【湖南省长沙市一中】2017届高三月考数学(理科)试卷(五)-答案
湖南省长沙市一中2017届高三月考数学（理科）试卷（五）
答案
1~5．ABDCB 6~10．ACDBA 11~12．CA．
13．210
14．1 2
15 16．2
23,5B ??
???
则(0,,BQ t =，(1,EQ =-，(1,AF =-设平面BQE 的法向量为(1,,)n t =-0，则由0n BQ ==，且0n EQ ==，得，则(,)n t t =1,，∥平面BEQ ，则须(,n AF t =1,上存在一点(0,Q 的法向量为111()n x y z =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1n =，111
153********n n ++
<>=，为锐二面角，所以其余弦值为533
33
33
121211(MA MB
y y kx k x x ++==⊥MB ，即MD ⊥ME ．
22
1121111111|||1|1|1||22||
k MA MB k k k k k +=
++-=22
480)(1k x k x -+=121)||4)
k +
湖南省长沙市一中2017届高三月考数学（理科）试卷（五）
解析
1．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．
【解答】解：由（3﹣4i）z=1+2i，得=，
∴．
2．
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，
解得：x≥﹣1或x≤﹣3，即A=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞），
由B中不等式变形得：2x＜1=20，即x＜0，
∴B=（﹣∞，0），
则A∩B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0），
3．
【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．
【解答】解：恒成立，故A错误；
，故B错误；
当x=2时，2x=x2，故C错误；
若命题p：?x0∈R，使得，则￢p：?x0∈R，都有x2﹣x+1≥0，则D正确；
4．
【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”?a＜b＜c?sinA＜sinB＜sinC?sin2A＜sin2B＜sin2C
?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C?“cos2A＞cos2B＞cos2C”．
∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．
5．
【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．
【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，
圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，
所以要求的概率，
所以空白框内应填入的表达式是P=．
6．
【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k﹣5即可得到．
【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n= a
可得n=ln，
因此，当kmin后甲桶中的水只有升，
即f（k）=a，
即ln?k=ln，
即为ln?k=2ln，
解之得k=10，
经过了k﹣5=5分钟，即m=5．
7．
【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．
【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①
可得sin（x+α）=cos（﹣x+β）=sin（x+﹣β），…②，
选项代入验证，所以C正确．
8．
【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．
【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点
根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，
设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，
∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，
解得出：x=，R=，
该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，
9．
【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．
【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，
则，又P点满足，
故有，可得三点A，P，D共线且，
即P点为A，D的中点时满足，
此时S△APC=S△ABC
故黄豆落在△APC内的概率为，
10．
【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．
【解答】解：作出x，y满足的可行域，
可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，
即，
令，则，
又在上单调递增，
得．
11．
【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．
【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），
由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a1，
由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，
即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，
可得c＞，即有＜c＜5．
由离心率公式可得e1?e2===，
由于1＜＜4，则有＞．
则e1?e2的取值范围为（，+∞）．
12．
【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．
【解答】解：设m=f（x），
作出函数f（x）的图象如图：
则m≥1时，m=f（x）有两个根，
当m＜1时，m=f（x）有1个根，
若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，
则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，
当m=1时，t=﹣2，
此时由m2+m﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=﹣2有1个根，满足条件
当m≠1时，
设h（m）=m2+m+t，
则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，
则t＜﹣2，
综上t≤﹣2，
13．
【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．
【解答】解：∵n=10sinxdx=﹣10cosx=﹣10（cos﹣cos0）=10，
∴展开式中
通项T r+1=??=（﹣1）r??，
令5﹣=0，
解得r=6，
∴展开式中的常数项为
T6+1=（﹣1）6?==210．
14．
【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos＜＞，再代入投影公式计算．
【解答】解：∵=4，（）=﹣=﹣3，
∴=1，
∴cos＜＞==，
∴在方向上的投影为||cos＜＞=．
15．
【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b 的最大值．
【解答】解：求导数，可得f′（x）=﹣
令x=0，则f′（0）=﹣
又f（0）=﹣，则切线方程为y+=﹣，即ax+by+1=0
∵切线与圆x2+y2=1相切，
∴=1
∴a2+b2=1
∵a＞0，b＞0
∴2（a2+b2）≥（a+b）2
∴a+b≤
∴a+b的最大值是．
16．
【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：﹣=﹣，于是=﹣=3﹣．由，a2＜1，a3＜1，a4＞1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．
【解答】解：∵对任意n∈N*，，
∴=，可得：﹣=﹣，
∴=﹣﹣﹣…﹣
=﹣=3﹣．
∵a2==，a3==，a4==＞1，
∴n≥4时，∈（0，1），
∴3﹣∈（2，3）．
∴的整数部分是2．
（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．
44
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求
解期望即可． （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100 km/h 的车辆的概率为
402
1005
=，X 可取值是0，1，2，3，，有：003
3
2327(0)()()55125
P X C ===，11232354(1)()()55125P X C ===，221
32336(2)()()55125
P X C ===，
330
3238(3)()()55125
P X C ===，
则(0BQ =，，(1EQ =-，，(1
AF =-，设平面BQE 的法向量为(1n t =-，，，则由0n BQ ==，且0n EQ ==，得，则(n t =，1，，
∥平面BEQ ，则须(n AF t =，1上存在一点(0Q 的法向量为111()n x y z =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则(1n =，111
153********n n ++
<>=，
33
121211(MA MB
y y kx k x x ++==⊥MB ，即MD ⊥ME ．
22
1121111111|||1|1|1||22||
k MA MB k k k k k +=
++-=22
480)(1k x k x -+=
121)||4)
k + 1
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x 和y=﹣x ．
（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．
π
解得3x ≥或3x ≤- 则解集为3{}3|x x x ≥≤-或
（Ⅱ）由()0f x =得，23||6x ax -=-+ 令||236y x y ax =-=-+，，作出它们的图象， 可以知道，当22a -<<时，
这两个函数的图象有两个不同的交点，
所以，当22a -<<时，函数22a -<<有两个不同的零点．