第六讲数列综合

学乐教育2011秋季高三年级一对一数学

第六讲 数列的综合应用

类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足2

11=a ，n

n a a n n ++

=+2

11，求n a 。

类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为

)(1n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列{}n a 满足32

1=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

例:已知31=a ，n n a n n a 2

31

31+-=

+ )1(≥n ，求n a 。

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．

类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）

。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，6

51=

a ,1

1)2

1(31

+++=

n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。

解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特

征方程是：02532

=+-x x 。

3

2,121=

=x x ,∴1

211--+=n n n Bx Ax a 1

)

3

2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是

???-=-=??

?

?

??+=+=)(32332b a B a b A B A b B

A a 故1)32)((323--+-=n n

b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

13

212+

=

++，求n a 。

类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-)2()

1(11n S S n S a n n

n 与

例：已知数列{}n a 前n 项和2

2

14---=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公

式n a .

类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是

公比为p 的等比数列。

例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a . 【例】、已知数列}{n a 满足11

=a ，)

2(3

11

≥+=--n a a n n n ，则通项公式=

n

a

典型例题

巩固与练习2、若数列}{n a 的前n 项和公式)1(log 3+=n S n ，则=5a . 3、在数列}{n a 中，已知,3,121-==a a 且21+++=n n n a a a ，则2002a = .

4、无穷数列}{n a 同时满足条件（1）对任意自然数n ，都有42<<-n a ；（2）当n 为正偶数时，n n a a <-1，且1+>n n a a ；（3）当3>n 时，0>n a .请写出一个满足条件的}{n a 的一个通项公式 .

5、由下列表达式确定的数列}{n a ：（1）5-=n a ；（2）2

n a n =；（3）n a n -=；（4）

12

21+=++=n a a a S n n .其中表示等差数列的序号是 .

6、ABC ?中，tgA 是以4-为第三项，1-为第t 项的等差数列，tgB 是以2

1 为第三项，4为

第六项的等比数列的公比，则三角形的形状是 .

7、数列}{n a 是公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 是等比数列}{n b 的相邻三项，若52=b ，则n b = .

8、已知数列4,,,121--a a 成等差数列，4,,,,1321--b b b 成等比数列，则

2

1

2b a a -的值为 .

9、等差数列}{n a 中，已知171074=++a a a ，7714654=+++a a a a .若13=k a ，则k= .

10、等差数列}{n a 的通项公式为12+=n a n ，其前n 项和为n S ，则数列}{n

S n 的前10项和

为 .

11、设}{n a 是等差数列，n

a n

b )

21

(=，已知：8

21321=

++b b b ，8

1321=

b b b ，求等差数列的

通项n a

12、设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知：0,12123>=S a ，013

13、数列}{n a 为正项等比数列，它的前n 项和为80，其中最大的项为54，前n 2项的和为600，试求此数列的首项1a 和公比q

1. 数列{a n }、{b n }的通项公式分别是a n =an+b (a≠0，a 、b ∈R)，b n =q n-1(q>1)，则数列{a n }、{b n }中，使a n =b n 的n 值的个数是（ ）

A 、2

B 、1

C 、0

D 、可能为0，可能为1，可能为2

2．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ） A.122n +- B.3n C.2n D.31n -

3 数列{a n }满足a 1=1, a 2=

3

2，且

n

n n a a a 2111

1

=

+

+- (n ≥2)，则a n 等于（ ）

A ．

1

2+n B ．(

3

2)n -1 C ．(3

2)n D ．

2

2+n

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

1．在等比数列{}n a 中，34151211-=-==n n S a a ，，，则=q ，=n 。

2．三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，

这三个数是 . 3

．已知n

a -=(n N *

∈),则数列{}n a 的前100项中最小项是第 项，最大

项是第 项。

4. 数列}{n a 满足1

2 (01),1 (1).

n n n n n a a a a a +≤≤?=?->?且16

7a =,则2010a =

5. 数列{a n }满足：a 1 = 1，且对任意的*

,N n m ∈都有：mn a a a n m n m ++=+，则

1

2

3

1111+

+

++

n

a a a a =

二、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明与演算步骤）

1．等比数列{n a }的前n 项和为n S 、公比为q ，若3S 是1S ,2S 的等差中项，1a －3a ＝3，求q

与和5S 。

2．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，

5313a b +=,

（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）求数列{}3(1)-?-?n n n a b 的前n 项和n S .

