华中数学分析历年考研真题

华中师范大学数学分析考研真题

以上是01年数分

2003年数学分析（综合卷）

1.(16)求下列极限：

(1))/1(2)!(lim n n n +∞→. (2))(x f 在]1,1[-上连续，恒不为0，求131sin )(1lim 30--+→x x x x f

2.(15)设)(x f 在],[b a 上二阶可导,过点))(,(a f a A 与))(,(b f b B 的直线与曲线)(x f y =相较于))(,(c f c C ,其中

b c a <<,证明:在),(b a 中至少存在一点ξ,使0)(=''ξf .

3.(15) 证明:x x n n 21ln ∑∞

=在]1,0(上一致收敛.

4.(15) 设))}({(x f n 是],[b a 上的函数序列,满足对每一个],[b a x ∈导函数)(x f n '存在),2,1( =n 并且满足下

列条件:(1)存在某一个],[0b a x ∈,使))}({(0x f n 收敛；(2)导函数列)}({x f n '在],[b a 上一致收敛. 证明: )}({x f n 在],[b a 上一致收敛.

5.(14)设)(x f 在],[b a 上可导,其导函数)(x f '在],[b a 可积,对任意的自然数n .记

?∑---+==b

a n i n dx x f n a

b n a b i a f )()(1σ , 证明:)]()([2lim a f b f a b n n n --=+∞→σ. 2004年数学分析

1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)

(1)21

sin 0

lim(cos )x x x → (2)11123n n +++1…+n (3)7

4444lim 112)x x x x x →∞+-- (4)1lim sin (sin

)2n n k k n n

π

π→∞=∑

2.(15)设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,若12,x x 是)(x f 在区间],[b a 上的两个零点，证明：存在

[,]a b ξ∈，使得'()()'()0f f g ξξξ+=

3.(15)设)(x f 在)0](,[>>a b b a 上连续,在),(b a 内可导,证明:在),(b a 内存在,ξη使b a f f ?'?=

')()(2ηηξ.

4.(15)设)(x f 在],[b a 上黎曼可积,证明:()f x e 在],[b a 上也是黎曼可积的.

5.(15)'()(1,2,3,n f x n =…）在],[b a 上连续,函数)(x g 在],[b a 上也连续,且对],[b a 中任意的12,x x 和正整数n ,有

1212|()()|||n n M f x f x x x n -≤-(0>M ),证明:lim ().'()0b n n a g x f x dx →+∞=?

. 6.(15)设()n f x ( ,2,1=n )在],[b a 上连续,且{()}n f x 在],[b a 上一致收敛与)(x f .证明:

(1)存在0>M ,使对任何自然数n ,有|()|,|()|n f x M f x M ≤≤及. (2)若)(x F 为-∞+∞（，）上连续函数,则(())n F f x 一致收敛于))((x f F .

7.(10)设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数,且0)0(,1)1(,0)1(='==-f f f ,证明:在)1,1(-内至

少存在一点ξ,使得(3)()3f ξ=.

8.(15)函数),(y x F 在点00(,)x y 的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且00000000(,)0,'(,)0,'(,)0,''(,)0x y xx F x y F x y F x y F x y ==><,

证明:由方程),(y x F 确定的隐函数()y f x =在0x 点取得极小值.

2005年数学分析

1.求下列极限或指定函数的值: (1)1!2!3!!lim !

n n n →∞++++(10分) (2)lim 62n n

→∞(10分)

(3)1

32

lim [().2x x x x x e →+∞-+(10分) (4)设)(x f 在0=x 的邻域二阶可导,且1

30()lim(1)x x f x x e x

→++=,求(0),'(0),''(0)f f f 的值.(15分) 2.(15)设函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导,且在),(b a 上'()0g x ≠,证明:存在)()'()(,)()()'()

f a f f a b

g g b g ξξξξξ-∈=-(使. 3.(15)设函数()f x 在]4,2[上有连续的一阶导函数,且(2)(4)0f f ==,证明：4

242

max |'()||()|x f x f x dx ≤≤≥?.

4.(13)设有方程.sin (01)x m q x q =+<<.若0101,.sin ,,sin ,,n n x m x m q x x m q x +==+=+证明:{}n x 收敛; 设lim n n x l →+∞=,再证明l 是方程.sin x m q x =+的唯一解.

5.(13)证明:函数项级数11((1))x n n x e n

n ∞=-+∑在任何有穷区间[,]a b 上一致收敛. 6.(13)设()f x 在[,]a b 上二阶可导,且''()0f x >,证明:1()()2b

a a

b f f x dx b a +≤-?. 7.(13)设12,,,,n a a a 均为常数,证明:函数项级数1

01..!x n t n n a t e dt n ∞-=∑?在[,]a b 上一致收敛. 8.(13)设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，()0,f x c ≥≥用可积准则证明：函数ln ()f x 在[,]a b 上黎曼可积.

