人教版八年级上册数学 全册全套试卷测试题(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学全册全套试卷测试题（Word版含解析）
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；
（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．
【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．
【解析】
【分析】
（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN
=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到
MN=BM+NC．
（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵BD CD
MBD ECD BM CE
，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，
在△DMN与△DEN中，
∵MD DE
MDN EDN DN DN
，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．
理由：在CA 上截取CE=BM ． ∵△ABC 是正三角形， ∴∠ACB=∠ABC=60°， 又∵BD=CD ，∠BDC=120°， ∴∠BCD=∠CBD=30°， ∴∠MBD=∠DCE=90°， 在△BMD 和△CED 中
∵
BM
CE
MBD ECD BD
CD
， ∴△BMD ≌△CED （SAS ）， ∴DM= DE ，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE ）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM ）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°， 即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△MDN 和△EDN 中
∵
ND
ND
EDN MDN ND
ND
， ∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE=NC ﹣CE=NC ﹣BM ． 【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．已知4AB cm =，3AC BD cm ==.点P 在AB 上以1/cm s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为()t s ．
（1）如图①，AC AB ⊥，BD AB ⊥，若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当
1t =时，ACP △与BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位
置关系；
（2）如图②，将图①中的“AC AB
⊥，BD AB
⊥”为改“60
CAB DBA
∠=∠=?”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/
xcm s，是否存在实数x，使得ACP
△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，
1
1
t
x
=
?
?
=
?
或
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出
∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【详解】
解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP BQ
A B
AC BP
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
34t
t xt
=-
?
?
=
?
，
解得
1
1
t
x
=
?
?
=
?
，
②若△
ACP ≌△BQP ， 则AC=BQ ，AP=BP ，
34xt
t t =??
=-?
， 解得232t x =???=??
，
综上所述，存在11t x =??=?或2
32t x =??
?=??
使得△ACP 与△BPQ 全等．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．
3．如图1，在ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．
（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时
DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．
【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD 【解析】 【分析】
(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ； (2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样． 【详解】 (1)不成立．
DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ， 理由如下：如图，
∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°， 又∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE ， 在△ACD 和△CBE 中，
90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???
∠=∠??=?
， ∴△ACD ≌△CBE(AAS)， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CE-CD=AD-BE ； (2)结论：
DE=BE-AD ．
∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°， 又∠ACD+∠BCE=90°， ∴∠CAD=∠BCE ， 在△ACD 和△CBE 中，
90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=???
∠=∠??=?
， ∴△ADC ≌△CEB(AAS)， ∴AD=CE ，DC=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．
4．（1）如图（a ）所示点D 是等边ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明．
（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）
（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、
BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．
②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①
相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．
【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．
（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．
（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理
'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；
②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则
'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ． 【详解】
（1）AF BD = 证明如下：ABC 是等边三角形，
BC AC ∴=，60BCA ?∠=．
同理可得：DC CF =，60DCF ?∠=．
BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠． 即BCD ACF ∠=∠． BCD ACF ∴△≌△．
AF BD ∴=．
（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，
AF BD =依然成立． （3）①AF BF AB '+=
证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．
BD AF ∴=．
同理BCF ACD '△≌△．
BF AD '∴=．
AF BF BD AD AB '∴+=+=．
②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+； BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，
BCF ACD '∴△≌△． BF AD '∴=．
又由（2）知，AF BD =．
AF BD AB AD AB BF '∴==+=+． 即AF AB BF '=+． 【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点
E .连接CE 并延长，交射线AD 于点
F . （1）如图，连接AE ，
①AE 与AC 的数量关系是__________； ②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；
（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.
【答案】(1)①AB=AE；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）①根据轴对称性，即可得到答案；
②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，由ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证?FCG是等边三角形，得GF=FC，再证?ACG??BCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.
【详解】
（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AB和AE关于射线AD的对称，
∴AB=AE.
故答案是：AB=AE；
②∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，
∵ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，
∴∠ACE=1
180(602)60
2
αα??
--=+
??，
∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α
+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：
作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，
∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，
∴∠ABC=∠AFC=60°，
∴?FCG是等边三角形，
∴GF=FC，
∵ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠ACG=∠BCF=α.
在?ACG和?BCF中，
∵
CA CB
ACG BCF
CG CF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴?ACG??BCF(SAS)，
∴AG=BF，
∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AG=BF=EF，
∵AF-AG=GF，
∴AF-EF=CF.
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.
二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
6．在梯形ABCD中，//
AD BC，90
B
∠=?，45
C
∠=?，8
AB=
，14
BC=，点E、F 分别在边AB、CD上，//
EF AD，点P与AD在直线EF的两侧，90
EPF
∠=?，
PE PF
=，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE x
=，MN y
=．
（1）求边AD的长；
（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜
10
3
)；（2）
176
9
或32
【解析】
【分析】
（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；
（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；
（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．
【详解】
（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H
∵∠C=45°，DH⊥BC
∴△DHC是等腰直角三角形
∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°
∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8
∴HC=8
∴BH=BC－HC=6
∴AD=6
（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G
∵EF∥AD,∴EF∥BC
∴∠EFP=∠C=45°
∵EP⊥PF
∴△EPF是等腰直角三角形
同理,还可得△NPM和△DGF也是等腰直角三角形
∵AE=x
∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=
()1
62
x + 同理，PR=
12
y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR
∴8－x=()11622
x y ++ 化简得：y=－3x+10
∵y ＞0，∴x ＜
103
当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值
则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜
103
（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83
=AE ∴188176662339
ABCD S ??=
?++?= ???梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：
与（2）相同，可得y=3x －10 则当y=2时，x=4，即AE=4
∴()1
6644322
ABCD S =?++?=梯形 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．
7．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．
（1）∠A=______度；
（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值； （3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）60；（2）103或203
；（3）5或20 【解析】 【分析】
(1)根据等边三角形的性质即可解答；
（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；
（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形. 【详解】 解：（1）60°． （2）∵∠A=60°，
当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°． ∴QA=2PA ． 即2022 2.t t -=? 解得 10
.3
t =
当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°． ∴PA=2QA ． 即2(202)2.t t -= 解得 20.3
t =
∴当0＜t＜10，且△APQ为直角三角形时，t的值为1020
或．
33
（3）①由题意得：AP=2t，AQ=20-2t
∵∠A=60°
∴当AQ=AP时，△APQ为等边三角形
∴2t=20-2t，解得t=5
②当P于B重合，Q与C重合，则所用时间为：4÷2=20
综上，当△APQ为等边三角形时，t=5或20．
【点睛】
本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.