3、函数)0(41)(>+=

m m

x f x

，,,21R x x ∈当121=+x x 时，则2

1)()(21=

+x f x f .（1）求

m 的值；

（2）已知数列}{n a ，若)1()1

()2()1()0(f n

n f n f n f f a n +-++++= ，求n a ；（3）对任意自然数n ，

1

1

++<

n n n

n

a a

a a

，求实数a 的范围

4. 在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件

242,1,2,1

n n

S n n S n +=

=+ .

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记(0)n

a n n

b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T

5.已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和2

n n a 1S (

)2

+=，设10()*

=-∈n n b a n N ，

（1）求证：数列n {a }是等差数列，并求n {a }的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为T n ，求T n 的最大值。 （3）求数列{},()*∈n b n N 的前n 项和B n 。

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

数列的综合应用

数列的综合应用 导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用． 自主梳理 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n . (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和． 自我检测 1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 2．(2017·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6 a 16 等于 ( ) A.23 B.32 C ．－16 D ．－56 3．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( ) A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝1 2(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝1 2(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝1 2(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝1 2 (3n －1)－2n

数列的综合问题题型归纳总结

数列的综合问题题型归纳总结 题型1 数列与不等式的综合 思路提示 数列与不等式的综合是高考的热点问题，内容主要包括两个方面：其一，不等式恒成立条件下，求参数的取值范围；其二，不等式的证明，常见方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法和数学归纳法等. 一、不等式恒成立条件下，求参数的取值范围问题 利用等价转化思想将其转化为最值问题. ()a F n >恒成立max ()a F n ?>； ()a F n <恒成立min ()a F n ?<. 例6.38 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21 (5)4 n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整 数m 的值. 解析 （1）由题意，1910(*)n n a S n N +=+∈ ① 故有1910(2,*)n n a S n n N -=+≥∈ ② 由①-②，可得19n n n a a a +-=，即110(2,*)n n a a n n N +=≥∈，所以有1 10(2,*)n n a n n N a +=≥∈， 令1n =，代入式①，可得21910100a a =+=，故 2110a a =，故有110(*)n n a n N a +=∈， 故数列{}n a 是以10为首项，以10为公比的等比数列，故1101010n n n a -==g . 所以lg lg10n n a n ==，即有1lg lg (1)1n n a a n n +-=+-=， 故{lg }n a 是等差数列，且首项为lg101=，公差为1. （2）解法一：由（1）可知lg lg10n n a n ==，所以 13311 3()(lg )(lg )(1)1 n n a a n n n n +==-++， 故1111113 3[(1)()()]3(1)3223111 n T n n n n =-+-++-=-=- +++L . 由1n ≥，可知33 312 n T n =-≥+. 依题意， 2 31(5)24 m m >-，解得16m -<<，则最大正整数m 的值为5. 解法二：先由题意21(5)4n T m m >-对任意的*n N ∈都成立，故需n T 的最小值2min 1 ()(5)4 n T m m >-，而 133 0(lg )(lg )(1) n n a a n n +=>+，

数列的综合应用

第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2 n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．1 解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2 n ＝2b n (n ≥2)， 所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时. 若a 6＝ 1，则m 所有可能的取值为( ) A ．{4,5} B ．{4,32} C ．{4,5,32} D ．{5,32} 解析：选C a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时， 注意递推的条件是a n (而不是n )为偶 数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32. 3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝ a 3－a 1 2 ＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ， 依题意有(8＋x )2 ＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N * )等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得 2 1－2n 1－2 ≥100，即2n ≥51，

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则

但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.

