人教版八年级上册数学《期末考试试题》及答案

八年级上学期数学期末测试卷

一．选择题

1.下列图形中是轴对称图形的个数是（ ）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

2.分式

1

1

x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 1x >

B. 1x ≠

C. 1x <

D. 一切实数

3.下列计算中，正确的是( ) A. x 3?x 2=x 4 B. x (x -2)=-2x +x 2 C. (x +y )(x -y )=x 2+y 2

D. 3x 3y 2÷

xy 2=3x 4 4.在1x ，25

ab ，3

0.7xy y -+，+m n m ，5b c a -+，23x π中，分式有（ ）

A. 2个；

B. 3个；

C. 4个；

D. 5个；

5.已知△ABC 的周长是24，且AB =AC ，又AD ⊥BC ，D 为垂足，若△ABD 的周长是20，则AD 的长为( ) A 6

B. 8

C. 10

D. 12

6.如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．

A. PA PB =

B. PO 平分APB ∠

C. OA OB =

D. AB 垂直平分OP

7.如图，△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，BC =10，BD =6，则点D 到AB 的距离是( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

8.已知x m ＝6，x n ＝3，则x 2m ―n 的值为（ ） A. 9

B.

34

C. 12

D.

43

9.若（a ﹣3）2+|b ﹣6|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（ ） A. 12

B. 15

C. 12或15

D. 18

10.如图，C 为线段AE 上一动点（不与A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ，以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（ ）

A. ①②③④

B. ②③④⑤

C. ①③④⑤

D. ①②③⑤

二．填空题

11.等腰三角形的一个外角是140?，则其底角是 12.计算：-4(a 2b -1)2÷8ab 2=_____． 13.若分式

2

21

x x -+的值为零，则x 的值等于_____． 14.已知a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2b ＋ab 2＝_______． 15.已知点 P （1﹣a ，a+2）关于 y 轴

的

对称点在第二象限，则 a 的取值范围是______．

16.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A ＝________________ °．

17.如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD =3，△ABC 的面积是_____．

18.如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件______，使得△ABD≌△ACD．（添一个即可）

19.多项式2

41

a+加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是________．（填上一个你认为正确的即可）

20.对于实数a，b，c，d，规定一种运算a b c d

=

ad-bc，如

10

2(2)

-

=1×(-2)-0×2=-2，那么当

(1)(2)

(3)(1)

x x

x x

++

--

=27时，则x=_____．

三．解答题

21.因式分解: (1)4x2-9 (2) -3x2+6xy-3y2

22.解下列方程并检验

(1)

27

1

326

x

x x

+=

++

(2)

31

3

221

x x

+=

--

23.先化简，再求值：[(x-2y)2-x(x-4y)-8xy]÷4y，其中x=-1，y=2．

24.先化简

2

11

1211

a a

a a a a

+

??

+÷

?

--+-

??

，再从0，1，2中选一个合适值代入求值．

25.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且BD和CE相交于O点. （1）试说明△OBC是等腰三角形；

（2）连接OA，试判断直线OA与线段BC的关系，并说明理由.

26.某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包

的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个. （1）求第一次每个书包的进价是多少元?

（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于480元，问最低可打几折?

27.八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A 、B 的距离，设计了如下方案：

（Ⅰ）如图5-1，先在平地上取一个可直接到达A 、B 的点C ，连接AC 、BC ，并分别延长AC 至D ，BC 至E ，使DC=AC ，EC=BC ，最后测出DE 的距离即为AB 的长；

（Ⅱ）如图5-2，先过B 点作AB 的垂线BF ，再在BF 上取C 、D 两点使BC=CD,接着过D 作BD 的垂线DE ，交AC 的延长线于E ，则测出DE 的长即为AB 的距离. 阅读后1回答下列问题：

（1）方案（Ⅰ）是否可行?说明理由.

（2）方案（Ⅱ）是

否可行?说明理由.

（3）方案（Ⅱ）中作BF ⊥AB ，ED ⊥BF 的目的是 ；若仅满足∠ABD=∠BDE ≠90°, 方案（Ⅱ）是否成立? .

