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向量的加减法、实数与向量的乘积

高中学生学科素质训练

高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积

一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内）

1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于

（）

A ．BC AD +

B ．D

C AB + C ．DH AG +

D ．GH BG + 2．下列说法正确的是

（）

A ．方向相同或相反的向量是平行向量

B ．零向量的长度为0

C ．长度相等的向量叫相等向量

D ．共线向量是在同一条直线上的向量

3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于

（）

A ．O

B ．MD 4

C ．MF 4

D ．M

E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是

（） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+

C ．||||||b a b a -=+

D ．||||||b a b a +=+

5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（） A ．c b a =+ B ．d b a =-

C ．d a b =-

D ．b a c =-

6．下列各量中是向量的是

（）

A ．质量

B ．距离

C ．速度

D ．电流强度

7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （）

A ．

)35(2

121e e +

B ．

)35(2

121e e - C ．

)53(2

112e e -

D ．)35(2

112e e -

8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则

（）

A ．o b o a ==,

B ．o o a ==μ,

C ．o b o ==,λ

D ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(2

[31b a b a --+的结果是

（）

A ．b a -2

B ．a b -2

C ．a b -

D ．b a -

10．下列三种说法：

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底

②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。其中正确的是

（）

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于（）

A ．b a λ+

B ．b a +λ

C ．b a )1(λλ-+

D ．b a λ

+111

12．已知ABCD 为菱形，则下列各式中正确的个数为（）

①BC AB =

②||||BC AB =

③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+2

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）

13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .

16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .

三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）

17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.

18．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++

19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否

存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？

20．试证：以三角形三边上的中线为边可以作一个三角形.

21．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使 AC AB AP 21λλ+=.

22．一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行3000千米到达13地，然后向C 地飞行，设C 地恰在A 地的北偏东30°，并且A 、C 两地相距3000千米，求飞机从B 地向C 地飞行的方向和B 、C 两地的距离.

高一数学同步测试（9）参考答案

一、

1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C 二、13．1± 14．120° 15．菱形 16．6 三、17．k=－8

18．设P 、Q 、R 分别是BC 、CA 、AB 的中点，则

30,,0

3231,

3231000000重合与故可知则为重心设反之故O O OC OB OA OO C O B O A O O CB AC BA OC OB OA AC

BA OC CB AC OB BA CB OA =++==++=++=+++

19．μλμλμλμλμλ2.,,2933222-=∈-=?

?-=+-=+只要故存在解之R k k

即可. 20．如图，o c b a b CA a BC c AB =++===则,, λ0)()(2

1=+++++=

++c b a c b a CF BE AD 故证

21．如图，作PE ∥AB ，PD ∥AC ，则 21=

λλ

AP AE AD DP EP AC AB =+=+=+∴21λλ 22．（1）3000千米（2）正东方向

向量及其向量加减法

学习目的： 1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量； 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系； 4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力. 5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； 6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； 7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明； 9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．学习内容: 向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.

学习难点: 向量的加法运算一、向量的概念向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小. 注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关. 二、向量的加法 1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: . 2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量的和等于.

高中数学教案平面向量实数与向量的积

第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a ) =BC AB OA ++=a +a +a =3a PN =++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a 讨论：1?3a 与a 方向相同且|3a |=3|a | 2?-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a | 2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa 定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa 1?|λa |=|λ||a | 2?λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③ 结合律证明：如果λ=0，μ=0，a =至少有一个成立，则①式成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a | ∴|λ(μa )|=|(λμ)a | 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a 同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a 反向。从而λ(μa )=(λμ)a 第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ≠0，μ≠0，a ≠ 当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向， ∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a | |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a | ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a 同向即：|(λ+μ)a |=|λa +μa | 当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa 同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa 同向还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa | ∴②式成立第二分配律证明：如果a =0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a ≠，b ≠且λ≠0，λ≠1时 1?当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，作=a =b =1λa =11B A λb 则=a +b =1OB λa +λb 由作法知：∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 ||=λ|11B A | ==| || |111AB OA λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1 a a a a O A B C a - a -a -a -M P O A B B 1 A 1

