2020-2021学年江西省九江市一中高一上学期期末数学试卷
【最新】江西省九江市一中高一上学期期末数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合(){}(){},0,,R ,,0,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．圆4)2()1(22=++-y x 的圆心坐标为（ ）
A ．（1，2）
B ．（1，-2）
C ．（-1，2）
D ．（-1，-2）
3．直线012=-+y x 的斜率是（ ）
A ．2
B ．2-
C ．2
2 D ．22- 4．已知集合M={-1，1，2，4}，N={0，1，2}，给出下列四个对应关系：
①y=x 2，②y=x+1，③y=2x ，④y=log 2|x|．其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
5．设()1,1,1,(3,1,5)A B -，则线段AB 的中点在空间直角坐标系中的位置是 （ ） A ．在y 轴上 B ．在xoy 面内 C ．在xoz 面内 D ．在yoz 面内
6．过点M （－1，m ），N （m ＋1，4）的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．12
C ．2
D ．13
7．已知直线,,l m 平面,αβ、且,,l m αβ⊥?给出下列四个命题：
①若//,αβ则;l m ⊥②若,l m ⊥则//;αβ③若,αβ⊥则//;l m ④若//,l m 则;αβ⊥ 其中真命题是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④
8．直线y x =
绕原点逆时针方向旋转30?后所得直线与圆22(2)3x y -+=的位置关系是（ ）
A ．直线过圆心
B ．直线与圆相交，但不过圆心
C ．直线与圆相切
D ．直线与圆无公共点
9．过点A （11，2）作圆x 2+y 2+2x ?4y ?164=0的弦，其中弦长为整数的共有 A ．16条 B ．17条 C ．32条 D ．34条
10．函数1341)(22+-++=x x x x f 的最小值为（ ）
A ．52
B ．102+
C ．7
D ．10
11．点P 在圆0114822=+--+y x y x 上，点Q 在圆012422=++++y x y x 上，则|PQ|的最小值是（ ）
A ．5
B ．0
C ． 5
D ．5－12．已知单调函数f （x ）满足分f （0）=3，且))((x e x f f x --=42+e ，则函数零点所在区间为（ ）
A ．（-4，-3）
B ．（-3，-2）
C ．（-2，-1）
D ．（-1，0）
二、填空题
13．计算：2log 510+log 50．25= ．
14．设a ，b ∈R ，且，若奇函数f （x ）="lg" 112ax x ++在区间（-b ，b ）上有定义．则b 的取值范围是 ．
15．已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则21
y x --的最小值为_______ 16．已知函数()f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在()f x 的定义域内，就有()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“保三角形函
数”．在函数①()1f x =，②()2f x x =，③()23f x x =中，其中 是“保三角形函数”．（填上正确的函数序号）
三、解答题
17．已知全集,U R =集合
，{|42}B x x x =-或，
，
（1）求； （2）若()U C A B C ??，求实数的取值范围．
18．如图：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1．
（1）求证：A 1C//平面AB 1D ；
（2）求点C 到平面AB 1D 的距离．
19．设函数f (x )>0是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f (x
y )＝f (x )?f (y )．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，求不等式f(x +3)+f (1x
)≤2的解集． 20．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：（a －1）x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a 、b 的值．
（1）直线l 1过点（－3，－1），并且直线l 1与直线l 2垂直；
（2）直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等．
21．已知圆M 的方程为22(2)1x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 点作圆M 的切线,PA PB ，切点为,A B ．
（1）若60APB ∠=，试求点P 的坐标；
（2）求证：经过,,A P M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
22．已知函数||)(a x x x f -=，R a ∈是常数．
（1）若1=a ，方程m x f =)( 有两解，求m 的值．
