泛函分析第七章 习题解答
第七章 习题解答
1．设（X ，d ）为一度量空间，令
}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U
问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？
解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，
)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。
2. 设 ],[b a C ∞
是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞
按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则)
()(1)()(max
)
()
()()(t g t f
t g t f r r r r b
t a -+-≤≤=0，即f=g
（2）)()(1)()(max 21
),()()()()(0
t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑
=d （f ，g ）+d （g ，h ）
因此],[b a C ∞
按),(g f d 成度量空间。
3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞
=1。
证明 令n n n o n n
B x d Bo o .2,1},1
),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使
n x x d 1),(10<
。设,0),(1
10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1。若n n o x ∞=?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1
),(1<，因此
)(∞?→??→?n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞
=1。
4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)
,(1)
,(),(___
y x d y x d y x d +=
是X 上的距离。
证明 （1）若0),(___
=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y
（2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而
t
t
+1在),[∞o 上是单增函数，于是)
,(),(1)
,(),(),(),(1),(),(___
___
z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
=
)
,(),(1)
,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++
)
,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___
__z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈的充要条件为n f 的各阶导数在
[a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。
证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈，即
)()(1)
()(max 21
),()
()()()
(0
t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤
≤≤∞
=∑——>0 )(∞?→?n 因此对每个r ，)()(1)()(max 2
1
)()()()
(0t f t f t f t f r r n r r n b
t a r r -+-≤≤∞
=∑——>0 )(∞?→?n ，这样 b
t a ≤≤max )()()()
(t f t f r r n -——>0 )(∞?→?
n ，即)()
(t f r n 在 [a ，b] 上一致收敛于)()(t f r 。 反之，若的n f （t ）各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f （t ），则任意o >ε，存在0r ，使
2211ε<∑∞
+=o r r r
；存在r N ，使当r N n >时，max )()()
()(t f t f r r n - 00
,2,1,0,2r r r Λ=<ε，取N=max{ N N N K 1}，当n>N 时，)()(1)
()(max 21
),()
()()()
(0
t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤
≤≤∞
=∑ 即),(n f f d ——>0 )(∞?→?
n 。 6. 设],[b a B ?，证明度量空间],[b a C 中的集{f|当t ∈B 时f （t ）=0}为],[b a C 中的闭集，而集A={f|当t ∈B 时，|f （t ）|〈a }（a >0）为开集的充要条件是B 为闭集。
证明 记E={f|当t ∈B 时f （t ）=0}。设E f n ∈}{，}{n f 按],[b a C 中度量收敛于f ，即在[a ，b]上)
(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞
>-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集
充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使
)(max )(0t f t f B
t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则若
B t ∈，必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，
这样就证明了A 是开集
必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若
0t t n >-)(∞?→?n ，必有B t ∈0。
倘若B t ___
0∈，则定义||)(0t t a t f o --=。于是对任意B t ∈，a t t a t f o <--=||)(0因此A t f o ∈)(由于A 是开集，必有0>δ，当∈f C[a ，b]且δ<),(0f f d 时，A f ∈。定义，n=1，2。。。。。则)(0||),(00∞>->--=n t t f f d n n
因此当δ<-||0t t n 时，A f n ∈。但是a t t t t a t f n n n =-+--=||||)(00，此与A f n ∈的必要条件：对 任意B t ∈，有a t f n <)(矛盾 因此必有B t ∈0。
7. 设E 及F 是度量空间中的两个集，如果o F E d >),(，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。
证明 设o F E d >=δ),(。令 }2
),(|{},2),(|{δ
δ
===
=F x d x G E x d x o
则,,G F O E ??且Φ≠?G O ，事实上，若Φ≠?G O ，则有
Φ
≠?∈G O z ，所以存在E 中
的点x 使2
),(δ
〈z
x d ，F 中点y 使2
),(δ
〈z
y d ，于是δ〈),(),(),(z
y d z x d y x d +≤，此与≥),(y x d ），（F E d δ=矛盾。
8. 设 B[a ，b]表示[a ，b]上实有界函数全体，对B[a ，b]中任意两元素f ，g ∈ B[a ，b]，规定距离为|)()(|sup ),(t g t f g f d b
t a -=≤≤。证明B[a ，b]不是可分空间。
证明 对任意∈0t [a ，b]，定义{
)},[,2),[,1)(00b t t t a t t f o t ∈∈= 则)(0t f t ∈B[a ，b]，且若21t t ≠，1),(21=t t f f d 。 倘若B[a ，b]是不可分的，则有可数稠密子集
{}
n g n ∞
=1
，对任意∈0t [a ，b]，)2
1
,(0
t f U 必有某
n g ，即2
1
),(0<
t n f g
d 。由于[a ，b]上的点的全体是不可数集。这样必有某n g ，21,t t ，使n g ∈)21,(1t f U ，n g ∈)2
1
,(2t f U ，于是
12
1
21),(),(),(2121=+<
+≤t n n t t t f g d g f d f f d 此与1),(21=t t f f d 矛盾，因此B[a ，b]不是可分空间。
9. 设X 是可分距离空间，?为X 的一个开覆盖，即?是一族开集，使得对每个X x ∈，有?中的开集O ，使得O x ∈，证明必可从?中选出可数个集组成X 的一个开覆盖。
证明 若X x ∈，必有?∈x O ，使x O x ∈，因x O 是开集，必有某自然数n ，使x O n
x U ?)1,(。
设
{}
n x n ∞
=1是X 的可数稠密子集，于是在)21,
(n x U 中必有某)21,(n x U k ，且x k O n
x U ?)21,(。。事实上，若)21,(n x U y k ∈，则n
n n x x d x y d x y d k k 1
2121),(),(),(=+<+≤所以
)21
,(n
x U y k ∈x O ?。
这样我们就证明了对任意X x ∈，存在k ，n 使)21,(n x U x k ∈且存在O n
x U k ?)21
,( 任取覆
盖)21
,(n
x U k 的O ，记为n k O ,是X 的可数覆盖。 10. X 为距离空间，A 为X 中子集，令,.),,(inf )(X x y x d x f A
y ∈=∈证明)(x f 是X 上连续函数。
证明 若,.0X x ∈对任意0>ε，存在A y ∈0，使200)(2
),(inf ),(εε
+=+
<∈x f y x d y x d A
y o 。取
02>=εδ。
则当δ<),(0x x d 时，ε+<+≤≤=)(),(),(),(),(inf )(0000x f y x d x x d y x d y x d x f o 因此ε<-)()(0x f x f 。由于x 与0x 对称性，还可得ε<-)()(0x f x f 。于是ε<-|)()(|0x f x f 。这就证明了)(x f 是X 上连续函数。
11. 设 X 为距离空间，21,F F 是X 中不相交的闭集，证明存在开集21,G G 使得
221121,,F G F G G G ??Θ=?。
证明 若1F x ∈，则由于2F x ?，2F 为闭集，必有0>x ε，使Θ=?2),(F x U x ε，令
)2
,
(1
1x
F x x U
G ε∈=Y ，类似)2
,
(2
2y
F x y U
G ε∈=Y ，其中Θ=?1),(F y U y ε，显然21,G G 是开集，且
2211,F G F G ??。 倘若,21Θ≠?G G ，则必有,1F x ∈2F y ∈，使Θ≠)2,
()2
,
(x
y
x U y U εεI 。
设)2
,
()2
,
(x
y
x U y U z εεI ∈。不妨设y x εε≥，则x
y
x
y x y z d z x d x y d εεεεε≤+
<
+≤≥2
2
),(),(),(因此),(x x U y ε∈，此与Θ=2),(F x U x I ε矛盾。这就证明 了Θ=?21G G 。
12 . 设 X ，Y ，Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z 中的连续映射，证明复合映射))((())(.(x f g x f g =是X 到Z 中的连续映射。
证明 设 G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 中的连续映射，所以)(1
G g -是Y 中开集。又f 是X 到Y 中的连续映射，故))((11
G g f
--是X 中 的开集。这样))(()().(1
11G g f G f g ---=是X 中 的开集，
这就证明了g 。f 是X 到Z 的连续映射。
13. X 是度量空间，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合})(,|{c x F X x x ≤∈和集合})(,|{c x F X x x ≥∈都是闭集。
证明 设 f 是X 上连续的实函数，又对每一实数c ，G=（c ，∞）是开集，于是
})(,|{)(1
c x F X x x G f
>∈=- 是开集。这样})(,|{c x f X x x ≤∈= })(,|{c x f X x x C >∈是
闭集。同理})(,|{c x f X x x ≥∈是闭集。 反之，若对每个实数c ，})(,|{c x f X x x ≥∈和
})(,|{c x f X x x ≤∈都是闭集，则})(,|{c x f X x x <∈和})(,|{c x f X x x >∈都是开集。设G
是直线上的开集，则Y ∞==
1),(i i
i
b a G 或Y n
i i
i
b a G 1
),(==，其中),(i
i
b a 是G 的构成区间。不妨设
Y ∞
==1
),(i i i b a G 于是
}))(,|({}))(,|({})(,|{)(1
1
1
i i i i i i b x f X x x a x f X x x b x f a X x x G f <∈>∈=<<∈=∞
=∞=-I Y Y 是开
集。因此f 是连续的实函数。
14. 证明柯西点列是有界点列。
证明 设{ n x }是X 中的柯西点列。对1>0，存在N ，使当n ，m N ≥时，.1),( .1}),({max 1+<=≤≤N i N i x x d M 则对任意n x 有M x x d N n ≤),(。因此{ n x }是有界点列。 15. 证明第一节中空间S ，B （A ），以及离散的度量空间都是完备的度量空间。 证明 （1）S 是完备的度量空间 设{ n x }是S 中的柯西点列，),,(.)() (2 ) (1K Λn i n n n x ξξξ=对每一个固定的i ，由于 )0(0212>->--t t t i i ，因此对任意,0>ε存在0>δ，当δ≤≤t 0时ε<-t t i i 212，对此0>δ，存 在n ，m N ≥时，δξξξξ<-+-=∑∞ =1)()()()(||1||21),(i m i n i m i n i i m n x x d ，因此δξξξξ<-+-∑∞ =1) ()()()(||1| |21i m i n i m i n i i ，从而 ||)()(m i n i ξξ-〈εδ δ <-i i 212。这样对固定的i ，∞=1)(}{n n i ξ是柯西点列。设)()(∞>->-n i n i ξξ。