（I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

数列的综合问题

10 —数列的综合问题 突破点(一)数列求和 1 .公式法与分组转化法：(1)公式法；(2)分组转化法； 2 .倒序相加法与并项求和法: (2)并项求和法：在一个数列的前 n 项 和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 型，可采用两项合并求解. 例如， (22- 12)= (100 + 99)+ (98+ 97)+…+ (2 + 1) = 5 050. 3 .裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和. 1 11 1 ⑵常见的裂项技巧：①e=n -苗.②后 1 1 — 1 __________ 1 ____ 1 1 — 1 2 n n + 2 .③ 2n — 1 2n + 1 = 2 2n — 1 2n + 1 .④ ： 1 ______________ =p n + 1 -才.4.错位相减法 考点一 [例 1] 已知数列｛a n ｝, ｛b n ｝满足 a 1 = 5, a n = 2a n - 1 + 3n 1(n > 2, n € N ), b n = a n — 3n (n € N ). (1)求数列｛b n ｝的通项公式； ⑵求数列｛a n ｝的前n 项和S n . [解](1) Tan = 2a n -1 + 3n - 1(n € N *, n > 2) ,「.a n — 3n = 2(a n -1-3n -1), b n ?'?b n = 2b n -1 (n € N , n > 2). ^b 1 = a 1 — 3 = 2工 0,「.b n M 0(n > 2), ? = 2, b n - 1 ???｛b n ｝是以2为首项，2为公比的等比数列.??? b n = 2 2n —1= 2n . 3n +1 7 (2)由(1)知 a n = b n + 3n = 2n + 3n ,二3 = (2 + 22+ …+ 2n ) + (3 + 32+ …+ 3n ) = 2n +1 + 〒-二 ［方法技巧］ 分组转化法求和的常见类型 (1)若a n = b n icn ,且｛b n ｝ , ｛C n ｝为等差或等比数列，可采用分组转化法求 ｛a n ｝的前n 项和. b n , n 为奇数， ⑵通项公式为a n = 的数列，其中数列｛b n ｝ , ｛c n ｝是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求 和. C n , n 为偶数 考点二 ［例2］ (2016山东高考)已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = 3n 2+ 8n , ｛b n ｝是等差数列，且 a n = b n + b n +1. n + 1 〒，求数列 b n + 2 (1)求数列｛b n ｝的通项公式； ⑵令C n = ｛C n ｝的前n 项和 T n . [解](1)由题意知，当 n > 2 时，a n = S n — S n -1 = 6n + 5, n = 1时，a 1 = S 1 = 11,满足上式， a 1 = b 1 + b 2, 所以a n = 6n + 5?设数列｛b n ｝的公差为d.由 a 2= b 2 + b 3, 11 = 2b 1 + d , 所以 b n = 3n + 1. 17= 2b 1 + 3d , 6n + 6 n + 1 一…一 (1)倒序相加法; a n = (- 1)n f( n)类 S n = 1002- 992+ 982- 972+-+ 22- 12= (1002- 992) + (982- 972) + ??? +

数列综合测试附答案

复习综合测试 一．选择题（60分） 1．在等差数列{}n a 中，有()()35710133224a a a a a ++++=，则此数列的前13项之和为（ ） A ．52 B ．26 C ．13 D ．156 2．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若==--=1815183,18,6S S S S 则 （ ） A ．36 B ．18 C ．72 D ．9 3．已知等差数列}a {n 的公差0d <, 若24a a 64=?, 10a a 82=+, 则该数列的前n 项和 n S 的最大值为( ). A. 50 B. 45 C. 40 D. 35 4.已知等比数列{a n }，a 2＞a 3=1，则使不等式(a 1-11a )+(a 2-21a )+…+(a n -1n a )≥0成立的最大自然数n 是 A ．4 B.5 C.6 D.7 5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2:1:,4811311872==+++a a a a a a ，则 n n n S na 2lim ∞→等于 A.41 B.2 1 C.1 D. 2 6．等差数列}{ n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=,则此数列前20项和等于 A .160 B .180 C .200 D .220 7.在等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2700，则a 1等于 A ．-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-20 8．在正项等比数列{a n }中，a 1、a 99是方程x 2－10x + 16 = 0的两个根，则a 40·a 50·a 60的值为（ ） A ．32 B ．64 C ．±64 D ．256 9．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ，已知S 4=1，S 8=3，则20191817a a a a +++的值为 A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 10．等差数列{}n a 的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15=p （常数），则数列{}n S 中也是常数的项是（ ） （A ）S 7 （B ）S 8 （C ）S 13 （D ）S 15 11.已知数列{log 3(a n +1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1=2,a 2=8，则

数列的综合应用教案

数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

11 =+

1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______. 2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 11a =,21179 d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0

高中数学“数列的综合问题”.doc

专题讲座 高中数学“数列的综合问题” 一、对本专题数学知识的深层次理解 （一）数列综合问题的几个重点内容 数列的综合问题课标中并没有明确的陈述，但往往是高考考查涉及到的问题，如：数 列求和问题；数列与不等式综合问题；关于递推数列的问题等。这些问题往往涉及数列知识 的综合和高考的考查重点，教学中教师要给予关注并较好的把握。 （二）教学内容的重点、难点 重点：在解决数列问题中要关注数列的属性、项数，用函数的观点研究数列；掌握数 列求和的基本方法及基本的递推数列问题。 难点：数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题的策略。 二、“数列综合问题”的教与学的策略 （一）解决数列问题的基本思路 判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如果是，用公式和性 质解决 . 如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法 . 因此我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。 1．关注数列的属性

本题的关键是定性，即关注数列的属性。2．关注数列的项数

此题涉及等差、等比数列的综合问题，考查了等比中项，等差数列的通项公式等基本知识，考查了方程思想，关键是利用已知条件找到 K n与 n的关系。 3．用函数的观点认识数列

本题的关键是用函数的观点去看待数列问题，此题也涉及到不等式的知识 .