9.(10)设()f x 在[,]a b 上具有连续的二阶导数,证明:在(,)a b 内存在ξ,使得

31()()()().''()224

b

a a

b f x dx b a f b a f ξ+=-+-? 2006年数学分析

1.(30) (1)111sin )1(sin lim 121----→x x e x x . (2) 设x x a x y +=,求y '. (3) dx x

x ?+ln 1ln ln . (4)设y x y x y x f y arcsin

)1(),(2-+=,求)1,(x f x '. (5)dxdy e y x y x

D 22)(+??+,其中}1),{(22≤+=y x y x D . (6) 求?-=L

ydx ydy x I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,(πA 的正弦曲线有x y sin =.

2.(20)设)(x f 在(,)a +∞上可导,且'()f x 在(,)a +∞上有界,证明:(1) )(x f 在(,)a +∞上一致连续.

(2)()lim ()lim ()x x a f a f x f x ++→∞

→=存在，但不一定存在. (3)若)(lim x f x +∞→存在，且)(lim )(lim x f x f a

x x +→+∞→=，则)(x f '在(,)a +∞上至少有一个零点。 3.(20)设)(x f 在]1,0[上连续,)1()0(f f =,(1)证明: 存在01[0,]2x ∈,使得001()()2

f x f x =+. (2)试推测|:对任意正整数n ,是否存在01[0,]n x n -∈,使得001()()f x f x n

=+,并证明你的结论. 4.(10)设)(x f 在[0,)+∞上连续,且0)(>x f ,记0

0()()()x

x tf t dt x f t dt

?=??, (1)求0lim ()x x ?+

→. (2)证明:()x ?在(0,)+∞上是严格单调递增.

5.(10)证明: 若1n n a

∞=∑绝对收敛,则)(12311-∞

=+++∑n n n a a a a 也绝对收敛.

6.(15)设)(x f 在[0,]2π上连续,证明: (1){sin }[0]2n x π在，上不一致收敛. (2){sin ()}[0]2n x f x π

（）在，上一致收敛的充要条件是()02

f π=. 7.(10)设),,(z y x f 为3R 上的n 次齐次函数:对),,(),,(,0z y x f t tz ty ta f t n =>?,且具有一阶连续偏导数,'(,,)0z f x y z ≠,

若方程(,,)0f x y z =确定了可微的隐函数(,)z g x y =,证明:(,)z g x y =必为一次齐次函数.

8,(20)设(,)f x y 2在R 上具有二阶连续的偏导数,证明:

(1)对2

R 内任意光滑简单闭曲线L ，总有2222()L D f f f ds dxdy n x y ???=+??????，其中n 为L 的外法方向，f n ??是(,)f x y 沿n 的方向导数，D 是L 围成的有界闭区域;

(2)(,)f x y 为2

R 是的调和函数（即22220f f x y ??+≡??）的充要条件是对2R 内的任意光滑简单闭曲线L ，总有0L f ds n

?=??. 9.(15)设n 是正整数,给定方程1n x x +=,证明: (1)此方程仅有惟一的正根(0,1)n x ∈. (2)lim 1n n x →∞=.

2007年数学分析

1.(30) 计算题:

(1)1

)]1sin[sin(ln )1(ln lim 230--→x x e x x . (2) 设x x x x y +=ln ,求y '.

(3) dx e x dx e x x ??+∞-+∞

-?0204

4. (4)设),(y x f 可微,且b f a f f y x ===)1,1(,)1,1(,1)1,1(,令)],(),,([)(x x f x x f f x F =,求)1('F . (5)dxdy e y x y x

D 222)(33)(+??+,其中}1),{(22≤+=y x y x D .

(6) 求?-=L

x x ydx e ydy e I cos sin ,其中L 是从点)0,0(O 到点)0,2(A 的下半圆周x y x 222=+.

2.(25)设)(x f 在),0(+∞上可导,且

)(x f x '?在),0(+∞上有界,证明: (1))(x f 在),0(+∞上一致连续. (2))(lim )0(0x f f x +→+=存在.(3)若将条件“)(x f x '?在),0(+∞上有界”改为“)(lim 0x f x x '?+→和

)(lim x f x x '?+∞→都存在”,试问: 还能否推出)(x f 在),0(+∞上一致连续.如果能请证明你的结论，如果

不能请举反例.

3.(25)设)(x f 在),0(+∞内4阶可导, (1) 证明:若)(lim x f x ∞→和)(lim x f x '∞→都存在,则0)(lim ='∞

→x f x . (2) 若)(lim x f x ∞→和)(lim 4x f x ）（∞→都存在,是否能推出对任意的正整数41≤≤k ,)(lim x f k x ）（∞

→都存在且为0,请证明你的结论.

4.(10)设)(x f 在[0,)+∞上连续,且A x f x =∞→)(lim (A 可以为∞+或∞-),试证:?

=+∞→x x A dt t f x 0)(1lim . 5.(15)设∑==≥n k k n n a s a 1

,0,证明:

∑∞=1n n a 收敛?∑∞=1n n n s a 收敛. 6.(15)若n a 单调递减,且0lim =∞→n n a ,证明:

(1)∑∞=1cos n n nx a 在]2,[απα-上一致收敛,其中πα≤≤0. (2)

∑∞=1cos n n nx a 在]2,[απα-上一致收敛

的充要条件是∑∞

=1n n a 收敛.

7.(15)设),(y x u u =是由方程组???='+'+++=0

)()()()(z g z f y x z g z yf zx u 所确定的二阶连续可微隐函数,其中g f ,有二阶连续

的导数,证明:0)(222222=???-?????y x u y

u x u . 8.(15)设),,(z y x f 上3R 具有二阶连续的偏导数,证明:

(1)对3

R 内任意光滑简单闭曲面S ,总有dxdydz z f y f x f dS n f V S )(222222??+??+??=??????? ,其中n 为S 的外法方向,f n ??是),,(z y x f 沿n 的方向导数,V 是S 围成的有界闭区

域; (2) ),,(z y x f 为3R 是的调和函数（即0222222≡??+??+??z f y f x f ）的充要条件是对3R 内的任意光滑简单闭曲线S ，总有0=????dS n f S

. 2008年数学分析

1.(36)计算题: (1) n n n n n n )12()1(1lim -+∞→ (2) dxdydz z y x t t z y x t ???

≤++→+++22222224

0sin 1lim (3) 求曲线积分?

+-L y

x ydx xdy 229,其中L 为平面内任意一条不经过原点的正向光滑封闭简单曲线. 2.(15)设函数)(x f 在),0[+∞上具有连续的导函数,且)(lim x f x '∞

→存在有限,10<<α,是一个常数,证明:)(αx f 在),0[+∞上一致连续.

3.(15)设)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续且在),(b a 内可导,试证:在),(b a 内存在点ξ,使得

)()]()([)()]()([ξξf a g b g g a f b f '-='-.

4.(20)证明:函数项级数∑∞

=-=

1)(n nx ne x f 在),0(+∞上收敛,但不一致收敛,而和函数)(x f 在),0(+∞上可以任意次求导. 5.(20)证明:方程)sin(2xy y x =+在原点的某个邻域内可以唯一确定隐函数)(x f y =,并)0(y '计算的值.

6.(14)证明:若函数)(x f 在],[b a 上无界,则必存在],[b a 上的某点,使得)(x f 在该点的任何邻域内无界.

7.(12)设函数u 在),0[+∞上连续可微且+∞<'+?dx x u x u ))()((2

2,试证:(1)存在),0[+∞中的子列∞

=1}{n n x 使得当∞→n 时, +∞→n x 且0)(→n x u

(2)存在某常数0>C ,使得2

1022},0[)))()(((

)(sup dx x u x u C x u x ?∞++∞∈'+≤ 8.(18)设3R ?Ω为有界闭区域,且具有光滑边界+∞<<Ω?T 0,.(1)设v u ,是Ω上具有连续二阶偏导数的函

数,试证:dS n u v dxdydz v u dxdydz u v ????????Ω

?ΩΩ??+??-=?,其中222222z u y u x u u ??+??+??=?,u ?为u 的梯度, n u ??为u 沿区域的边界的外法向n 的方向导数;(2)设),,,(t z y x u 在),0[T ?Ω上具有连续一阶偏导数,试

证:),0[,),,,(),,,(T t dxdydz t z y x t u dxdydz t z y x u dt d ∈???=??????Ω

Ω;(3)设),,,(t z y x u 在),0[T ?Ω上具有连续二阶偏导数且满足3u u t

u +?=??若u 在 ),0[T ?Ω上恒为零记2222)()()(z u y u x u u ??+??+??=?,试证dxdydz u u t E ???Ω

-?=)4121()(42在),0[T 上是减函数.

2009年数学分析

1.(30)计算题: (1)1)1()]ln 1cos[sin()sin(lim 0

-++→βαx x x x (2) 计算二重积分dxdy y y D ??sin ,其中D 是由0,1,===x y x y 围成的区域.

(3) 求曲线积分?-+----C y x dx y dy x 2

2)2()1(4)2()1(其中C 为平面内任意一条不经过点)2,1(得正向光滑封闭简单曲线 2.(12)设函数)(x f 定义在开区间),(b a 内,若对任意的),(b a c ∈,都有)(lim x f c x →存在,且)(lim x f a x +→和)

(lim x f b x +→

也存在，则)(x f 在开区间),(b a 内有界.

3.(12)证明:含参量反常积分dy xe xy ?+∞

-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛. 4.(20)设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可微,且存在0>M ,使得M x x f x f x x 2)()(),1,0(<-'∈?,证明: (1) x

x f )(在]1,0[内一致连续. (2))(lim 0x f x +→存在. 5.(20)证明下面结论: (1)若)(x f 在]1,0[上连续,则?=∞→1

00)(lim dx x f x n x . (2)若)(x f 在]1,0[上连续可微,则

?=∞→1

0)1()(lim f dx x f x n n n . 6.(18)设??

???=+≠+++=0 , 00,sin ),(222222222y x y x y x y x y x y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性. 7.(20)设函数列)}({x f n 中的每一项函数)(x f n 都是],[b a 上的单调函数,试证明:(1)若∑∞=1)(n n a f 和∑∞

=1)(n n b f 都

绝对收敛,则∑∞

=1)(n n x f 在],[b a 上一致收敛.

(2)若每一项函数)(x f n 的单调性相同,且∑∞=1)(n n a f 和∑∞

=1)(n n b f 都收敛，则在上一致收敛.

8.(18)设f 连续,证明:(1)证明:????--=V dx x x f dxdydz z f 1

12)1)(()(π,其中1:222≤++z y x V .(2)记函数dxdydz cz by ax f c b a F V

???++=)(),,(,其中1:222≤++z y x V ,证明:

球面1222=++c b a 为函数),,(c b a F 的等值面,即),,(c b a F 在球面1222=++c b a 上恒为常数,并求出此常数. 2010年数学分析

1.(30)计算题: (1)设函数)(x f 定义在),(+∞-∞上,满足:1)0()(lim ,cos )()2(0

===→f x f x x f x f x ,求)(x f . (2) 设?=40tan πxdx a n n ,求)(121+∞

=+∑n n n a a n 的值. (3) 求曲线积分dz y x dy x z dx z y L

)()()(-+-+-?,其中L 为平面0=++z y x 与球面1222=++z y x 相交的交线,方向从z 轴正向看是逆时针的.

2.(12)设0,)(>=αα

x x f ,证明:当10≤<α时, )(x f 在),0(+∞上一致连续; 当1>α时, )(x f 在)

,0(+∞上不一致连续.

3.(12)证明:含参量x 反常积分dy xe xy ?+∞-0在),[+∞δ上一致收敛)0(>δ,但在),0(+∞内不一致收敛.

4.(20)函数)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内二阶可导,且过点))(,(a f a 和))(,(b f b 的直线与曲线)(x f y =相交于点

))(,(c f c (b c a <<),证明:存在),(b a ∈ξ,使得0)(=''x f .

5.(20)设可微函数列)}({x f n 在],[b a 上逐点收敛,且对任意],[b a x ∈存在x 的邻域)(x U ,使得)}({x f n '在

],[)(b a x U ?上一致有界,证明:

(1))}({x f n '在]1,0[上一致有界. (2))}({x f n 在]1,0[上一致收敛.

6.(20)设?????=+≠++=0

, 00 ),ln(),(222222y x y x y x xy y x f ,讨论),(y x f 在原点)0,0(处的连续性,偏导的存在性以及可微性. 7.(20)已知)(x f 是),0[+∞上的正值连续函数,且+∞

dx x f 0)

(1,证明: (1)存在数列),2,1)(,0[ =+∞∈n x n 满足:}{n x 严格单调递增,+∞=+∞=∞→∞→)(lim ,lim n n n n x f x . (2)

+∞=?+∞→dt t f x x

x 02)(1lim .

8.(16)已知),,(z y x f 和),,(z y x g 在1:222≤++z y x V 上具有二阶连续的偏导数,记

z y x z

y x ??+??+??=???+??+??=?,222222 (1)证明:??????????-??=???V

V S dxdydz f g dS n f g

dxdydz f g )()(,其中n 表示S 的外法线方向,S 为球面1222=++z y x .

(2)若222z y x f ++=?,试计算:dxdydz z f z y x z y f z y x y x f z y x x

I V )(

222222222??+++??+++??++=???.