8．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且
AD=AE，连接DE．
⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设
∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．
【详解】
解： (1)∵∠B=∠C=35°，
∴∠BAC=110°，
∵∠BAD=80°,
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE ，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°； (2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18° ， ∴∠E=75°?18°=57°， ∴∠ADE=∠AED=57°， ∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ， ∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β ①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴y x y x ααβ=+??=-+?
①②
-②得，2α﹣β=0， ∴2α=β；
②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α ∴+y x y x ααβ=+??
=+?
①
②
-①得，α=β﹣α， ∴2α=β；
③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α ∴180180y x y x αβα-++=??
++=?①
②
-①得，2α﹣β=0， ∴2α=β．
综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
9．已知如图1，在ABC ?中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是
AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.
（1）求证：AE CG
=.
（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM
=.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出
△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．
【详解】
（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．
又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．
又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．
在△AEC和△CGB中，∵
CAE BCG
AC BC
ACE CBG
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；
（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC．
在△BCE和△CAM中，
BEC CMA
ACM CBE
BC AC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
10．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．
（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；
（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；
（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）
【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4
【解析】
【分析】
（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；
（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质解答；
（3）根据等腰直角三角形的性质计算．
【详解】
解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，
∴PC＝1cm，
∴AB＝PC，
∵DP⊥AP，
∴∠APD＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，
∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，
∴∠BAP＝∠CPD，
在△ABP和△PCD中，
B C
BAP CPD
AB PC
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ABP≌△PCD，
∴BP＝CD＝4cm；
（2）PB＝PC，
理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，
∵DP 平分∠ADC ， ∴∠ADP ＝∠EDP ． ∵DP ⊥AP ，
∴∠DPA ＝∠DPE ＝90°， 在△DPA 和△DPE 中，
ADP EDP DP DP
DPA DPE ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△DPA ≌△DPE （ASA ）， ∴PA ＝PE ． ∵AB ⊥BP ，CM ⊥CP ， ∴∠ABP ＝∠ECP ＝Rt ∠． 在△APB 和△EPC 中，
ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠??
∠=??=?
， ∴△APB ≌△EPC （AAS ）， ∴PB ＝PC ；
（3）∵△PDC 是等腰三角形，
∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°， 又∵DP ⊥AP ， ∴∠APB ＝45°， ∴BP ＝AB ＝1cm ， ∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ， ∴CD ＝CP ＝4cm ， 故答案为：4． 【点睛】
本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出2()a b +、2
()a b -、ab 之间的等量关系是______；
（2）根据（1）中的结论，若5x y +=，9
4
x y ?=
，则x y -=______； （3）拓展应用：若22
(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)(2020)m m --的值. 【答案】（1）22
()()4a b a b ab +=-+；（2）4，－4：（3）-3
【解析】 【分析】
（1）观察图2，大正方形由4个矩形和一个小正方形组成，根据面积即可得到他们之间的关系.
（2）由（1）的结论可得(x-y) 2=16,然后利用平方根的定义求解即可. （3）从已知等式的左边看，左边配成两数和的平方来求解. 【详解】
解：（1）由题可得，大正方形的面积2
()a b =+，
大正方形的面积2
()4a b ab =-+， ∴2
2
()()4a b a b ab +=-+，
（2）∵22
()()4x y x y xy +=-+，
∴22
9
()()4254164
x y x y xy -=+-=-?=， ∴4x y -=或－4，
（3）∵22
(2019)(2020)7m m -+-=，
又2(20192020)m m -+-22
(2019)(2020)2(2019)(2020)m m m m =-+-+-- ∴172(2019)(2020)m m =+-- ∴(2019)(2020)3m m --=-
故答案为：(1)22
()()4a b a b ab +=-+；(2) 4，－4：(3)-3
【点睛】
本题通过观察图形发现规律，并运用规律求值，使问题简单化是解题关键.
12．阅读下列解题过程，再解答后面的题目. 例题：已知2
2
4250x y y x ++-+=，求x y +的值.
解：由已知得22
(21)(44)0x x y y -++++= 即2
2
(1)(2)0x y -++= ∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥ ∴有1020x y -=??
+=?，解得1
2x y =??=-?
∴1x y +=-.
题目：已知2
2
464100x y x y +-++=，求xy 的值. 【答案】-32
【解析】 【分析】
先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值． 【详解】
解：将22
464100x y x y +-++=， 化简得2
2
694410x x y y -++++=， 即()()2
2
3210x y -++=．
∵()2
30x -≥，()2
210y +≥，且它们的和为0， ∴3x = ，1
2
y ， ∴12233xy ??=?-=- ?
??
. 【点睛】
本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．
13．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)] =(1+x )2(1+x ) =(1+x )3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.