以上几个例题从不同角度反映了数列是特殊的函数这一问题，因此解决数列问题，往 往可以利用解决函数问题的思考方式。 （二）关注数列求和问题的教学 数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性较强 . 若为等差（比）数列，则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法 . 常见的有：“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等 . 1．用公式求和

数列的综合问题

1０—数列的综合问题 突破点(一) 数列求和 1．公式法与分组转化法:（1）公式法;（2)分组转化法；2.倒序相加法与并项求和法:(1）倒序相加法；（２)并项求和法:在一个数列的前ｎ项和中，可两两结合求解,则称之为并项求和。形如a n＝(—1)n ｆ（n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sｎ=1002－992+９8２-９7２+…+22－12＝(１0０2－9９２）+(9８2-972）+…+(22-12)=(1０0＋99）+（９8＋９7)＋…＋(2+１)＝5 05０。３．裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。(2）常见的裂项技巧：①错误!＝错误! -错误!。②错误!=错误!错误!。③错误!＝错误!错误!。④错误!＝错误!—错误!。 4。错位相减法 分组转化法求和 ［例1］已知数列｛a n}，｛b n｝满足ａ1＝5，a n=２a n-1＋3n－1(n≥２，ｎ∈N＊），b n＝aｎ—3ｎ（n∈N*)． (1)求数列｛b n}的通项公式；(2）求数列{a n}的前ｎ项和S n. [解］ (1）∵ａn＝2aｎ-１＋３n-１(n∈Ｎ*，n≥2)，∴a n－3n=2（aｎ－１-3n－1）， ∴bｎ=２bｎ－1（n∈Ｎ＊，n≥2）。∵b1＝a1-3＝2≠0，∴ｂｎ≠0(n≥2），∴＼f（bｎ,ｂn－1)＝2， ∴{b n｝是以2为首项，２为公比的等比数列。∴b n=2·2n-１=2ｎ． （2)由（１)知a n=b n+3n=2ｎ＋3n,∴S n＝(2＋2２+…+2n）＋(３+32+…+３n）＝2n+1＋＼f（3n＋１,2)—＼ｆ(7，２）． ［方法技巧］ 分组转化法求和的常见类型 (1）若aｎ＝b n±cｎ，且{b n},｛ｃｎ}为等差或等比数列,可采用分组转化法求{a n}的前ｎ项和． (2)通项公式为a n=错误!的数列，其中数列｛b n}，｛c n｝是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 错位相减法求和 aｎn S n n2n b nａn b nｂ ｎ+1． （1)求数列｛b n}的通项公式；（2）令cｎ=错误!,求数列｛c n｝的前n项和T n。 ［解] （1）由题意知，当n≥2时，a n＝S n－Ｓn－1＝6n+５,当ｎ＝１时，ａ１=Ｓ1＝１1，满足上式, 所以a n＝6n+5．设数列｛b n}的公差为ｄ.由错误!即错误!所以b n=3n＋1。 (2)由（1）知c n＝错误!=３（n+１)·2n＋1,又Ｔｎ=c１+c２＋…＋ｃn, 得T n＝3×［2×2２＋3×23＋…＋（n+１)×2n+１］，2Ｔｎ=３×［2×23＋3×24+…＋（n＋1)×２n+２］， 两式作差，得－Ｔｎ=3×[2×22＋2３＋24＋…+2n＋1－（n＋1)×２n＋2]＝-3n·2ｎ＋2，所以T n＝3n·2n＋２. [方法技巧] 错位相减法求和的策略 （１)如果数列{aｎ}是等差数列,{b n｝是等比数列,求数列｛aｎ·b n｝的前ｎ项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列｛b n}的公比,然后作差求解.（2)在写“S n”与“qＳn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式。（３)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 裂项相消法求和 n n ｎ+1 ｎ1 且b1，b3，ｂ９成等比数列．

数列的综合运用(一)

数列的综合运用（一） 一、选择题 1.已知数列{}n a 中，1(1)21n n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前12和12S =（ ） A.76 B.78 C.80 D.82 2.在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，若b =，则a c +的最大值为（ ） A. 3 2 B.3 C. D.9 二、填空题 3.在等差数列{}n a 中，12a =，36a =，若将1a ，4a ，5a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 . 4.已知数列{}n a 中，11a =，22a =，122(3)n n n a a a n --=+≥，则1260a a a +++= . 三、解答题 5.在数1和2之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记为n A ，令2log n n a A =，n ∈N +. （1）求数列{}n A 的前n 项和n S ； （2）求2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=?+?++? 的值. 6.已知数列1 {2 }n n a -?的前n 项和12n n S =- . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设||n n a b n =，求数列1 {}n b 的前n 项和.

