解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳
1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）
变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R
===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）
sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C
=== 2．正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边；
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.
3．余弦定理及其推论
2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222
222
222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab
+-=
+-=+-= 4．余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.
注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.
5．常用的三角形面积公式
（1）高底??=
?2
1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R
===?为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
（2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）
（3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin
cos ,22A B C +=⑤cos sin 22A B C +=
解三角形有用的结论
1.在△ABC 中，A>B?a>b?sin A>sin B?cos A 2.在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ，?2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，?A ＝B 或A ＋B ＝π2， 3.在△ABC 中,三角形三边关系：a+b>c; a-b 4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列?B ＝π3，A ＋C ＝2π3. 5．在斜△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C . 6．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a co 7.在△ABC 中，B b a B B A B A B A cos 2cos sin 2sin 2sin sin ,2=?=?==则 8.C bc bc c b C bc bc c b C bc c b a cos 22)(cos 22)(cos 222222-+-=--+=-+= 二、题型示例 考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用 1．在ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝ ( ) A ．43 B ．2 3 C ． 3 D ．32 2．在ABC 中，222a b c =+，则A ∠等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150° 考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 3．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 4．若△ABC 的三个内角满足7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．在ABC ?中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积 6．在ABC ? 中，AB =1AC =,30A ?∠=，则ABC ?面积为( ) A ． 2 B ．4 C ．2 D ．4 或2 7．已知ABC ?的三边长3,5,6a b c ===，则ABC ?的面积为( ) A ． B ． C D ．考点四：利用正余弦定理求角 8．在锐角中,角所对的边长分别为.若( ) A ． B ． C ． D ． 9．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定 10．在,内角所对的边长分别为且,则 ( ) A ． B ． C ． D ． 考点五：正余弦定理实际应用问题 11．如图：A ，B 是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45?，B 点北偏西60?的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60?且与B 点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D 点需要多长时间？ 三、高考真题赏析 1．（2016年山东）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 2．（2016年四川）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且 cos cos sin A B C a b c +=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265 b c a bc +-= ，求tan B . ABC ?,A B ,a b 2sin ,a B A =则角等于12π6π4π3 πABC ?,,A B C ,,.a b c 1sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=a b >B ∠=6π3π23π56πtan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A += + 3．（2016年全国I ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ； （II ）若c ABC △= ABC △的周长． 4．(2015高考新课标2) ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ?面积是ADC ?面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD = ，2DC =，求BD 和AC 的长． 5．（2015高考四川，理19） 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan ;2sin A A A -= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====求tan tan tan tan 2222 A B C D +++的值. 6．（2013级绵阳一诊，19）已知如图，在Rt ABC ?中，60A ?∠=，6AB =， 点D 、E 是斜边AB 上两点． (I)当点D 是线段AB 靠近A 的一个三等分点时，求CD CA ?的值； (II)当点D E 、在线段AB 上运动时，且30DCE ?∠=，设ACD θ∠=，试用 θ表示DCE ?的面积S ，并求S 的取值范围． A B