高中数学函数知识点总结材料(经典收藏)
高中数学函数知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？
A 表示函数y=lgx 的定义域，
B 表示的是值域，而
C 表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为
B A a ?
（答：，，）-???
???
1013
显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质：
{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n
要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有
2n 种选择， 即集合A 有2n 个子集。
当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -
（）若，；2A B A B A A B B ??==I Y
（3）德摩根定律：
()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==，
有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a
M M M a --<∈?5
0352 的取值围。
()（∵，∴
·∵，∴
·，，）
335
30
555
50
15392522∈--
?
????M a a M a a
a Y
注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0) 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m ，n 实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、
()()().
∨∧?可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”
若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧
若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p
命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质（高考经常考） x x A |{=满足条件}p ，x x B |{=满足条件}q ，
若 ；则p 是q 的充分非必要条件B A _____?； 若 ；则p 是q 的必要非充分条件B A _____?；
若 ；则p 是q 的充要条件B A _____?； 若 ；则p 是q 的既非充分又非必要条件___________?； 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）
注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 的映射个数有n m 个。
如：若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A
的映射有 个；A 到B 的函数有 个，若}3,2,1{=A ，则A 到B 的一一映射有 个。
函数)(x y ?=的图象与直线a x =交点的个数为 个。
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
()()
例：函数的定义域是
y x x x =
--432
lg ()()()（答：，，，）022334Y Y
函数定义域求法：
● 分式中的分母不为零；
● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；
● 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
● 正切函数x y tan = ??
?
?
?∈+≠∈Z π
πk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且
●
反三角函数的定义域
函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝
arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定
义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0,
π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？
[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 []（答：，）a a -
复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的围，即为[])(x g f y =的定义域。
例 若函数)(x f y =的定义域为??
?
???2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
分析：由函数)(x f y =的定义域为??
?
???2,21
可知：221
≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 2
12≤≤x 。
解：依题意知： 2log 2
12≤≤x 解之，得 42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x
1
的值域 2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。 3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
.1
12..2
22
22222
b
a y 型：直接用不等式性质
k+x bx
b. y 型,先化简，再用均值不等式
x mx n
x 1 例：y 1+x x+
x
x m x n c y 型 通常用判别式
x mx n x mx n
d. y 型
x n
法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1
例：y （x+1）1211
x 1x 1x 1
=
=++==≤
''
++=++++=+++-=
==+-≥-=+++
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例 求函数y=6
54
3++x x 值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 1
1cos y θθ
-=+的值域。
110
11
2sin 11|sin |||1,
1sin 22sin 12sin 1(1cos )
1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11
即又由解不等式，求出，就是要求的答案
x x x e y y e y e y y y y y y y x y x x y θθθθθθθ
θθθθθ-+=
?=>-+-+=?=≤+--=?-=++-=++=++=+≤≤
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个容 例求函数y=+-25x log 31-x （2≤x ≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有
根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值
域中同样发 挥作用。 例 求函数y=x+1-x 的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2=1上，
2
,(2),2(,20, (1)
的取值范围
(2)y-2的取值范围 解:(1)令
则是一条过(-2,0)的直线.
d 为圆心到直线的距离,R 为半径) (2)令y-2即也是直线d d
y x x y
k y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤ 例求函数y=)
2(2
-x +
)
8(2
+x 的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=
1362
+-x x
+
542
++x x
的值域
解：原函数可变形为：
y=)
20()
3(2
2
--+x +
)10()2(2
2
+++x
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点