平面向量及其加减运算课后训练

数学《平面向量》复习卷一、填空题 1、向量的两个要素是：和。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为。二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是（） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B

向量的加法与减法运算练习

练习一选择题： 1．如图，等腰梯形两腰上的向量、是( ) (A)相等的向量(B)模相等的向量(C)方向相反的向量(D)方向相同的向量2．如图，在菱形中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ). 第2题 (A)和(B)和(C)和(D)和 3．如图，，－＋等于( ). (A) (B) (C) (D) 4．如图，在中，－＋等于( ) (A) (B) (C) (D) 填空题： 5．如图，正六边形，为中心，图中所示向量中： (1)与相等的向量有__________； (2)与相等的向量有__________； 6．＝_________；

7．化简 (1)＋＋—_____________； (2)____________； (3)＋＋＝_____________； (4)－＋＝_____________；解答题： 8．已知向量、，求作＋，－. 9．河水自西向东流，流速为3 m/s，轮船垂直水流方向以18.7 km/h的速度向北航行，求轮船的实际航速. 答案、提示和解答： 1．B．2．B．3．C．4．B. 5．(1)，；(2). 6．0. 7．(1)0；(2)；(3)；(4)0.8．略. 9．设＝“向东方向，3 m/s”，＝“向东方向，18.7 km/h”≈“向北方向，5.19 m/s”，如图，适当选取比例尺，作

＝＝“向东3 m/s” ＝＝“向北，5.19 m/s”，＝＋＝＋. ｜｜＝与夹角的余弦值为，则与夹角为60°. 所以轮船的实际航速为东偏北60°，6 m/s. 练习二选择题： 1．如图，梯形，其中｜｜＝｜｜，相等的向量是( ). (A)与(B)与(C)与(D)与 2．已知如图，、分别是与的中点，、、、、、中,相等的向量共有( ). (A)1组(B)2组(C)3组(D)4组

向量加减法练习(供参考)

向量加减法练习一、选择题（5×12=60分） 1．下列说法中错误．．的是（） A ．零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0 C ．零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 2．设21,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（） A ．21e e = B ．21//e e C ．21e e -= D ．12e e = 3．下列判断正确的是 ( ) A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线； B.单位向量都相等； C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； D.模为0的向量的方向是不确定的。 4．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）． A ．EF OF OE =+ B ． EF OF OE =-- C ．EF OF OE =-+ D ．EF OF O E =- 5．已知向量→a 表示“向东航行1km ”，向量→b 表示“向南航行1km ”，则向量a b +表示（） A ．向东南航行2km B ．向东南航行2km C ．向东北航行2km D ．向东北航行2km 6．如图1，D ，E ，F 分别是?ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0A D C E C F +-= D ．0BD BE FC --= 7．化简下列各式结果是AB 的是( ) A. MB MN AM +- B. CF BF AC +- C. CB DC AB +- D. BC FC AB +- 8．设O 是正△ABC 的中心，则向量AO ，BO ，CO 是（）

向量的加减法实数与向量的乘积专题练习

高中学生学科素质训练高一数学同步测试（9）—向量的加减法、实数与向量的乘积一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则等于（） A ．+ B ．+ C ．DH + D ．GH + 2．下列说法正确的是（） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0 C ．长度相等的向量叫相等向量 D ．共线向量是在同一条直线上的向量 3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于（） A ． B ．4 C ．4 D ．4 4．已知向量与反向，下列等式中成立的是（） A ．||||||-=- B ．||||-=+ C ．||||||-=+ D ．||||||+=+ 5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（） A ．=+ B ．=- C ．d a b =- D ．b a c =-

6．下列各量中是向量的是（） A ．质量 B ．距离 C ．速度 D ．电流强度 7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （） A ． )35(2 1 21e e + B ． )35(2121e e - C ．)53(2 1 12e e - D ．)35(2 1 12e e - 8．若),,(,,,R ∈=+μλμλ不共线则（） A ．==, B ．o ==μ, C ．o ==,λ D ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(2 1 [31b a b a --+的结果是（） A ．-2 B ．-2 C ．- D ．- 10．下列三种说法： ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量。其中正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则等于（） A ．λ+ B ．+λ C ．)1(λλ-+ D ．λ λ λ+++111 12．已知ABCD 为菱形，则下列各式中正确的个数为（） ①= ②||||BC AB = ③||||+=- ④||4||||22=+2 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上） 13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e e e k +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 . 16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .

实数与向量的乘积

实数与向量的乘积 1.实数与向量的乘积：设λ为任意实数，a r 为任意的非零向量。λ与a r 的乘积是一个向量，记作______ 模：a λr 的模等于||a r 的_____倍，即||a λ=r _____ 方向：（1）当0λ>时，规定a λr 与a r 的方向______ （2）当0λ=时，规定a λ=r ______ （3）当0λ<时，规定a λr 与a r 的方向______ 由于规定了a λr 的模||a λr 与a λr 的方向，这样a λr 就能确定了。 4.根据实数与向量的乘积的定义，可知a λr 与a r 是____________的向量 5.两个非零向量a r 与b r 平行的充要条件是：存在非零实数λ，使b =r ______ 6. 实数与向量的乘积满足以下运算律：设,R λμ∈，则（1）()a a a λμλμ+=+r r r （2）()()a a λμλμ=r r （3）()a b a b λλλ+=+r r r r 7.已知非零向量a r 的单位向量0a =u u r ______，方向与向量a r ______ 例2下列结论中 ⑴,a b r r 是两向量，则a b r r 与的关系必为,,a b a b a b >=

向量的加减法

3、向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．法则：①三角形法则；②平行四边形法则．运算律：交换律＋＝＋，结合律(＋)＋＝＋(＋)． 4、向量的减法向量的加法和减法互为逆运算．已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法．差向量：向量加上的相反向量，叫做与的差（向量）求差向量的方法：向量减法的三角形法则，即减向量的终点指向被减向量的终点．二、重难点知识剖析 1、的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 2、已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即

3、向量减法的三角形法则：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点. 在平面内任取一点O，作，则向量． 4、多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量．只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手了，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：（1）化简－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝（2）化简＋＋＋=. 特殊情况：两向量平行

向量及向量加减法

1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量； 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系； 4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力. 5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； 6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； 7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明； 9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．学习内容: 向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.

向量的加法运算一、向量的概念向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小. 注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关. 二、向量的加法 1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: . 2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量的和等于.

向量的加法与减法(一)

课题：向量的加法与减法（一）教案目标： ⑴掌握向量加法的定义 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 ⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教案难点：向量的加法和减法的定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教案过程：一、复习引入： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作。的方向是任意的。 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. （1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 7.对向量概念的理解

的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。二、讲解新课： 1．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。如图，已知向量、。在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即特殊情况： (1) B B A 对于零向量与任一向量，有

向量的加减乘除运算

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. 向量的加法OB+OA=OC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 向量的减法 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向；向量的数乘当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos 〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方.

高一数学暑假练习实数与向量的积1

一、选择题 1．已知,u R λ∈，则在以下各命题中，正确的命题的个数是 ①0,0a λ<≠时，a λ与a 的方向一定相反； ②0,0a λ≠≠时，a λ与a 是共线向量； ③0,0u a λ>≠时，a λ与ua 的方向一定相同； ④若a 与b 是不共线的两个向量，则a λ与ua 也一定不共线。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．化简1[2(28)4(42)]12 a b a b +--的结果为 A ． 2a b - B ．2b a - C ．a b - D ．b a - 3．若AD 与BE 分别为ABC ?的边BC 、AC 上的中线，且,AD a BE b ==，则BC 为 A ．4233a b + B ．2433a b + C ．2233a b - D ．2233 a b -+ 4．已知命题:0p x =，命题:0q x a ?=，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题 5．若||3a =，b 与a 的方向相反，且||5b =，则a = b 。 6．若b c a +=，则3(2)2(3)2()a b c b a b +-+-+= 。 7．已知1e 、2e 是不共线向量，128a ke e =-，122b e ke =-，且a 、b 共线，则k = 。 8．若点C 在线段AB 上，且35AC AB = ，则AC = BC 。三、解答题 9．求证：起点相同的三个非零向量a 、b 、32a b -的终点在同一条直线上。 10．已知,,L M N 分别为ABC ?的边BC 、CA 、AB 上的点，,,BL CM AN l m n BC CA AB ===，若0AL BM CN ++=，求证：l m n ==。