答案与解析

一．选择题

1.下列图形中是轴对称图形的个数是（ ）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

【答案】C 【解析】 【分析】

根据轴对称图形的概念解答即可．

【详解】第一个图形是轴对称图形，第二个图形不是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，第五个图形不是轴对称图形． 综上所述：是轴对称图形的是第一、四共2个图形． 故选C ．

【点睛】本题考查了中对称图形以及轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解决此类问题的关键． 2.分式

1

1

x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A. 1x > B. 1x ≠

C. 1x <

D. 一切实数

【答案】B 【解析】

试题分析：分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义． 解：由分式有意义，得

x ﹣1≠0． 解得x≠1， 故选B ．

考点：分式有意义的条件． 3.下列计算中，正确的是( ) A. x 3?x 2=x 4 B. x (x -2)=-2x +x 2 C. (x +y )(x -y )=x 2+y 2 D. 3x 3y 2÷

xy 2=3x 4 【答案】B

【解析】

【分析】

根据同底数幂的乘法、整式的乘法和除法计算即可．

【详解】解：A、x3?x2=x5，错误；

B、x(x-2)=-2x+x2，正确；

C、(x+y)(x-y)=x2-y2，错误；

D、3x3y2÷xy2=3x2，错误；

故选：B．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、单项式乘多项式、平方差公式和单项式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

4.在1

x

，

2

5

ab

，3

0.7xy y

-+，

+

m n

m

，

5

b c

a

-

+

，

2

3x

π

中，分式有（）

A. 2个；

B. 3个；

C. 4个；

D. 5个；

【答案】B

【解析】

【分析】

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【详解】在1

x

，

2

5

ab

，3

0.7xy y

-+，

m n

m

+

，

5

b c

a

-

+

，

2

3x

π

中，分式有

1

x

，

m n

m

+

，

5

b c

a

-

+

，一共3个．

故选B．

【点睛】本题主要考查分式的定义，分母中含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

5.已知△ABC的周长是24，且AB=AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为()

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三线合一推出BD＝DC，再根据两个三角形的周长进而得出AD的长．

【详解】解：∵AB=AC，且AD⊥BC，

∴BD=DC=1

2 BC，

∵AB+BC+AC=2AB+2BD=24，

∴AB +BD =12，

∴AB +BD +AD =12+AD =20， 解得AD =8． 故选：B ．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，做题时应该将已知和所求联系起来，对已知进行灵活运用，从而推出所求．

6.如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的

是（ ）．

A. PA PB =

B. PO 平分APB ∠

C. OA OB =

D. AB 垂直平分OP

【答案】D 【解析】 【分析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出

APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．

【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥ ∴PA PB =，选项A 正确； 在△AOP 和△BOP 中，

PO PO PA PB =??

=?

， ∴AOP BOP ?

∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；

由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．

【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键． 7.如图，△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，BC =10，BD =6，则点D 到AB 的距离是( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

【答案】A 【解析】 【分析】

作DE ⊥AB 于E ，由角平分线的性质可得点D 到AB 的距离DE=CD ，根据已知求得CD 即可． 【详解】解：作DE ⊥AB 于E ．

∵∠C =90°，AD 平分∠BAC ， ∴DE=CD ， ∵BC =10，BD =6， ∴CD =BC -BD =10-6=4， ∴点D 到AB 的距离DE=4． 故选：A ．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 8.已知x m ＝6，x n ＝3，则x 2m ―n 的值为（ ） A. 9 B.

3

4

C. 12

D.

43

【答案】C 【解析】

试题解析：试题解析：∵x m =6，x n =3，

∴x 2m -n =2()m n

x x =36÷

3=12.

故选C.

9.若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）

A. 12

B. 15

C. 12或15

D. 18

【答案】B

【解析】

【分析】

根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案．

【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．

则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，

周长为6+6+3＝15，

故选B．

【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．

10.如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；

③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（）

A. ①②③④

B. ②③④⑤

C. ①③④⑤

D. ①②③⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；

②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；

③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；

④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；

⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．

【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，

∴①正确，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠DAC，

又∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，

又∵AC=BC，

∴△CQB≌△CPA（ASA），

∴CP=CQ，

又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，

∴∠PQC=∠DCE=60°，

∴PQ∥AE②正确，

∵△CQB≌△CPA，

∴AP=BQ③正确，

∵AD=BE，AP=BQ，

∴AD-AP=BE-BQ，

即DP=QE，

∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，

∴∠DQE≠∠CDE，故④错误；

∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

∵等边△DCE，

∠EDC=60°=∠BCD，

∴BC∥DE，

∴∠CBE=∠DEO，

∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，

∴⑤正确．

故选：D．

二．填空题

11.等腰三角形的一个外角是140?，则其底角是

【答案】70°或40°

【解析】

解：当140°外角为顶角的外角时，则其顶角为：40°，则其底角为：（180°-40°）÷2 =70°，当140°外角为底角的外角时，则其底角为：180°﹣140°=40°．故答案为70°或40°．