7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；正项数列{}n b 满足11n n n n b b b b ---=（2n ≥，n ∈n ∈N +），11b =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 8.若数列{}n a 满足11a =，13(n n a a n +=∈N +). （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知等差数列{}n b 的各项均为正数，其前n 项和为n T ，且315T =，又11a b +，22a b +， 33a b +成等比数列，求n T . 9.已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2 1l o g n n n b a a =+，12n n S b b b =+++ ，求使1 2470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值.

数列与函数结合的综合问题

数列综合问题之数列与函数 思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。 例1：已知函数2 ()(,)x a f x b c N bx c += ∈+中，1(0)0,(2)2,(2)2 f f f ==-<- ， （1） 求函数()f x 的解析式；（2）各项均不为零的数列{}n a 满足：14( )1n n S f a = ，求通项n a ？（3）在 条件（2）下，令2n n n b a = ，求数列{}n b 的前n 项和？ 分析：由题知： 0,2a b c ===，所以 2 ()22 x f x x = -，所以可求得： 2 112()(1)0n n n n n n n n S a a a a a a a n ++=-?+-+ =?=- 例3：函数[)()2,2,f x x x =-+∈+∞；（1）求()f x 的反函数1 ()f x -； （2）数列{}n a 满足：1 1()n n S f S --=，且12a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）在条件（2）下，令2 2 * 11()2n n n n n a a b n N a a +++= ∈ ，求 数列{} n b 的前n 项和？ 分析：（1）由题知：1 2 (),0f x x -= ≥； （2 42n a n = =- （3）2 2 2 11111()211 1( )2221 21 n n n n n n n n n n n a a a a a a b a a a a n n ++++++--= = =+- -+ 例4、设函数()2 41+= x x f ， (1) 证明：对一切R x ∈，f(x)+f(1-x)是常数； (2)记()()()+∈+?? ? ??-++??? ??+??? ??+=N n f n n f n f n f f a n ,11......210，求n a ,并求出数列{a n }的前n 项和。 解：∵()2 41+=x x f ， ∴()(1)f x f x + - = 11142 4 2 x x -+ ++ 114 242 1(42)(42) 2 x x x x --+++= =++

(完整版)数列的综合问题

10—数列的综合问题 突破点(一) 数列求和 1．公式法与分组转化法：(1)公式法；(2)分组转化法；2．倒序相加法与并项求和法：(1)倒序相加法； (2)并项求和法：在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差， 在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)常见的裂项技巧：①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2) ＝12????1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12????12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . 4．错位相减法 分组转化法求和 [例1] 已知数列{a n }，{n 1n n －1－ b n ＝a n －3n (n ∈N *)． (1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . [解] (1)∵a n ＝2a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，∴a n －3n ＝2(a n －1－3n －1)， ∴b n ＝2b n －1(n ∈N *，n ≥2)．∵b 1＝a 1－3＝2≠0，∴b n ≠0(n ≥2)，∴b n b n －1 ＝2， ∴{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列．∴b n ＝2·2n －1＝2n . (2)由(1)知a n ＝b n ＋3n ＝2n ＋3n ，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(3＋32＋…＋3n )＝2n ＋1＋3n ＋12－72 . [方法技巧] 分组转化法求和的常见类型 (1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a n }的前n 项和． (2)通项公式为a n ＝??? b n ，n 为奇数， c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 错位相减法求和 [例2] (2016·山东高考)已知数列{a n n n n n n ＋1(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋ 1 (b n ＋2)n ，求数列{c n }的前n 项和T n . [解] (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式， 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由????? a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即????? 11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 所以b n ＝3n ＋1. (2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1 (3n ＋3) n ＝3(n ＋1)·2n ＋1，又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ， 得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，

