人教版九年级下册数学
二次函数知识点总结教案
主讲人:李霜霜
一、教学目标:
(1)了解二次函数的意义,掌握二次函数的图象特征和性质,能确定函数解析式,并能解决简单的实际问题.
(2)通过练习及提问,复习二次函数的基础知识;通过对典型例题的分析,培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力;继续渗透数学思想.
二、教学重点、难点
教学重点:二次函数的图像,性质和应用
教学难点:运用二次函数知识解决较综合性的数学问题. 三、教学过程
复习巩固
(一)二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项.
(二)二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质:
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质:
(三)二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,
; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,
处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. (四)二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ??
?,其中2424b ac b h k a a -=-=
,. (五)二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.
当2b
x a
<-时,y 随x 的增大而减小; 当2b
x a
>-
时,y 随x 的增大而增大; 当2b
x a
=-时,y 有最小值244ac b a -.
2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a
a ??-- ???,.当2b
x a <-
时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a
=-时,y 有最大值
244ac b a -.
(六)二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);
2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
3. 两根式(交点式):12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,
只有抛物线与x 轴有交点,即2
40b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
(七)二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴.(同左异右 b 为0对称轴为y 轴) 3. 常数项c
⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.
(八)二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数:
① 当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,
,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根..
② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点;
③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;
例题讲解:
15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52
-). (1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?
17.如图,抛物线2
y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ,此抛物线与x 轴的另一个交点为C ,抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式;
(2)点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ?:ACD S ?=5 :4的点P 的坐标。
二次函数对应练习试题
一、选择题
第15题图
1. 二次函数2
47y x x =--的顶点坐标是( )
A.(2,-11)
B.(-2,7)
C.(2,11)
D. (2,-3) 2. 把抛物线2
2y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是( )
A. 2
2(1)y x =-+ B. 2
2(1)y x =-- C. 2
21y x =-+ D. 2
21y x =-- 3.函数2
y kx k =-和(0)k
y k x
=
≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )
4.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当
1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的
个数是( )
A.1个
B.2个
C. 3个
D. 4个
5.已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由
图象可知关于x 的一元二次方程2
0ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==
和( )
A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 7.方程2
2
2x x x
-=
的正根的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. 2
2y x x =-- B. 2
2y x x =-++
C. 2
2y x x =--或2
2y x x =-++ D. 2
2y x x =---或2
2y x x =++
二、填空题
9.二次函数2
3y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______。 10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y 随x 的增大而减
16.某种爆竹点燃后,其上升高度h (米)和时间t (秒)符合关系式2
012
h v t gt =-
(0 ,其中重力加速度g 以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升, (1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米? (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由. 二次函数专题复习 图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系 1、已知二次函数2y ax bx c =++,如图所示,若0a <,0c >,那么它的图象大致是 ( ) y y y y x x x x A B C D 2、已知二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3、已知二次函数 2y ax bx c =++的图象如下, y x 则下列结论正确的是 ( ) A 0ab < B 0bc < C 0a b c ++> D 0a b c -+< 4、二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论: ①a>0;②c>0;?③b 2-4ac>0,其中正确的个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1,则点M (b ,c a )在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 6、二次函数 2 y ax bx c =++的图象如图所示,则( ) A 、0a >,240b ac -< B 、0a >,2 40b ac -> C 、0a <,240b ac -< D 、0a <,2 40b ac -> 7、已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示,那么下列判断不正确的是( ) A 、ac <0 B 、a-b+c >0 C 、b=-4a D 、关于x 的方程ax 2 +bx+c=0的根是x 1=-1,x 2=5 8、已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图象如图所示,有下列结论: ①b 2 -4ac >0; ②abc >0; ③8a+c >0; ④9a+3b+c <0 其中,正确结论的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. 二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k 总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数应用题专题复习(含答案) 1、(2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为20元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系:当销售单价为22元时,销售量为36本;当销售单价为24元时,销售量为32本. (1)请直接写出y与x的函数关系式; (2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元 (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件. (1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元 ( 3.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式; (2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大最大利润是多少 (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量) ^ 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点 二次函数知识点总结及典型题目 一.定义: 一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点. 二.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0 二次函数压轴题 1. 如图①,抛物线y =ax 2+(a +2)x +2(a ≠0)与x 轴交于点A (4,0),与y 轴交于点B ,在x 轴上有一动点P (m ,0)(0 ∴OB =2, ∵OP =m , ∴AP =4-m , ∵PM ⊥x 轴, ∴△OAB ∽△P AN , ∴OB OA =PN P A ,即24=PN 4-m , ∴PN =1 2(4-m ), ∵M 在抛物线上, ∴PM =-12m 2+3 2m +2, ∵PN ∶MN =1∶3, ∴PN ∶PM =1∶4, ∴-12m 2+32m +2=4×1 2(4-m ), 解得m =3或m =4(舍去), 即m 的值为3; (3)如解图,在y 轴上取一点Q ,使OQ OP 2 =3 2, 第1题解图 由(2)可知P 1(3,0),且OB =2, ∴OP 2OB =3 2,且∠P 2OB =∠QOP 2, ∴△P 2OB ∽△QOP 2, ∴QP 2BP 2 =OP 2OB =32, ∴当Q (0,92)时,QP 2=3 2BP 2, ∴AP 2+3 2BP 2=AP 2+QP 2≥AQ , ∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时,AP 2+QP 2有最小值, 又∵A (4,0),Q (0,9 2), ∴AQ = 42 +(92)2=1452, 即AP 2+32BP 2的最小值为145 2. 2. 如图,已知二次函数y =ax 2+bx +4的图象与x 轴交于 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
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