点睛：本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为180°是解题的关键．

12.计算：-4(a2b-1)2÷8ab2=_____．

【答案】

3

4 2 a

b -

【解析】

【分析】

利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及整式的除法法则计算即可得到结果．

【详解】解：原式=-4a4b-2÷8ab2=-1

2

a3b-4=-

3

4

2

a

b

，

故答案为：-

3

4 2 a b

【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、以及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

13.若分式

2

21

x

x

-

+

的值为零，则x的值等于_____．

【答案】2

【解析】

根据题意得：x﹣2=0，解得：x=2．此时2x+1=5，符合题意，故答案为2．14.已知a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2＝_______．

【答案】6

【解析】

【分析】

先对a 2b ＋ab 2进行因式分解，a 2b ＋ab 2=ab(a+b)，再将值代入即可求解. 【详解】∵a ＋b ＝3，ab ＝2， ∴a 2b ＋ab 2＝ab(a+b)=236?=. 故答案是：6.

【点睛】考查了提公因式法分解因式，解题关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．

15.已知点 P （1﹣a ，a+2）关于 y 轴的对称点在第二象限，则 a 的取值范围是______． 【答案】21a -<<. 【解析】

试题分析：点P (1,2)a a -+关于y 轴的对称点在第二象限，在P 在第一象限，则10

{,20

a a ->+>2 1.a ∴-<<

考点：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标.

16.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A ＝________________ °．

【答案】36． 【解析】

试题分析：∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠ABC ，

∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点． ∴∠A ＝∠ABD ， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠DBC ， ∴∠C ＝2∠A ＝∠ABC ， 设∠A 为x ，

可得：x +x +x +2x ＝180°， 解得：x ＝36°

，

故答案为36．

点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的

性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．

17.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC

的面积是_____．

【答案】33

【解析】

【分析】

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的

面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．【详解】解：如图，连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F．∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OD=OE=OF，∴S△ABC=S△BOC+S△AOB+S△AOC=111222BC OD AC OF AB OE?+?+?=()12BC AC AB OD++?=12×22×3=33．故答案为：33．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是

解题的关键．

18.如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件______，使得△ABD≌△ACD．（添一个即可）

【答案】AB=AC （不唯一） 【解析】

要判定△ABD≌△ACD，已知AD=AD ，∠1=∠2，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加AB=AC 后可根据SAS 判定△ABD≌△ACD． 解：添加AB=AC ， ∵在△ABD 和△ACD 中， AB=AC ，∠1=∠2，AD=AD ， ∴△ABD≌△ACD（SAS ）， 故答案为AB=AC ．

19.多项式241a +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是________．（填上一个你认为正确的即可） 【答案】4a 或4a -或44a 【解析】

分①4a 2是平方项，②4a 2是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答． 解：①4a 2是平方项时，4a 2±4a+1=（2a±1）2， 可加上的单项式可以是4a 或-4a ，

②当4a 2是乘积二倍项时，4a 4+4a 2+1=（2a 2+1）2， 可加上的单项式可以是4a 4，

综上所述，可以加上的单项式可以是4a 或-4a 或4a 4．

本题主要考查了完全平方式，注意分4a 2，是平方项与乘积二倍项两种情况讨论求解，熟记完全平方公式对解题非常重要．

20.对于实数a ，b ，c ，d ，规定一种运算 a b c d

=ad -bc ，如

10

2(2)

-=1×(-2)-0×2=-2，那么当

(1)(2)

(3)(1)

x x x x ++--=27

时，则x =_____． 【答案】22 【解析】

【分析】

由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于x 的方程，然后解方程即可求出x 的值． 【详解】解：∵

(1)(2)

(3)(1)

x x x x ++--=27，

∴(x +1)(x -1)-(x +2)(x -3)=27， ∴x 2-1-(x 2-x -6)=27， ∴x 2-1-x 2+x +6=27， ∴x =22； 故答案为：22．

【点睛】本题考查了新定义运算，及灵活运用新定义的能力，根据新定义把所给算式转化为一元一次方程是解答本题的关键．

三．解答题

21.因式分解: (1)4x 2-9 (2) -3x 2+6xy-3y 2 【答案】(1) (2x +3)(2x -3);(2) 2

-3()x y -. 【解析】 【分析】

（1）利用平方差公式分解即可；

（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果. 【详解】（1）原式=()2

223x -=(2x +3)(2x -3) （2）原式=22-3(2)x xy y -+=2 -3()x y - 22.解下列方程并检验

(1)27

1326x x x +=++ (2)

31

3221x x

+=-- 【答案】(1) x =16；(2) x =7

6

【解析】 【分析】

（1）两边都乘以2(x+3)，把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）两边都乘以2(x-1)，把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】解：(1)两边都乘以2(x+3)，去分母得：4x +2x +6=7， 移项合并得：6x =1，