等差、等比数列的综合问题

专 题2 数列 知识网络图解 一、数列的概念、性质 例①若数到{αn }满足αn+1 = 若α1=67 则α2009的值为（ ） A. 67 B.57 C. 37 D.1 7 ②αn 则数列{αn }最大项为（ ） A. α1 B. α45 C. α44 D. α2007 ③通项为αn =n 2 －α n+1的数列{αn }是递增数列，则实数α的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列 知识整合 2αn ， 0≤αn ＜1 2 1 2 ≤αn ＜1 2αn －1，

要点 热点 探究 例1（1）已知两个等差数列{αn }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 n n A B =7453 n n ++，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 （2）已知等差数列{αn }的前n 项和为S n ，若OB=α6O A ＋α195OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 200等于（ ） A.100 B.101 C.200 D.201 （3）与差数列{αn }中，S 6=36，S n =324，S n －6=144，则n =___________ （4）等差数列{αn }共有2n ＋1次，其中奇数项之和为319，偶数次之和为290则其中间项的值为 （ ） A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39 ()121 2112121*(21) 7(21)45122172131 (21)21,2,3,5,11 n n n n n n n n a a n a A n b b b B n n n a z n N n b ----+?--+ ====+ +-++?- ∈ ∈ ∴=解 ()619512006195200 21 1 200200200100 222 A C a a a a a a s ,B,∴+=++=?=?=?=三点共线

(整理)数列综合复习

数列专题复习 桐乡一中张晓东一．高考要求

（二）教学要求： 1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。 2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数n 的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。 3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。 4．数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性教强。 5．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。 6．纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。 7．数列的应用极其广泛，因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也有可能是数列与概率交汇。 8．数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。 9．函数思想、方程思想、化归思想、分类讨论思想的应用比比皆是，因此要注意对数学思想方法的挖掘。 10．由于命题者大多为大学教授，故应注重数列与高等数学的联系。 二．典例剖析： （一）等差等比： 等差、等比数列一般从定义、通项公式、前n 项和公式、性质四方面研究。 【例1】已知定义在R 上的函数)(x f 和数列{}n a 满足下列条件： ),,4,3,2(),(,11 ===-n a f a a a n n )()()(,1112---=-≠n n n n a a k a f a f a a ，,3,2(=n ),4 ，其中a 为常数，k 为非零常数。 （I ）令)(,1* +∈-=N n a a b n n n ，证明{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式 【解】（I ）=-=+n n n a a b 1111)()()(---=-=-n n n n n kb a a k a f a f ,3,2(=n ),4 故{}n b 是等比数列 （II ）a a f a a b -=-=)(121 n b =1 ])([-?-n k a a f

第5讲 数列的综合应用

第5讲 数列的综合应用 【2013年高考会这样考】 1．考查数列的函数性及与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题． 2．考查运用数列知识解决数列综合题及实际应用题的能力． 【复习指导】 1．熟练把握等差数列与等比数列的基本运算． 2．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等． 3 ．注意总结相关的数列模型以及建立模型的方法． 基础梳理 1．等比数列与等差数列比较表 不同点 相同点 等差数列 (1)强调从第二项起每 一项与前项的差； (2)a 1和d 可以为零； (3)等差中项唯一 (1)都强调从第二项起每一项与前项的关系； (2)结果都必须是同一个常数； (3)数列都可由a 1，d 或a 1，q 确定 等比数列 (1)强调从第二项起每 一项与前项的比； (2)a 1与q 均不为零； (3)等比中项有两个值 2.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加

(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化 而变化时，应考虑是a n与a n ＋1的递推关系，还是S n与S n ＋1 之间的递推关系． 一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解． 两个提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题． (2)数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为()． A．－4 B．－6 C．－8 D．－10 解析由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6. 答案 B 2．(2011·运城模拟)等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等

高中数学第六章数列第五节数列的综合应用

第五节 数列的综合应用 题型一 数列在数学文化与实际问题中的应用 [典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( ) A ．60里 B ．48里 C ．36里 D ．24里 (2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元 的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元． [解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为1 2的等比数列{a n }， 设等比数列的首项为a 1，则a 1() 1－1 26 1－ 12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×1 2＝12， 则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4] 1－(1＋p ) ＝a p [(1＋p )5－(1＋p )] ＝a p [(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)C (2)a p [(1＋p )5－1－p ] [方法技巧] 1．数列与数学文化解题3步骤 1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( ) A ．9日 B ．8日 C ．16日 D ．12日 解析：选A 由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n }，其中a 1＝103，d ＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n }，其中b 1＝97，d ＝－0.5.设第m 天相逢，则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋ m (m －1)×13 2