+∠ＧAB=∠BA Ｅ+∠ＤＡF 又∠EAF+∠BAE ＋∠D ＡF=90 所以∠E ＡF=45度

例2 Ｄ为等腰斜边AB 得中点,ＤM ⊥D Ｎ，DM,D Ｎ分别交BC,ＣA 于点E,F 。

（１)当绕点Ｄ转动时,求证DE ＝ＤF 。 (2)若AB=2,求四边形ＤＥCF 得面积。

解:(计算数值法）(1)连接DC, D 为等腰斜边AB 得中点,故有C Ｄ⊥AB,CD ＝D Ａ C Ｄ平分∠B ＣA ＝９０°,∠E CD ＝∠DCA ＝４５° 由于D Ｍ⊥DN,有∠EDN =90°

图 1

图 2

由于 CD⊥AB,有∠CDＡ＝90°

从而∠CDE=∠FD A＝

故有△CＤE≌△ＡＤF(AＳA)

故有DE=DF

(2)S△AＢC=2, S四DECＦ= Ｓ△ＡＣD=１

例3 如图,就是边长为3得等边三角形,就是等腰三角形，且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交ＡＢ于点M，交AC于点N,连接MN,则得周长为 ;

解：（图形补全法，“截长法”或“补短法”, 计算数值法) AC得延长线与BD得延长线交于点F,在线段ＣF上取点E,使CＥ＝BM

∵△ＡBＣ为等边三角形,△ＢCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠ＭBD＝∠MBC+∠ＤBC=6０°+3０°=９0°,

∠DＣE=180°－∠AＣD=180°－∠ABＤ=90°,?又∵BＭ=ＣE,BD=ＣD,

∴△CＤE≌△BDM,

∴∠CDE=∠ＢDM,ＤE=ＤＭ，?∠NDE=∠NDC+∠ＣＤＥ=∠NDＣ+∠BDM=∠BDC-∠ＭＤN=120°-６0°=60°,

∵在△ＤMN与△DＥN中，

DＭ＝DE

∠MDN=∠EDＮ=6０°

DN=ＤN

∴△ＤMN≌△DEN,?∴MN=NE

∵在△DMA与△DEＦ中,

ＤM=DＥ

∠MＤA＝6０°- ∠ＭＤB=60°- ∠ＣDE＝∠EＤF （∠ＣDE＝∠BDＭ)

∠ＤＡＭ=∠ＤＦE=３０°

∴△ＤＭN≌△ＤEN（ＡAS),?∴MA=ＦE

得周长为AN＋MN+AM=AN+NＥ+ＥF=AＦ=6

应用:

1、已知四边形中，，,，，,绕点旋转,它得两边分别交（或它们得延长线)于．

当绕点旋转到时(如图1）,易证．

当绕点旋转到时,在图2与图3这两种情况下,上述结论就是否成立？若成立,请给予证明;若不成立，线段，又有怎样得数量关系?请写出您得猜想，不需证明.

解:(１）∵,,,

∴(S ＡＳ)； ∴, ∵, ∴,为等边三角形 ∴， ∴

(2）图2成立,图3不成立。

证明图2,延长D Ｃ至点K ,使,连接ＢK 则 ∴, ∵, ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 即

图3不成立,AE 、CF 、EF 得关系就是

2、(西城09年一模)已知：ＰA=,PB=4,以AB 为一边作正方形A ＢＣＤ,使P 、D 两点落在

直线AB 得两侧、

（1)如图,当∠ＡPB ＝45°时,求A Ｂ及PD 得长;

(2)当∠APB 变化,且其它条件不变时,求ＰD 得最大值,及相应∠ＡPB 得大小、

分析：（1)作辅助线,过点A 作于点Ｅ,在中,已知,ＡP 得值,根据三角函数可将A Ｅ，P Ｅ得值求出,由PB 得值,可求BE 得值,在中,根据勾股定理可将AB 得值求出；求PD 得值有两种解法,解法一:可将绕点Ａ顺时针旋转得到,可得,求PD 长即为求得长,在中,可将得值求出,在中，根据勾股定理可将得值求出;解法二:

过点P 作A Ｂ得平行线,与D Ａ得延长线交于F ,交ＰＢ于G ,在中,可求出AG ,E Ｇ得长,进而可知PG 得值，在中,可求出P Ｆ,在中，根据勾股定理可将PD 得值求出;

(2)将绕点A 顺时针旋转,得到,PD 得最大值即为得最大值,故当、P 、B 三点共线时，取得最大值，根据可求得最大值，此时.