解得：x =

16， 检验：当x =1

6时，x+3≠0，

∴x =1

6

是分式方程的解；

(2) 两边都乘以2(x-1)，去分母得：3-2=6x -6，

解得：x =

76， 检验：当x =7

6时，x-1≠0，

∴x =7

6

是分式方程的解．

【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x 的值后不要忘记检验．

23.先化简，再求值：[(x -2y )2-x (x -4y )-8xy ]÷4y ，其中x =-1，y =2． 【答案】y -2x ，4 【解析】 【分析】

原式中括号中第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x 与y 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式=(x 2-4xy +4y 2-x 2+4xy -8xy )÷4y =(4y 2-8xy )÷4y =y -2x ， 当x =-1，y =2时，原式=2+2=4．

【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有：完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项，多项式除以单项式等知识．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值． 24.先化简211 1211a a a a a a +??

+÷ ?--+-??

，再从0，1，2中选一个合适的值代入求值． 【答案】1

a

a -，2 【解析】 【分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a ＝2代入计算即可求出值．

【详解】解：原式=2(1)(1)11(1)a a a a a +-+-?-=22

(1)a a -?1

a a -=1

a a -， 当a =2时，原式=2．

【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．

25.如图所示，已知在△ABC 中，AB=AC ，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且BD 和CE 相交于O 点. （1）试说明△OBC 是等腰三角形；

（2）连接OA ，试判断直线OA 与线段BC 的关系，并说明理由.

【答案】（1）详见解析；（2）直线AO 垂直平分BC 【解析】 【分析】

（1）根据对边对等角得到∠ABC=∠ACB ，再结合角平分线的定义得到∠OBC=∠OCB ，从而证明OB=OC ； （2）首先根据全等三角形的判定和性质得到OA 平分∠BAC ，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直线AO 垂直平分BC ．

【详解】（1）∵ 在△ABC 中，AB=AC ， ∴ ∠ABC=∠BCA ，

∵ BD 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCA ， ∴ ∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ， ∴ ∠OBC=∠BCO ， ∴ OB=OC ，

∴ △OBC 为等腰三角形； （2）

在△AOB与△AOC中，

∵{AB AC AO AO BO CO

=

=

＝

，

∴△AOB≌△AOC（SSS），

∴∠BAO=∠CAO，

∴直线AO垂直平分BC．（等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合）

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定和角平分线的定义，对各知识点要能够熟练运用．

26.某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个.

（1）求第一次每个书包的进价是多少元?

（2）若第二次进货后按80元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于480元，问最低可打几折?

【答案】（1）第一次每个书包的进价是50元

（2）最低可打8折

【解析】

【分析】

（1）设第一次每个书包的进价是x元，根据题意可列方程：30002400

20

1.2

x x

-=，求解即可.

（2）设最低打m折，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】解：（1）设第一次每个书包进价是x元30002400

20

1.2

x x

-=

x=50

经检验x=50是原方程的根.

答：第一次每个书包的进价是50元（2）设最低可打m折，

（80-50×1.2）×12400

250 1.2

?

?

+（80m-50×1.2）×

12400

250 1.2

?

?

≥480

m≥8

答：最低可打8折.

【点睛】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用.

27.八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：

（Ⅰ）如图5-1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（Ⅱ）如图5-2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD,接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.

阅读后1回答下列问题：

（1）方案（Ⅰ）是否可行?说明理由.

（2）方案（Ⅱ）是否可行?说明理由.

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足

∠ABD=∠BDE≠90°, 方案（Ⅱ）是否成立? .

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.

【解析】

【分析】

（1）由题意可证明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；

（2）由题意可证明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；

（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以证明△ABC≌△EDC，则也可得到AB=ED．

【详解】（1）△ACB和△DCE中

∵AC=DC

∠ACB=∠DCE

BC=EC

∴△ACB≌△DCE(SAS)

∴AB=DE，

故方案（Ⅰ）可行；

（2）∵CB⊥AB、CD⊥DE

∴∠ABC=∠EDC=90°

在△ABC和△EDC中

∵∠ABC=∠EDC

BC=DC

∠ACB=∠ECD

∴△ABC≌△EDC (ASA)

∴ED=AB，

故方案（Ⅱ）可行；

（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是作∠ABC=∠EDC=90°；

如果∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以利用ASA证明△ABC≌△EDC，则也可得到AB=ED．

故答案为（1）见解析；（2）见解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.

【点睛】本题考查全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形的全等是证明线段相等的一种重要方法．