初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式

一?知识要点

1 ?乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算一一除法等。

2. 基本公式

完全平方公式：（a 士b）2=a2士2ab+b2

平方差公式：（a+b）（a—b）=a2—b2

立方和（差）公式：（a 士b）（a2」ab+b2）=a3士b3

3?公式的推广

（1）多项式平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

（2）二项式定理：（a 士b）3=a3± 3a2b+3ab2士b3

（a士b）4=a4士4a3b+6a2b2士4ab3+b4

（a 士b）5=a5士5a4 b+10a3b2士10a2b3+ 5ab4士b5

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律

4 ?公式的变形及其逆运算

由(a+b) 2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2—2ab

由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3—3ab(a+b)

5 ?由平方差、立方和(差)公式引伸的公式

(a+b) (a3—a2b+ab2—b3)=a4—b4

(a+b)(a4—a3b+a2b2—ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5—a4b+a3b2—a2b3+ab4—b5)=a6—b6

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数（a+b）（a2n—1—a2n—2b+a2n —3b2—…+ ab2n—2—b2n —1）=a2n—b2n （a+b）（a2n—a2n —1b+a2n—2b2-…-ab2n —1+b2n）=a2n+1+b2n+1 类似地：

（a—b）（a n—1+a n—2b+a n—3b2+…+ ab n—2+b n—1）=a n—b n

由公式的推广③可知：当n为正整数时

a n—

b n能被a—b整除，

a2n+1 +b2n+1能被a+b 整除,

a2n—b2n能被a+b及a—b整除。

二?例题精选

例1 .已知x、y满足x2+y2+ 5 =2x+y,求代数式一~的值。

4 x + y

例2 ?整数x,y满足不等式x2+y2+1 < 2x+2y,求x+y的值。

例3 .同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整

甲商场：？第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;

2 + b

乙商场：两次提价的百分率都是

(a>0,?b>0);

2 丙商场：第一次提价的百分率为 b,第二次提价的百分率为

a,? 则哪个商场提价最多

？说明理由.

例4 ?计算：

(1) 6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1 ;

(2) 1.345 X 0.345 X 2.69 -1.345 3- 1.345 X 0.345 2. 例 5 .已知 a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002, 则多项式 a 2+b 2+c 2-ab-bc-c a 的值为()

A.0B.1 C.2D.3

7

2 8 例6 ?已知P m-1,Q =m m ( m 为任意实数)，则 P 、Q 的大小关系为() 15 15

A. P Q

B. P 二 Q

C. P ：： Q

D.不能确定

1

例7 .若x 2- 13x+仁0,则x 4+

-的个位数字是() x

A.1

B.3

C.5

D.7 例8 ?有10位乒乓球选手进行单循环赛

(每两人间均赛一场),用X 1,y 1?顺次表示第一号选手胜与负的场数 X 2,y 2顺次表示第二号选手胜与负的场数

，……；用X 10,y 10?顺次表示十号选手胜与负的场数 .求证：X 12+X 22+

+x 102=y 12+y 22+ ....... +y 102 。

三?同步练习 1

1 1 1 1 .乘积(1- 2 )(1- 2 ) (1)

2 )(1- 2 )等于() 22 32 19992 20002 1999 2001 1999 2001 A. B. C.

D.- 2000 2000 4000 4000 2 .已知a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20,y=4(2b - a),则x 、y 的大小关系是()

A.x < y

B.x > y

C.x

D.x>y

3. 已知 a -b =1,贝 U a 2 - b 2 - 2b 的值为()

A . 4

B . 3

C . 1

D . 0

4 .已知 x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0，贝U x+y+z= _______ 。

5 .计算:(1) 1.23452+0.76552+2.469 X 0.7655= ________ ;

(2)1949 2- 19502+19512- 1952 2+ ……+19972- 19982+19992= _________

1

a 4+a 2+1 6 .已矢知 a+ — =5,贝U = --2 ------ = ______。

a a 7 .已知两个连续奇数的平方差为

？2000,?则这两个连续奇数可以是 9.若代数式x 2 -6x b 可化为(x-a)2 -1，则b -a 的值是.

8. 已知 a 2+b 2+4a-2b+5=0,则 a b a -b

10 .已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数.证明：(1)b与c两数必为一奇一偶；

(2)2(a+b+1)是完全平方数.

参考答案：

—.例题精选

一 1 1 1 例1 .提示：由已知得(x-1) 2+(y- ) 2=0,得x=1,y= ,原式=一 2 2 3

(x-1) 2+(y-1) 2< 1,且 x 、y 为整数,

(x-1) 2> 0,(y-1) 2> 0,?

—0或x —仁一1或_仁0

y —1=0 ]y —1=0 ]y —1 = 1

x=1 x=2 x=1 x = 1

解得 或 或 或 ,x+y=1或2或3

l y i l y i l y =2 \y =0

例3 ?甲、乙、丙三个商场两次提价后

，价格分别为 (1+a)(1+b)=1+a+b+ab;

a +

b a +b a + b (1+ ) ? (1+ )=1+(a+b)+( )2; 2 2 2

(1+b)(1+a)=1+a+b+ab; a + b a + b

因( )2-ab>0,所以(

)2>ab, 2 2

故乙商场两次提价后，价格最高.

3 v 0,故P v Q .【答案】C 4

提示:由题意矢知 :X i +y i =9(i=1,2,…,10)且 X 1+X 2+ …+X 1o =y 1+y 2+ …+y 10

因(X 『+X 22+ …+x 102)- (y 12+y 22…+y 102)=(x 12- y 12)+(x 22- y 22)+ …+(X 102- y 102)

=(x 1+y 1)(x 1_y 1)+(x 2+y 2)(x 2- y 2)+ …+(x 10+y 10)(x 10- y 10)

=9[(x 1+X 2+ …+X 10)- (y 1+y 1+ …+y 10)]=0

二?同步练习

9. (x -a)2 -1 =x 2 -2ax a 2 -1，这个代数式于 x 2 -6x b 相等，因此对应的系数相等，即- 2a =- 6, 解得a = 3， a 2 -1=b ，将a = 3代入得b = 8，因此b - a = 5.

10.解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又 c+b 与 c-b 同奇同偶，c+b>c-b,

故a?不可能为偶质数 2,a 应为奇质数,c+b 与c-b 同奇同偶,b 与c 必为一奇一偶

例 4 . (1)原式=(7-1 )(7+1)(7 2+1)(7 4+1)(78+1)+1=7 16

(2)设 1.345=x,则原式=x(x-1)

? 2x-x 3-x(x-1 )2=-x=-1.345

例5 . 例6 . 【分析】可用特殊值法或差值法?特殊值法：

取 m=15, 分别代入得 P=6, Q=217，故P v Q ;差值法: 例2 ?原不等式可化为 所以可能有的结果是 m 2 m = -m 2 m -1= I m I 15 丿 I 2 P-Q=

⑵c+b=a 2,c-b=1,两式相减，得2b=a2-1,

于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a 2-1+2=(a+1) 2, 完全平方数