实数与向量的积教案

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义德卧中学高中部数学组教学分析：向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算。教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系。实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，又有方向。特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理。共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错。尤其是定理的前提条件：向量a 是非零向量。共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系。教学目标： 1. 通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量积的运算律。 2. 理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。 3. 通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取的精神。通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。重点难点：教学重点：1.实数与向量积的意义。 2.实数与向量积的运算律。 3．两个向量共线的等价条件及其运用。教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用课时安排：1课时教学方法：启发式教学法授课类型：新授课教与学过程：一．引入 1．复习上节要点问题：已知非零向量a ,试作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a ) =++=a +a +a =3a =++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a 讨论：1?3a 与a 方向相同且|3a |=3|a | 2?-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a | 2．从而提出课题：实数与向量的积实数λ与向量a 的积，记作：λa 定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa a a a a O A B C a - a -a -a -N Q P

数学——向量的加法与减法(2)

课题：向量的加法与减法（2）教学目的： ⑴了解相反向量的概念； ⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图. 教学难点：对向量减法定义的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0的方向是任意的 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） 8．向量加法的交换律：a+b=b+a 9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 二、讲解新课：向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法： 1?“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量记作-a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量a + (-a) = 0

实数与向量的积 (1)

§5.4平面向量的坐标运算（一）班级学号姓名一、课堂目标：理解向量的坐标表示，掌握利用坐标进行加减运算，数乘运算，求模运算。二、要点回顾： 1.在平面直角坐标系内,取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量,,作基底,任作一向量,则有且只有一对实数y x ,,使 ,把()y x ,叫做向量的坐标,记作 , 与a 相等的向量的坐标为。 2.已知()()2211,,,y x y x ==则有=+ ,=- , =λ , ?= . 3.已知()()()2211,,0,0y x B y x A o 则=OA ,=OB ,=AB ； = ，= ，= 。三、目标训练 1．若向量()()1,0,2,3-==，则向量a b -2的坐标是…………………………………（） A.()4,3- B.()4,3- C. ()4,3- D ()4,3- 2．若向量()7,5=，()()y B x A ,2,1,3,1+-与相等，则…………………………（） A.8,3=-=y x B. 3,8-==y x C. 8,3-==y x D 8,3==y x 3．若向量()x ,1-=与()2,x -=共线且同向，则x 等于………………………………（） A.2± B. 2 C. 2- D.以上都不对 4．若向量()()()2,1,1,1,1,1-=-==c b a ，则等于…………………………………… （） A. 2321+- B. 2321- C. 2123- D. 2 123+- 5．若点()()(),3,1,2,1,0,0-B A O 且,3,211OB OA ==则点1A 的坐标为，

(完整版)平面向量加减法练习题

向量概念加减法·基础练习一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1 ，其中正确的有（） 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆 4．若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于（） A．B．C．D．不存在 5．向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化简后等于（） A． B． C． D．AM 6．、为非零向量，且｜+｜=｜｜+｜｜则（） A．∥且、方向相同B．=C．=-D．以上都不对 7．化简（-）+（-）的结果是（） A．CA B．0 C．AC D．AE 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形 9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（） A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为的是（） A．（+）+ B．（+）+（+CM） C．MB+AD-BM D．OC-OA+CD 11．设是的相反向量，则下列说法错误的是（）

a b A ．与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ．是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜-｜=｜｜-｜｜ D ．｜+｜=｜｜+｜｜二、判断题 1．向量与是两平行向量．（） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（）三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，=2 1,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为． 4．已知｜｜=4,｜｜=8,∠AOB=60°,则｜｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ．四、解答题 1.作图。已知求作（1）b a （利用向量加法的三角形法则和四边形法则）（2）b a

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版

《向量的加法运算及其几何意义》教案教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：=+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：=+ （4）船速为，水速为，则两速度和： AC =+ 二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C A B C A B C

向量的加减法、实数与向量的乘积

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