令),,(21K Λi x ξξξ=，故有S x ∈，且对任意给定o >ε，存在0i ，使 ∑∞ +=<1022 1i i i ε 。存在),1(,0i i N i ≤≤使i N n >时，0 )(2||i i n i ε ξξ< -。于是当},max {01i N N N n Λ=>时， ∑∞=-+-<1)() (||1||2 1 i n i i n i i i ξξξξ≤ ∑=-+-0 1)()()(||1||21i i m i n i m i i i ξξξξ+∑∞ +=10 21 i i i 〈 εεε=+2.200i i 所以{n x }按S 的距离收敛于x （2）B （A ）是完备的度量空间 设∞ =1}{n n x 是B （A ）中的柯西点列，任意0>ε，存在N ，使当n ，m N ≥时ε<),(m n x x d 。这样对任意A t ∈，ε<-≤-∈|)()(|sup |)()(|t x t x t x t x m n A t m n 。因此对固定的t ，{ )(t x n }是柯西点列。 设))(()(∞>->-n t x t x n ，由于n ，m N ≥时ε<-|)()(|t x t x m n ，令∞>-m ，得ε≤-|)()(|t x t x n ，这样ε+≤|)(||)(|t x t x n ，于是+∞<+≤ε|)(|sup |)(|sup t x t x n 故x ∈（A ）， 且n 〉N 时，ε≤-∈|)()(|sup t x t x m n A t 。这就证明了按B （A ）中距离收敛于x 。 （3）离散的度量空间（X ，d ）是完备的度量空间 设∞ =1}{n n x 是X 中柯西点列，则对 21>0,存在N ，当n ，m N ≥是2 1 ),( 1 ),(< N n x x d ,于是n>N 是N n x x =。因此)(∞>->-n x x N n ，即（X ，d ）是完备的度量空间。 16. 证明 ∞l 与C （0，1]的一个子空间等距同构。 证明 若 ),,(21K Λi x ξξξ=∞∈l ，定义]1,0(],1,0(),(∈∈t C t x T ， 若),,(21K Λ i x ξξξ=∞∈l ，),,(21K Λi y ηηη=∞∈l ，则 ),(|),(),(|sup ||sup ),(] 1,0(Ty Tx d t y T t x T y x d t i i =-=-=∈ηξ因此T 到∞l 到（0，1]的子空间的一个同 构映射，即∞ l 到（0，1]的一个子空间等距同构。 17. 设F 是n 维欧几里得空间n R 的有界闭集，A 是F 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何F y x ∈,)(y x ≠，有),(),(y x d Ay Ax d <。 证明映射A 在F 中存在唯一的不动点。 证明 定义F 上的函数f （x ）=d （Ax ，x ）。由于 ),(2),(),(|),(),(||)()(|y x d y x d Ay Ax d y Ay d x Ax d y f x f <+≤-=-因此f 是F 上的连续映射， 因F 是有界闭集，必有F x ∈0，使)(min )(00x f x Ff x F x ∈=∈。 我们先证明0)(0=x f ，若0)(0≠x f ，则00x Ax ≠。记01Ax x =，则02 1x A Ax =，于是 )(),(),(),()(000002111x f x Ax d Ax x A d x Ax d x f =<== 此与)(0x f 是f 的最小值矛盾。故0),(00=x Ax d 即0Ax =0x 若1x 是A 的另一个不动点，则),(),(),(101010x x d Ax Ax d x x d <=，矛盾。 18. 设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中的映射，记),() ,(sup 11x x d x A x A d a n n z x n ≠= 若 ∞<∑ ∞ =n n a 1 ，则映射A 有唯一不动点。 证明 因 ∞<∑ ∞ =n n a 1 ，则必有N ，使1 这样由压缩映射原理N A 有不动点* x ，即* x =N A * x 。由于N A * x =A N A * x =A * x , A * x 也是N A 的不动点。N A 的不动点是唯一的，因此*x = A *x ，即* x 是A 的不动点。 若x ’是A 的任意一个不动点，即A x ’= x ’。于是N A x ’=1 -n A x ’=…= A x’= x’。这样x’也是N A 的不 动点，由于N A 的不动点是唯一的，因此*x = x’。即A 的不动点也是唯一的。 19. 设A 为从完备度量空间X 到X 中映射，若在开球),(0r x U )0(>r 内适合 又A 在闭球}),(|{),(00r x x d x r x S ≤=上连续，并且.)1(),(00r Ax x d θθ-≤ 证明：A 在),(0r x S 中有不动点。 证明 设n x =n A 0x ，2,1=n …。则 r x Ax d x A x A d x A x A d x x d n n n n n n n n )1(),(),(),(),(00102010101θθθθ-≤<<=----- 任给ε>0，存在N ，使N θr ε < ，这样若,n m >且N m n >,，有.)1()1()1(),(),(),(),(1211211εθθθθθθθθ<<<-++-+-≤+++≤+++-+++r r r r r x x d x x d x x d x x d N n m n n m m n n n n m n ΛΛ 因此 } {1 n x n ∞=是柯西列。设n x →* x )(∞→n ，因 r r r r r x x d x x d x x d x x d n i i n n n n n n n <-=-++-+-≤+++<∑=----)1()1()1()1(),(),(),(),(1 1012110θθθθθθθθΛΛ 因此),(),(00r x S r x U x n ?∈。这样),(lim 0* r x S x x n ∈=∞ >-。因为A 在),(0r x S 上连续。 *1*lim lim x x Ax Ax n n n n ===+∞ >-∞ >-，即*x 是A 在),(0r x S 中的不动点。 A 的不动点不一定是唯一的。例如X 是离散的度量空间。A 是X 中的恒等映射。在开球)1,(0x U 内只有0x 一点，自然满足条件.10),',()',(<<≤θθx x d Ax Ax d 。而0),(00=Ax x d ，也满足 .)1(),(00r Ax x d θθ-≤。但X 中每一点皆为A 的不动点。 20. 设 n k j a jk ,2,1,,Λ=为一组实数，适合条件1)(2 1 ,<-∑=n j i ij ij a δ，其中jk δ当j=k 时为1 ， 否则为0。证明：代数方程组 对任意一组固定的1b ，,2b ，n b Λ，必有唯一的解1x ，2x ，n x Λ。 证明 记定义n R 到n R 内的映射T ：TX= --AX+X+b 。设X ∈' X n R 则 由于 2 1 1 ,2))(∑=-n j i ij ij a δ<1,于是T 有唯一不动点*X ， 即****X b X AX TX =++-=，因此b AX =* 有唯一解* X 。 21. 设],[b a V 表示[b a ,]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算。在 ],[b a V 中定义范数x =)()(x V a x b a +,证明],[b a V 是Banach 空间。 证明 ],[b a V 显然是线性空间。下证],[b a V 是赋范线性空间。 1． 若∈x ],[b a V ，显然x ≥0。 若x =0，则)()(x V a x b a +=0，即)(a x =0，且)(x V b a =0。由)(x V b a =0可知x 在],[b a 上为常值函数， 于是0)()(=≡a x t x 2． 若∈x ],[b a V ，),,(+∞-∞∈λ 3． 若],[,b a V y x ∈， 其中)(y x V b a +)()(y V x V b a b a +≤的理由如下：对任意分划,:10b t t t a T n =<<<=Λ ,)()()()())(())((1 11 11 1 ∑∑∑=-=-=--+-≤+-+n i i i n i i i n i i i t y t y t x t x t y x t y x 因此 )()(})()({sup })()({sup }))(())(({sup )(1 11 11 1y V x V t y t y t x t x t y x t y x y x V b a b a n i i i T n i i i T n i i i T b a +=-+-≤+-+=+∑∑∑=-=-=-再证 ],[b a V 是完备的。 设}{n x 为],[b a V 中柯西列，对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时， ε<-+-=-)()()(m n b a m n m n x x V b x a x x x 。于是，ε<-)()(b x a x m n 。而对任意],(b a t ∈， ε<-≤---)())()(())()((m n b a m n m n x x V a x a x t x t x 从而εε2)()()()((<+-≤-a x a x t x t x m n m n 这就证明了{)(t x n }是],[b a 上一致收敛的函数列。设}{n x 一致收敛于x 。 由于n x 是],[b a 上右连续的函数，于是对任意),[0b a t ∈，.2,1),()(lim 00 Λ==→n t x t x n n t x 因为}{n x 在 ],[b a 上一致收敛于x 。因此)()(lim )(lim lim )(lim lim )(lim 000 00 t x t x t x t x t x n n n t t n n n t x t x ====∞ →→∞→∞ →→→+ ++即x 亦在],[b a 上右连续。 