高中数学知识点易错点梳理
高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜
x ｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜
y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2
+1,x ∈R}求M ∩N 的区别。
3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B
A ?时是否忘记?. 例如：()()012222
<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论
了a ＝2的情况了吗？
4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n
2，
12-n
，
12-n .22-n
如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中
7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？
6． 两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z
7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表:
9、
互 互
互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几
种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：
①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.
②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．
⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数
()a x f y +=()0( a 个单位得到的； 函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0( 12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y= 2 )3lg()4(--x x x 的定义域是 ； 复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域 14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数y =a sin 2 x +2cos x -a -2(a ∈R )的最小值为m , 求m 的表达 15、函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,则 ①若a ∈A,则a=f -1 [f(a)]; 若b ∈C,则b=f[f -1 (b)]; ②若p ∈C,求f -1 (p)就是令p=f(x),求x.(x ∈A) 即()()1.f a b f b a -=?=互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称, 16、互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数()x f y =在区间[]a a ,-上单调递增，则一定存在反函数，且反函数()x f y 1 -=也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调． 17、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 18、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法。 19、你知道函数()0>+ =a x a x y 的单调区间吗？（该函数在(]a -∞-,和[)+∞,a 上单调递增；在 [)0,a - 和(] a ,0上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！ 20、解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1） 字母底数还需讨论呀. 21、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？（b b a b b a n a c c a n log log ,log log log == ） 22、你还记得对数恒等式吗？（b a b a =log ） 23、“实系数一元二次方程02 =++c bx ax 有实数解”转化为“042 ≥-=?ac b ”，你是否注意到必须 0≠a ；当a=0时， “方程有解”不能转化为042 ≥-=?ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 二、三角、不等式 24、 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降 次, 25、 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为 单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 26、 在三角中，你知道1等于什么吗？（x x x x 2 2 2 2 tan sec cos sin 1-=+= ====?=0cos 2 sin 4 tan cot tan π π x x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛 的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限） 27、 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβ α222 等） 28、 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出 值的式子，一定要算出值来） 29、 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化 同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2 x=(1+cos2x)/2;sin 2 x=(1-cos2x)/2 30、 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （4 1 518sin ,42615cos 75sin ,42 675cos 15sin -=?+=?=?-= ?=?） 31、 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 2 1 ,==扇形α) 32、 辅助角公式：()θ++= +x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由a b = θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 33、 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取最 值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ） 三角函数性质要记牢。函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质： 振幅|A|，周期T= ω π 2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，反之亦然，使y 取到最 值的x 的集合为——————————， 当0,0>>A ω时函数的增区间为————— ，减区间为—————；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论。 五点作图法：令?ω+x 依次为ππ ππ 2,2 3, ,2 求出x 与y ，依点()y x ,作图 34、三角函数图像变换还记得吗？ 平移公式 （1）如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→ 平移至P ′（x ′，y ′），则 ?????+=+=. , ' 'k y y h x x （2） 曲线f （x ，y ）=0沿向量()k h a ,=→ 平移后的方程为f （x-h ，y-k ）=0 35、 有关斜三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式 36、 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值 范围及意义？ ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是],0[],2,0[,2, 0πππ?? ? ??. ②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是]2 ,0(),,0[),,0[π ππ． ③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是)2 ,2(],,0[],2,2[π πππ π--． 37、 同向不等式能相减，相除吗？ 38、 不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 39、 分式不等式 ()() ()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数 变为正值，奇穿偶回） 40、 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 41、 含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论) 42、 利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2 2?? ? ??+≤b a ab 等求函数的最值时， 你是否注意到a ，b + ∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等) 43、 ) R b , (a , b a 2ab 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，取等号） ； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）； 44、 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<a ）讨论完 之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 45、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 46、 对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题） 三、数列 47、 等差数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+；（2） 仍成等差数列数列}{ka },{a },{n 2n 12b a n +-；仍成等差数列n 23n n 2n n S S , S S , S -- （3）若三数成等差数列，则可设为a-d 、a 、a+d ；若为四数则可设为a-d 23 、a-d 21、a+d 21、a+d 2 3； （4）在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a 1 >0,d<0,解不等式组 a n ≥0 a n+1 ≤0 可得S n 达最大值时的n 的值;当a 1 <0,d>0,解不等式组 a n ≤0 a n+1 ≥0 可得S n 达最小值时的n 的值;（5）．若a n ,b n 是等差数列,S n ,T n 分别为a n ,b n 的前n 项和,则 1 m 21 m 2m m T S b a --=。.（6）.若{n a }是等差数列，则{n a a }是等比数列，若{n a }是等比数列且0>n a ，则{n a a log }是等差数列. 48、 等比数列中的重要性质：（1）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ?=?；（2） k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列 49、 你是否注意到在应用等比数列求前n 项和时，需要分类讨论．（1=q 时，1na S n =；1≠q 时， q q a S n n --=1)1(1） 50、 等比数列的一个求和公式：设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q , 则 n m m n m S q S S +=+． 51、 等差数列的一个性质：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n a 为等差数列的充要条件是 bn an S n +=2 （a, b 为常数）其公差是2a. 52、 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n b a c =，其中{}n a 是等差数列，{} n b 是等比数列，求{}n c 的前n 项的和） 53、 用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到11S a =了吗？ 54、 你还记得裂项求和吗？（如 1 1 1)1(1+-=+n n n n .） 四、排列组合、二项式定理 55、 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合． 56、 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先 法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法，还记得什么时候用隔板法？ 57、 排列数公式是： 组合数公式是： 排列数与组合数的关系是：m n m n C m P ?=！ 组合数性质：m n C =m n n C - m n C +1 -m n C =m n C 1+ ∑=n r r n C =n 2 1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C 二项式定理： n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， = 五、立体几何 58、 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线//线?线//面?面//面，线⊥线?线⊥面? 面⊥面，垂直常用向量来证。 59、 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法）三垂线法：一定平面，二作垂线， 三作斜线，射影可见. 60、 二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量 61、 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法） 62、 你记住三垂线定理及其逆定理了吗？ 63、 有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角，常常与经度及纬度联系在一起，你还记得经 度及纬度的含义吗？(经度是面面角；纬度是线面角) 64、 你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(V+F-E=2，其中V 为顶点数，E 是棱数，F 为面数)，棱的两 种算法，你还记得吗？(①多面体每面为n 边形，则E=2 nF ；②多面体每个顶点出发有m 条棱，则E= 2 mV ) 六、解析几何 65、 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率k 不存在的情 况？（例如：一条直线经过点?? ? ??- -23,3，且被圆252 2=+y x 截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.） 66、 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及λ值可要搞清） 线段的定比分点坐标公式 设P （x ，y ） ，P 1（x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，且→ → =21PP P P λ ，则 ??? ???? ++=++=λλλλ112 121y y y x x x 中点坐标公式??? ???? +=+=22 2121y y y x x x 若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是?? ? ??++++33321321y y y x x x ，。 67、 在利用定比分点解题时，你注意到1-≠λ了吗？ 68、 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到 的两条直线可以理解为它们不重合. 69、直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性.（如点 斜式不适用于斜率不存在的直线） 70、对不重合的两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ???≠=?122 11 22121//C A C A B A B A l l ； 0212121=+?⊥B B A A l l ． 71、直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. 72、直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为 1=+b y a x ，但不要忘记当 a=0时，直线y=kx