（2）是否存在常数a ，使12)(+ 参考答案 1．B 【解析】 试题分析：由题意，得{})0,0(00|),(=? ????????=-=+=y x y x y x B A ，即集合A B 的元素个数是1；故选B ． 考点：1．集合的表示；2．集合的运算． 【易错点睛】本题考查利用描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题；利用描述法表示集合时，要注意代表元素的意义，且不要出现错误；如},|{R x x y x ∈-=表示函数x y -=的定义域，是一个数集；},|{R x x y y ∈-=表示函数x y -=的值域，是一个数集；},|),{(R x x y y x ∈-=表示函数x y -=的图象，是一个点集． 2．B 【解析】 试题分析：由圆的方程4)2()1(22=++-y x ，可得该圆的圆心坐标为)2,1(-；故选B ． 考点：圆的标准方程． 3．D 【解析】 试题分析：将012=-+y x 化为2 222+-=x y ，即直线012=-+y x 的斜率为2 2-；故选D ． 考点：1．直线方程的一般式和斜截式；2．直线的斜率． 4．D 【解析】 试题分析：当M x ∈=2时，N y ?==422，所以2 x y =不能构成从M 到N 的函数；当M x ∈=2时，N y ?=+=312， 所以1+=x y 不能构成从M 到N 的函数；当M x ∈=2时，N y ?==422，所以x y 2=不能构成从M 到N 的函数；当4,2,1,1-=x 时， 2,1,0log 2==x y ，所以x y 2log =能构成从M 到N 的函数；故选D ． 考点：函数的概念． 5．C 【解析】 由题意可知，点AB,的中点坐标为（2,0,3），由于纵坐标为零，因此可知线段AB 的中点在空间直角坐标系中的位置是在xoz 面内,选C. 6．A 【解析】 试题分析：因为直线的斜率为1，所以 124=+-m m ，解得1=m ；故选A ． 考点：直线的斜率公式． 7．C 【解析】 试题分析：若βα//，β⊥l ，则β⊥l ，又因为β?m ，所以m l ⊥，故①正确；若α⊥l ，m l ⊥，则α//m 或α?m ，又β?m ，则βα,可能平行或相交，故②错误；若βα⊥， α⊥l ， 则β//l 或β?l ，又β?m ，则m l ,可能平行、相交或异面，故③错误；若α⊥l ，m l //，则α//m 或α?m ，又β?m ，则βα⊥，故④正确；故选C ． 考点：空间中线面位置关系的转化． 8．C 【解析】 直线3 y x =的倾斜角为30，则将其绕原点按逆时针方向旋转30后得到的直线的倾斜角 为60，所以直线方程为y =．圆心(2,0)到直线y =的距离2d r = ==，所以直线与圆相切，故选C 9．C 【解析】 试题分析：将x 2+y 2+2x ?4y ?164=0化为，即该圆的圆心坐 标为，半径为，且，且经过点的弦的最大长度为 （当弦过圆心时），最小弦长为 （当弦与直线垂直时），所以其中弦长为整数的可能是10（一条）， （各两条，共30条），26（一条），一共32条；故 选C ． 考点：1．圆的对称性；2．直线与圆的位置关系． 10．A 【解析】 试题分析：222222)30()2()10()0(1341)(-+-+++-=+-++=x x x x x x f 表示x 轴上的点)0,(x M 到点)1,0(-A 和点)3,2(B 的距离之和，由平面几何知识，得：当B M A ,,三点 共线时，||||MB MA +取得最小值52)31()20(||22=--+-=AB ；故选A ． 考点：两点间的距离公式． 11．C 【解析】 试题分析：圆0114822=+--+y x y x 的圆心坐标为)2,4(M ，半径为31=R ； 圆012422=++++y x y x 的圆心坐标为)1,2(--N ，半径为22=R ，且53||=MN ， 则||PQ 的最小值为553-；故选C ． 考点：1．圆的一般方程；2．两圆的位置关系． 【技巧点睛】本题考查圆的一般方程和两圆的位置关系，属于中档题；因为Q P ,是两个不同圆上的动点，直接求其距离的最值无法下手；本题的技巧所在，将两动点的距离的最值问题转化为两圆的圆心间的距离问题，即||PQ 的最小值为两圆的圆心间的距离减去两圆的半径． 12．B 【解析】 试题分析：设x e x f t x --=)(，则t x e x f x ++=)(，即4)(2+=e t f ； 令t x =，则t e t t e t f t t 2)(+=++=；所以?? ?==422t t ，即2=t ， 所以2)(++=x e x f x ，则函数)(x f 为增函数， 又0)2(2>=--e f ，01)3(3<-=--e f ，0)2()3(<-?-f f ， 即函数的零点所在区间为)2,3(--；故选B ． 考点：1．函数的单调性；2．零点存在定理． 【方法点睛】本题考查利用换元法求函数的解析式、函数的单调性、零点存在定理的应用以及转化思想的应用，属于难题；利用条件求出函数的解析式是本题的关键，也是解决本题的难点，“设x e x f t x --=)(，则t x e x f x ++=)(”是本题的突破口，再进一步求函数的解析式即可求解． 13．2 【解析】 试题分析： ；故填2． 考点：对数的运算． 14． 【解析】 试题分析：因为在区间上为奇函数，所以 在上恒成立，即恒成立， 即 ，又因为，所以，即；令，解得， 即函数的定义域为，则，且，解得； 故填． 考点：1．函数的奇偶性；2．函数的定义域． 15． 【解析】 21y x --表示圆上的点P(x ，y)与点Q(1,2)连线的斜率，∴21 y x --的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0 ＝1，得k ＝34，结合图形可知21y x --≥34，∴所求最小值为. 16．①② 【解析】 试题分析：任给一个三角形，不妨设它的三边长分别为 ，且，则，故是“保三角形函数”；因为 ，所以恒成立，故 是“保三角形函数”；当时，，即不存在边长为 的三角形，故不是“保三角形函数”；故填①②． 考点：1．新定义函数；2．不等式恒成立问题． 【方法点睛】本题考查对新函数定义的理解、不等式恒成立问题，属于中档题；正确理解“保三角形函数”是解题的关键，即要证明三函数值是否恒满足“三角形的两边之和大于第三边”，要判定函数是“保三角形函数”，要严格根据定义进行证明，若说明函数不是“保三角形函数”，只需举出一个反例即可． 