对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时，m n x x -=ε<-+-)()()(m n b a m n x x V a x a x 对],[b a 上的任一分划b t t t a T l =<<<=Λ10:，有 ε<-=-≤---∑=--)()()())()(())()((1 11m n b a m n l i i m i n i m i n x x V a x a x t x t x t x t x 令 ∞→m ， ε≤---∑=--l i i i n i i n t x t x t x t x 1 11 ))()(())()(( （*） 因此，从而].,[)(b a V x x x x n n ∈--=由（*）式及分点的任意性知，.)(ε≤-x x V n b a 从而 .2)()()(ε≤-+-=-x x V a x a x x x n b a n n 即}{n x 按],[b a V 中范数收敛于x 。这样我们就证明了],[b a V 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间。 22．设Λ,,21X X 是一列Banach 空间，},,{21ΛΛn x x x x = 是一列元素，其中n n X x ∈，,,2,1Λ=n 并且 ,1 ∞<∑∞ =p n n x 这种元素列的全体记成X ，类似通常 数列的加法和数乘，在X 中引入线性运算。若令,)( 11 p p n n x x ∑∞ == 证明： 当1≥p 时，X 是Banach 空间。 证明 X 显然是线性空间。 先证X 是赋范线性空间。 1． 若,),,(21X x x x ∈=Λ显然0≥x 。 若0=x ，则,0)( 11 =∑∞ =p p n n x 即对任意n ，0=n x 。于是0=n x ，从而0=x 。 2． 若X x x x ∈=),,(21Λ，),,(+∞-∞∈λ x x x x p p p n n p n n λλλλ===∑∑∞ =∞ =11)()(1 1 3． 若,),,(21X x x x ∈=ΛX y y y ∈=),,(21Λ，则 n n p n n p n n p n n n p n n n y x y x y x y x y x p p p p +=+≤+≤+=+∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =1 111))(())(())(()(1 1 1 1 再证X 是完备的。设}{~ i x 是X 中柯西列，其中 .,2,1),,,() (2)(1~ ΛΛ==i x x x i i i 对任意,0>ε存在0i ，使当0i j >时，,~ ~ ε<-j i x x 即ε<-∑∞ =p p n j n i n x x 1 ))(( 1 )() ( 于是对每一个固定的}{,)(i n x n 是n X 中的柯西列。设.) ()(∞→→i n i n x x 令),,(21Λx x x =，由于ε<-∑∞ =p p n j n i n x x 1))(( 1 )()(，因此对任意K ，ε<-∑=p p K n j n i n x x 1))((1 )()(，令 ∞→j 得 .1,1 ) ()(≥≤-∑=p x x p p K n j n i n ε 再令∞→K 得 .1,1 )(≥∞<≤-∑∞ =p x x p p n n i n ε 因此,~ X x x i ∈-从而X x x x x i i ∈--=)(~ ~ ，且由ε≤-∑ ∞ =p p n n i n x x 1 )( 1 )( 知~ i x 按X 的范数收敛于x 。由以上证明可知X 是Banach 空间。证毕。 23．设X 是赋范线性空间，X*X 为两个X 的笛卡儿乘积空间，对每个,*),(X X y x ∈定义 ,),(2 2y x y x += 则X*X 成为赋范线性空间。证明X*X 到X 的映射y x y x +→),(是连续映射。 证明 设),)(,(),(00∞→→n y x y x n n 则 ),(02 2 ∞→→-+-n y y x x n n 于是).(0,000∞→→-→-n y y x x n n 所以， .0)()(0000→-+-≤--+y y x x y x y x n n n n 这就证明了y x y x +→),(是连续映射。 24． 设A 是实（复）数域，X 为赋范线性空间，对每个X X x *),(∈α， 定义,,2 2x x += αα 证明：x x αα→),(为X X *到X 中的连续映射。 证明 设),,(),(00x x n n αα→同第23题一样可证 ),(,00∞→→→n x x n n αα 由于}{n α收敛，必有0>M ，使.M n ≤α则 ).(0000000000∞→→-+-≤-+-≤-n x x x M x x x x x x n n n n n n n n αααααααα因此映射 x x αα→),(是连续的。 25. C 为一切收敛数列所成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。在C 中令 ,}{,sup C x x x x n i i ∈==证明：C 是可分的Banach 空间。 证明 由第七章§4例1知是Banach 空间。由定义易知C 是∞ l 中的线性子空间，且范数定义是一致的。因此要证C 是Banach 空间，由§4定理1，只要证C 是∞ l 中的闭子空间即可。设 ,}{C x n ?).(0);,,(,);,,(21)(2)(1∞→→-=∈=∞n x x x l x x n n n n ΛΛξξξξ 对于任意,0>ε存在,N 使N n ≥时，有3 ε < -x x n 。特别地,3 ε < -x x N 即,3sup ) (ε ξξ< -i N i i 由于,C x N ∈因此存在,K 对任意,,K j i >.3 )()(ε ξξ<-N j N i 于是.3 3 3 )()()()(εε ε ε ξξξξξξξξ=+ + < -+-+-≤-j N j N j N i N i i j i 于是}{i ξ是柯西列，即.),,(21C x ∈=Λξξ 下面证明C 是可分的。 设.,2,1},,),,,,,,(|{1ΛΛΛ=∈∈==n Q r Q r r r r r x x A i n n 则, C A n ∈C A n n ?∞ =Y 1 且Y ∞ =1 n n A 是可 数的。若对任意,),,,(1C x x x n ∈=ΛΛ设.lim a x n n =∞ →对于任给的,0>ε存在,N 使当N n >时，必 有2 ε < -a x n 。取有理数,r 使.2 ε < -r a 取有理数,,,,21N r r r Λ使.,,2,1,N i r x i i Λ=<-ε 令 ),,,,,,(1ΛΛr r r r y N =则,1 Y ∞ =∈n n A y 且 .},,,,,sup{12211ε<----=-+ΛΛr x r x r x r x y x N N N 故Y ∞ =1 n n A 是C 的可数稠 密子集。这就证明了C 是可分的Banach 空间。证毕。 第三章赋范空间 3.1. 范数的概念 “线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。 为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？ 3.1.1. 向量的长度 为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。 图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向 矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,, ,)n x x x x =的如下三种长度（称为“范数”）： ● 2-范数（也称为欧氏范数） ：2x = ● 1-范数：11 n k k x x ==∑； ● ∞-范数：1max k k n x x ∞ ≤≤=。 图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式 下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。 我们注意到：通常将 2 或 3 中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的 长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此， 博士生入学考试《泛函分析》考试大纲 第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用（最佳逼近问题） 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理 4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用（Runge） 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理 第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子 参考文献 1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。 2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。 [Word格式]《成本会计》习题及答案（自学推荐，23页） [Word格式]《成本会计》配套习题集参考答案 [Word格式]《实用成本会计》习题答案 [Word格式]《会计电算化》教材习题答案（09年） [JPG格式]会计从业《基础会计》课后答案 [Word格式]《现代西方经济学（微观经济学）》笔记与课后习题详解（第3版，宋承先）[Word格式]《宏观经济学》习题答案（第七版，多恩布什） [Word格式]《国际贸易》课后习题答案（海闻 P.