解:（1)①如图,作于点E ∵中，, ∴ ∵

(图1)

(图2)

(图3)

K A

B

C

D

E F

M

N

图 2

E

P

A

D

C

B

P ′ P A C

B D

P ′ P A

C B D

∴ 在中, ∴

②解法一：如图,因为四边形A ＢC Ｄ为正方形,可将将绕点A 顺时针旋转得到,,可得，, ∴，, ∴, ∴; 解法二：如图,过点P 作AB 得平行线,与DA 得延长线交于F ,设ＤＡ得延长线交PB 于G .

在中，可得，, 在中,可得， 在中，可得

()523101*********

2

2

2=???

? ??+++????

??=+++=FG AG AD PF PD (2)如图所示,将绕点A 顺时针旋转，得到,PD 得最大值，即为得最大值 ∵中,,,且P 、D 两点落在直线AB 得两侧 ∴当、P 、B 三点共线时,取得最大值(如图)

此时，即得最大值为6

此时

３、在等边得两边AB 、AC 所在直线上分别有

两点Ｍ、N,D 为外一

点,且,，ＢD=DC 、 探

究:当Ｍ、N 分别在直线ＡB 、AC 上移动时,B Ｍ、NC 、ＭＮ之间得数量关系及得周长Q 与

等边得周长Ｌ得关系．

图1 图2 图3

（I ）如图１,当点M 、N 边AB 、A Ｃ上,且DM=DN 时,BM 、ＮＣ、ＭＮ之间得数量关系就是 ; 此时 ;

(II)如图2,点M 、N 边AB 、A Ｃ上，且当DMDN 时,猜想(I)问得两个结论还成立吗？写

P ′

P

A

C

B D

E

G

F

P A C

B

D

E

图 1 N M

A

D C

B

出您得猜想并加以证明;

(III) 如图3,当Ｍ、N 分别在边A Ｂ、ＣA 得延长线上时， 若ＡN=,则Q= (用、L 表示）.

分析:(1)如果,,因为，那么,也就有,直角三角形MBD 、ＮCD 中,因为,,根据HL 定理,两三角形全等。那么,,三角形NC Ｄ中,，,在三角形DNM 中,,,因此三角形D ＭＮ就是个等边三角形,因此,三角形AMN 得周长 ,三角形A ＢC 得周长，因此.

(２)如果,我们可通过构建全等三角形来实现线段得转换。延长AC 至E ,使，连接D Ｅ.(1)中我们已经得出,,那么三角形MBD 与EC Ｄ中,有了一组直角,,,因此两三角形全等,那么,,．三角形ＭDN 与E ＤN 中,有,,有一条公共边,因此两三角形全等,，至此我们把BM 转换成了ＣE ,把MN 转换成了NE ，因为,因此.Q 与L 得关系得求法同（１)，得出得结果就是一样得。

(3)我们可通过构建全等三角形来实现线段得转换,思路同(2)过D 作,三角形ＢDM 与ＣDH 中,由(１)中已经得出得,我们做得角，，因此两三角形全等(ＡＳA ）.那么,，三角形MDN 与ＮDH 中,已知得条件有,一条公共边ND ,要想证得两三角形全等就需要知道,因为,因此,因为，那么

,因此,这样就构成了两三角形全等得条件.三角形M ＤN 与D ＮH 就全等了.那么，三角形AMN 得周长

.因为,,因此三角形A ＭN 得周长.

解:（1)如图1,BM 、NC 、MN 之间得数量关系：；此时． (2）猜想:结论仍然成立.

证明:如图2,延长A Ｃ至E ，使,连接DE ∵,且 ∴

又就是等边三角形 ∴ 在与中 ∴(S ＡS ) ∴, ∴ 在与中

∴(ＳＡS ) ∴ 故得周长 而等边得周长 ∴

(3）如图3，当M 、N 分别在ＡB 、CA 得延长线上时,若，则(用x 、L 表示)．

点评:本题考查了三角形全等得判定及性质;题目中线段得转换都就是根据全等三角形

E

图 2

N

M

A

C

B H 图 3

N

M

A

C

B

来实现得,当题中没有明显得全等三角形时,我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知与所求条件相关得全等三角形。

专题：全等三角形常见辅助线做法及典型例题

《全等三角形》辅助线做法总结 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 一、截长补短法（和，差，倍，分） 截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相等（截取----全等----等量代换） 补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换） 例如：1，已知，如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。 2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD． 二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中 一个图形为基础，添加线段）构建图形。（公共边，公共角，对顶角，延长，平行）例如：已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。 三、延长已知边构造三角形 例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC D C B A 1 10 图 O A B C D E O

四、遇到角平分线，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等） 例如：已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD 。求证：∠B+∠ADC=180。 五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等） 例如：1如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。（三角形一边上的中线小 于其他两边之和的一半） 2，已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。 3，如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. E C B D A 六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆 ：遇到两组线段相等， 可试着连接垂直平分线上的点） 例如：在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC,D 为△ABC 外一点，且AD=BD,DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E,求证：DE=AE+BC 。 七、遇到等腰三角形，可作底边上的高，或延长加倍法（“三线合一”“对折”） A D B C C A E B D

2017中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)

全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题 2、倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3、角平分线在三种添辅助线 4、垂直平分线联结线段两端 ５、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长, 6、图形补全法:有一个角为6０度或１２0度得把该角添线后构成等边三角形 7、角度数为30、6０度得作垂线法：遇到三角形中得一个角为３0度或6０度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成３0-6０-9０得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或3０-60-９0得特殊直角三角形,或40－6０-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数，这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变 换中得“对折”法构造全等三角形. 2)遇到三角形得中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思 维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形. 3)遇到角平分线在三种添辅助线得方法，（１)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂

全等三角形中常用辅助线(经典)

三角形中的常用辅助线 课程解读 一、学习目标： 归纳、掌握三角形中的常见辅助线 二、重点、难点： 1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。 2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。 三、考点分析： 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

全等三角形中常见辅助线的添加方法

全等三角形中常见辅助线的添加方法举例 一． 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。 例：如图1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。 二、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。 例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF 三、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造 全等三角形。 例：如图3：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。 图3 练习：已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF ＝2AD 。 A B C D E F N 1 图1234 2 图A B C D E F M 123 4A B C D E A B C D E F 4 图

四、截长补短法作辅助线。 例如：已知如图5：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。 求证：AB －AC ＞PB －PC 。 五、延长已知边构造三角形： 例如：如图6：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 六、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图8：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 7 七、连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图9；AC 、BD 相交于O 点，且AB ＝DC ，AC ＝BD ，求证：∠A ＝∠D 。 八、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图10：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 A B C D N M P 5图12A B C D E 6 图O D B A 110 图O 10图D C B A M N

全等三角形辅助线专题

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 八年级数学上册辅助线专题 教学目标：掌握各种类型的全等三角形的证明方法 教学重点：构造全等三角形 教学难点： 如何巧妙作辅助线 知识点： （一）截长补短型 （二）中点线段倍长问题 （三）蝴蝶形图案解决定值问题 （四）角平分线与轴对称 （五）等腰直角三角形，等边三角形 （六）双重直图案与全等三角形 典型例题讲练 重点例题： 一、截长补短型 如图,R T △CDA ≌RT △CDB, ①、若∠ACD=30°，∠MDN=60°,当∠MDN 绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿ ②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM 、MN 、BN 三条线段之间的数量关系式为：＿＿＿＿＿＿ ③、由①②猜想：在上述条件下，当∠ACD 与∠MDN 满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。 B A C D M N ① B D A C M N ② A B C D M N ③

二、中点线段倍长问题 如图△ABC 中，点D 是BC 边中点，过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。当AE=AF 时，求证BE=CF 。 三、蝴蝶形图案解决定值问题 1、如图，在R t △ACB 中，∠ACB=90°,CA=CB,D 是斜边AB 的中点，E 是DA 上一点，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，交CD 于点F 。 （1） 求证：DE=DF.（2）若E 是线段BA 的延长线上一点，其它条件不 变，DE=DF 成立吗？画图说明。 2在△ABC 中，AB=AC,AD 和CE 是高，它们所在的直线相交于H 。 (1)如图1,若∠BAC=45°，求证：AH=2BD. (2)如图2，若∠BAC=135°，（1）中的结论是否依然成立？请你在图2中画出图形并加以证明。 3，如图，等腰直角三角形ABC 中，AB=AC,∠BAC=90°,BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D.求证BE=2CD. A B C D E F A B C D E F H A B C D E H B A C

全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点?下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考. 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用 截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等. 例1.如图1，在△ ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD . 分析：要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE，则只要证明 CF=CD . 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF. ?/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 ° ???/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° . 显然，△ AEO ◎△ AFO，?/ 5= / 4=60 ° ,?/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 ° 在厶DOC 与厶FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3, OC=OC ???△ DOC ◎△ FOC, CF=CD ? AC=AF+CF=AE+CD 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作 法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2:如图甲，AD// BC 点E在线段AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证： CD=AD F BC 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CE，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC如图乙 6 = CS CE= CE ???△ FCE^A BCE(SAS， ???/ 2=Z 1。 又??? AD// BC ???/ ADG-Z BCD：180°， ???/ DC+Z CD=90°,

全等三角形之辅助线(习题及答案)

全等三角形之辅助线（习题） 例题示范 例1：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边上一点，AD =AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ． 求证：CE =DE ． 【思路分析】1 读题标注：2梳理思路： 要证CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明． 观察图形，发现不存在全等的三角形． 结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接AE ，证明△ACE ≌△ADE ． 【过程书写】 证明：如图，连接AE ∵DE ⊥AB ∴∠ADE =90° ∵∠C =90° ∴∠C =∠ADE 在Rt △ACE 和Rt △ADE 中 AE AE AC AD =??=?（公共边）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ） ∴CE =DE （全等三角形对应边相等） 过程规划：1．描述辅助线：连接AE 2．准备条件：∠C =∠ADE =90°3．证明△ACE ≌△ADE 4．由全等性质得，CE = DE

巩固练习1.已知：如图，B ，C ，F ，E 在同一条直线上，AB ，DE 相交于点G ，且BC =EF ，GB =GE ，∠A =∠D ．求证：DC =AF ． 2.已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE ，DC = AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．过程规划： 过程规划：

3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的 中点．求证：BE=DF． 4.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°， 点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．求证：DE⊥AF．

全等三角形辅助线经典做法习题 (1)

全等三角形证明方法中辅助线做法 一、截长补短 通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件 1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.

3.如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD ，CE 交于点O,试判断BE,CD,BC 的数量关系,并加以证明. 4.如图,AD ∥BC,DC ⊥AD,AE 平分∠BAD,E 是DC 的中点.问：AD,BC,AB 之间有何关系？并说明理由. 5.(德州中考)问题背景： 如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系. (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=2 1 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由.

全等三角形辅助线画法

五种辅助线助你证全等 在证明三角形全等时，有时需添加辅助线，下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，可以帮助你更好的学习。 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等． 例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 二、中线倍长 三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路． 例2．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）． 分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．

解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．延长AD至E，使DE = AD=x． ∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD ∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB ∴BE=AC=5 ∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE 即7-5＜2x＜7+5∴1＜x＜6

全等三角形中辅助线的添加解析

全等三角形中辅助线的添加 一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。 二．知识要点： 1、添加辅助线的方法和语言表述 （1）作线段：连接……； （2）作平行线：过点……作……∥……； （3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……； （4）作中线：取……中点……，连接……； （5）延长并截取线段：延长……使……等于……； （6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……； （7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……； （8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用 常用的辅助线的添加方法： （1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。 （2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。 （3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 （4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。 （5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。 （6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。 三、基本模型： （1） △ABC中AD是BC边中线 方式1：延长AD到E，使DE=AD，连接BE

全等三角形辅助线技巧

注意全等三角形的构造方法 搞清了全等三角形的证题思路后， 还要注意一些较难的一些证明问题， 只要构造合适 的 全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了?下面举例说明几 种常见的构造方法，供同学们参考. 1 ?截长补短法 例1.如图（1）已知：正方形 ABCD 中, 求证：AB+BE=AC 由已知△ AEF ^A AEC, ???/ F=Z ACE=45）, ??? BF=BE ?- AB+BE=AB+BF=AF=AC 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB,由已知 △ ABE BA AGE, ? EG=BE, / AGE=Z ABE,： / ACE=45o, ? CG=EG, ? AB+BE=AG+CG=AC 2 .平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt △,有时可作出斜边的中线. 例 2. △ ABC 中，/ BAC=60 , / C=40° AP 平分/ BAC 交 BC 于 P , BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q , 求证：AB+BP=BQ+AQ 证明：如图（1），过 O 作 OD// BC 交 AB 于 D , ?/ ADO=/ ABC =180 ° - 60°- 40 ° =80°，又???/ AQO=/ C+/ QBC=80°, ???/ ADO=/ AQO ，又I/ DAO=/ QAO , OA=AO, ? △ ADO BA AQO ,「. OD=OQ , AD=AQ ，又T OD / BP, ? / PBO=/ DOB ，又 T/ PBO=/ DBO, ?/ DBO=/ DOB , ? BD=OD,「. AB+BP=AD+DB+BP 解法（一） （补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC F

全等三角形几种常见辅助线精典题型

全等三角形几种常见辅助线精典题型 一、截长补短 1、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． 2、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 3、如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，求AB 的长。 4、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE . N E B M A D D O E C B A M D C B A F D A

5、以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠． 6、如图所示，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC ?是顶角为120?的等腰三角形，以D 为顶点作一个60?的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上， 求AMN ?的周长． 7、如图所示，在ABC ?中，AB AC =，D 是底边BC 上的一点，E 是线段AD 上的一点，且2BED CED BAC ∠=∠=∠，求证2BD CD =. 8、 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE F A B C D E O O E D C B A N M D C B A E D B A E B A

全等三角形常用辅助线做法

全等三角形常用辅助线做 法 This manuscript was revised on November 28, 2020

五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考． 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等． 例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD． 分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD． 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°． 显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC， CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。 求证：CD=AD+BC。 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC，如图乙 ∴△FCE≌△BCE（SAS）， ∴∠2=∠1。 又∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4。 在△FDE与△ADE中， ∴△FDE≌△ADE（ASA）， ∴DF=DA，

全等三角形中做辅助线的技巧

全等三角形中做辅助线的技巧 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 图1-1 B

如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BC D ，C E 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC =AB+CD 。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC 例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB -AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC 图1-2 D B C 图 1-4 A B C

教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

教师用：全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三 线合一”的性质解题 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与 原中线长相等，构造全等三角形 3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法 （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 （2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点

D C B A 再向角平分线上的某点作边线，构造一对全 等三角形。 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三 角形 5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截 取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平 分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问 题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解：延长AD 至E 使AE ＝2AD ，连BE ，由三角形性质知 AB-BE <2AD

全等三角形辅助线系列之一---角平分线类辅助线作法大全

全等三角形辅助线系列之一 与角平分线有关的辅助线作法大全 一、角平分线类辅助线作法 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等．对于有角平分线的辅助线的作法，一般有以下四种． 1、角分线上点向角两边作垂线构全等： 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题； 2、截取构全等 利用对称性，在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形； 3、延长垂线段 题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形； 4、做平行线：以角分线上一点做角的另一边的平行线，构造等腰三角形 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形．或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形． 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形．至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件． 图四图三 图二 图一 Q P O N M P O N M B A A B M N O P P O N M B A

典型例题精讲 【例1】 如图所示，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，2AB BC BD =＋． 求证：180BAP BCP ∠∠=?＋． 【解析】过点P 作PE ⊥AB 于点E ． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，BN 平分∠ABC ，∴PE PD =． 在Rt △PBE 和Rt △PBC 中， BP BP PE PD =?? =? ， ∴Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），∴BE BD =． ∵2AB BC BD +=，BC CD BD =+，AB BE AE =-，∴AE CD =． ∵PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∴90PEB PDB ∠=∠=?． 在△P AE 和Rt △PCD 中， ∵PE PD PEB PDC AE DC =?? ∠=∠??=? ， ∴△P AE ≌Rt △PCD ，∴PCB EAP ∠=∠． ∵180BAP EAP ∠+∠=?，∴180BAP BCP ∠+∠=?． 【答案】见解析．