17．（1）{}|4,2A B x x x ?=--或；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）先通过解一次不等式化简集合A ，再求两集合的交集；（2）先求出， 再通过解一元二次不等式化简集合C ，再利用集合间的包含关系判断两集合端点间的大小关系进而求解． 试题解析：（1）由题意，得{}|23A x x =-<<，{}|4,2B x x x =-或， 则{} |4,2A B x x x ?=--或， 由（1）得 ， 而 ； 要使()U C A B C ??，只需，即 考点：1．不等式的解法；2．集合间的包含关系；3．集合的运算． 18．（1）证明见解析；（2） 5 5． 【解析】 试题分析：（1）作出辅助线，利用三角形的中位线得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）将点到平面的距离问题转化为求四面体的体积问题，再合理选择四面体的顶点求其体积和高线． 试题解析：（1）连接B A 1，设E AB B A =11 ，连结DE ， ∵111C B A ABC -是正三棱柱且AB AA =1， ∴四边形11ABB A 是正方形，∴E 是B A 1的中点， 又D 是BC 的中点，∴C A DE 1// DE ?平面D AB 1，C A 1?平面D AB 1， ∴C A 1//平面D AB 1 （2）连接C B 1，则ADC B D AB C V V --=11，而在D AB 1?中，2 5,2,2311===D B AB AD ， 且2 1212AB D B AD =+，所以D AB 1?为直角三角形，其面积为8151=?D AB S ； 所以1833181531 ??=?h ，解得55=h ；即点C 到平面AB 1D 的距离是55 考点：1．线面平行的判定；2．点到平面的距离． 19．（1）0；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）利用赋值法进行求解；（2）先利用赋值法求得 ，再由题意将不等 式化为 ，再利用函数的单调性和定义域进行求解． 试题解析：（1）令，则． （2）令，即，且，即， 由 ，得； 又因为是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以 ， 即，解得， 即的解集为． 考点：1．赋值法；2．抽象不等式的解法． 【方法点睛】本题考查利用赋值法、函数的单调性解抽象不等式，属于中档题；解决抽象不等式的解集问题，利用赋值法和所给条件将不等式转化为的的形式是关键，也是难点，要灵活对所涉及变量进行赋值，再利用函数的单调性进行求解，但要注意函数的定义域的限制，以免出现错误（如：本题中，而不是． 20．（1）2==b a ；（2）22a b =??=-?或232.a b ?=???=? ． 【解析】 试题分析：（1）利用两直线垂直的条件、点在直线上得到关于b a ,的方程组进行求解；（2）先利用两直线平行设出21,l l 的方程，再利用点到直线的距离公式进行求解． 试题解析：（1）因为21l l ⊥，所以0)1(=--b a a ， 即02=--b a a ① 又点)1,3(-- 在1l 上， 所以043=++-b a ② 由①②解得2==b a ． （2）因为21//l l 且2l 的斜率为a -1，所以1l 的斜率也存在，则 1a a b =-，即1a b a =-． 故1l 和2l 的方程可分别表示为：0)1(4)1(:1=-++-a a y x a l ， 01)1(:2=-++-a a y x a l ， 因为原点到1l 和2l 的距离相等， 所以14||1a a a a -=-，解得2=a 或23 a =． 因此22a b =??=-?或232.a b ?=???=? 考点：1．两直线的位置关系；2．点到直线的距离公式． 【技巧点睛】本题考查两直线平行或垂直的判定、点到直线的距离公式的应用，属于中档题；在利用直线的一般式判定平行或垂直时，若转化为斜截式进行判定，过程较麻烦且容易忽视斜率不存在的情形，因此本题用应用一般式直接进行判定（若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，则0//122121=-?B A B A l l 且01221≠-C A C A ，0212121=+?⊥B B A A l l ）． 21．（1）(0,0)P 或84(,)55 P ；（2）(0,2)或(1,1)． 【解析】 试题分析：（1）设出(2,)P m m ，利用平面几何知识得到2MP =，再利用两点间的距离公式进行求解；（2）先判定该圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆，再设出圆的方程，且化简为关于m 的恒等式进行求解． 试题解析：（1）设(2,)P m m ，由题可知2MP =，所以22(2)(2)4m m +-=， 解得：40,5m m == ，故所求点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55 P ． （2）设(2,)P m m ，MP 的中点(,1)2m Q m +，因为PA 是圆M 的切线 所以经过,,A P M 三点的圆是以Q 为圆心，以MQ 为半径的圆， 故其方程为：2222()(1)(1)22 m m x m y m -+--=+- 化简得：22 2(2)0x y y m x y +--+-=，此式是关于m 的恒等式， 故2220,20, x y y x y ?+-=?+-=?解得02x y =??=?或1,1.x y =??=? 所以经过,,A P M 三点的圆必过定点(0,2)或(1,1)． 考点：1．直线与圆的位置关系；2．圆过定点问题． 22．（1） 4