(完整版)几种证明全等三角形添加辅助线的方法

教学过程 构造全等三角形几种方法 在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。 一、延长中线构造全等三角形 例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。 证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。 ∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， ∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。 ∵在△ACE中，CE＋AC＞AE， ∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形 例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。 证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。如图4。 ∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE， ∴△ABD≌△AED（SAS）。 ∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。 而∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。 ∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。 三、作平行线构造全等三角形 例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。 证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。 则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。 ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。 ∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。 ∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF， ∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。 四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。 证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。 ∵∠BAC＝90°，AD⊥BM， ∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。 ∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°， ∴△ABM≌△CAF（ASA）。 ∴∠F＝∠AMB，AM＝CF。 ∵AM＝CM，∴CF＝CM。 ∵∠MCD＝∠FCD＝45°，CD＝CD， ∴△MCD≌△FCD（SAS）。所以∠F＝∠DMC。 ∴∠AMB＝∠F＝∠DMC。 五、沿高线翻折构造全等三角形 例5. 如图9，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＞∠CAD。求证：AB＞AC。

全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总

全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连 接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC 图1-1 O A B D E F C 图1-2 A D B C E F

精品文档交流 2 例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B= 2∠C ，求证：AB+BD=AC 2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ， 求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。 求证：BM-CM>AB-AC 图1-4 A B C D E

全等三角形几何证明-常用辅助线

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半 1 已知：如图，△ ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，求证：AD < - (AB+AC) 2 1 分析：要证明AD < - (AB+AC),就是证明AB+AO2AD 也就是证明两条线段之和大于第三 2 条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构 成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2A 中, 出现了 2AD 即中线AD 应该加倍。 证明：延长 AD 至E,使DE=AD 连CE 则AE=2AD 在厶 ADBm EDC 中, AD= DE ZADB= ZEDC BD= DC ???△ ADB^A EDC(SAS) ??? AB=CE 又在厶ACE 中, AC+C 呂 AE 1 ??? AC+AB>2AD 即 AD < - (AB+AC) 2 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即 中线倍长法。它可以 将分居中线两旁的两条边 AB AC 和两个角/ BAD 和/CAD 集中于同一个三角形中，以利于 问题的获解。 课题练习：ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，且BD=CD 求证AB=AC N, 作BE! AD 的延长线于E 连接BE E 例3：A ABC 中, AB=5 AC=3求中线AD 的取值范围 例4:已知在△ ABC 中, AB=AC D 在AB 上, E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于 F , 且 DF=EF 求证：BD=CE 课堂练习：已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线， AC 于 F ,求证：AF=EF 例5:已知：如图，在 ABC 中，AB AC , D E 上,且 DE=EC 过 D 作 DF //BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 例2:中线一倍辅助线作法 作 CF 丄 AD 于 F ， A ^式 1：延长 AD 到 E ， / 使 DE=AD B ————(连接BE 方式2:间接倍长 延长MD 到 使 DN=M P 连接CD A C △ ABC 中 AD 是BC 边中线 D

全等三角形_辅助线做法讲义

全等三角形问题中常见的辅助线的作法 巧添辅助线一——倍长中线 【夯实基础】 例：ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC 方法1：作D E ⊥AB 于E ，作D F ⊥AC 于F ，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC 中 方式1： 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CD 【经典例题】 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 C D A B D A B C E D A B C F E D C B A N D C B A M F E D A B C F E C A B D

例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线， 求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 【融会贯通】 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 提示：延长AE 、DF 交于G 证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC 2、如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 3、已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 提示：过T 作TN ⊥AB 于N 证明ΔBTN ≌ΔECD 第 1 题图 A B F D E C E D A B C F E A B C D 第 14 题图 D F C B E A D A B M T E

全等三角形经典辅助线做法汇总(供参考)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端 5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长， 6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折”法构造全等三角形． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.