林德特王新奎） [PDF格式]《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印 [Word格式]《金融工程》课后题答案（郑振龙版） [Word格式]《宏观经济学》课后答案（布兰查德版） [JPG格式]《投资学》课后习题答案（英文版，牛逼版） [PDF格式]《投资学》课后习题答案（博迪，第四版） [Word格式]《微观经济学》课后答案（高鸿业版） [Word格式]《公司理财》课后答案（英文版，第六版） [Word格式]《国际经济学》教师手册及课后习题答案（克鲁格曼，第六版） 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3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 2002年北京国际数学家大会 （ICM 2002 北京） 一 ICM2002 我国做45分钟报告的数学家 第24 届国际数学家大会于2002 年8 月20 日至28 日在北京举行，有101 个国家和地区的4270 余名数学家参加了会议，其中1%来自澳洲，3%来自非洲，56%来自亚洲，16%来自美洲，24%来自欧洲。 ICM2002大会其间，马宁（）领导的程序委员会以及19个国际专家组选出20个大会报告和174个特邀报告，代表了近期数学科学领域中的前沿成果与重大发展。菲尔兹奖和奈瓦林纳奖获得者的报告无疑将是大会学术活动中最精彩的部分。作1小时大会报告的20 名国际知名数学家来自美国、法国、英国、日本、意大利、丹麦、俄罗斯等国，他们的报告代表了当今国际数学发展的最高水平。ICM2002大会45分钟分组报告共有逻辑、代数、拓扑、数论等19 个学科组，学术交流内容涵盖十分广泛，有174名学者在各学科组作了邀请报告。 此外，为了充分利用这个4年一次的难得的大聚会，大会提供一切可能的学术交流条件。凡已注册登记者均可报名作15分钟的专题报告，大会予以安排。1114人作了15 分钟的小组分组报告，张贴了93 篇墙报，报告（含张贴墙报者）总人数超过1400 人。 在往届国际数学家大会上，我国大陆被邀请作45分钟报告的数学家有华罗庚、吴文俊、陈景润、冯康、张恭庆、马志明等。陈省身、丘成桐等华人数学家曾被邀请作1小时大会报告。 ICM2002大会有3名华裔数学家作1 小时大会报告，他们分别是：美国麻省理工学院教授、北京大学“长江学者”田刚，华人数学家美国哈佛大学教授肖荫堂和普林斯顿大学教授张圣容，有12位我国大陆数学家作45分钟邀请报告，他们分别是：丁伟岳、王诗宬、龙以明、曲安京、严加安、张伟平、陈木法、周向宇、洪家兴、郭雷、萧树铁和葛力明，ICM2002会议是历史上华人数学家作大会报告和邀请报告人数最多的一次大会。 二 ICM2002 卫星会议、公众报告情况 ICM2002举行了46 个卫星会议，为大会增添了风光。这些卫星会议分布在中国的26个城市以及日本、俄罗斯、新加坡、韩国和越南的6个城市。几乎每一个卫星会议都是国际合作的成果，一些菲尔兹奖、沃尔夫奖（Wolf Prize）和诺贝尔奖获得者的参与使得这些卫星会议更加引人注目。尽管举办卫星会议一直是国际数学家大会的惯例，但2002年国际数学家大会扩大了卫星会议的规模，并使之对国际数学家大会的圆满成功更有意义。 《泛函分析》教学大纲 Functional Analysis 课程编号： 适用专业：数学与应用数学 总学时数：学分： 一、本课程简介 《泛函分析》是现代数学中的的主要数学分支之一,它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法,来研究数学中的许多问题,它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题,形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法.通过这一课程,能使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用,掌握泛函分析中主要的基本概念和重要的基本理论,学会用代数、分析和拓扑综合处理问题的新方法,弄清有限维空间与无穷维空间的差别,学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法,该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础. 二、本课程与其他课程的关系 《泛函分析》、《抽象代数》、《拓扑学》是现代数学的重要课程,它综合了分析、代数和拓扑的研究方法,因此学生最好有数学分析、线性代数、空间解析几何及点集拓扑学的基础. 三、教学内容、学时安排和基本要求 本课程主要是线性泛函分析的基本理论,重点介绍距离空间和赋范空间的基础,Banach空间最重要的定理,如Hahn-Banach保范延拓定理、逆算子定理、一致有界原理和Riesz表示定理等. 本课程学时为54学时. (一)度量空间(12学时) 1、具体内容 度量空间的基本概念,度量空间中开集、闭集、完备性与可分性、连续映照的概念、距离空间中列紧集、紧集上连续映照的性质、不动点定理. 2、基本要求 (1)正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念. (2)理解并掌握度量空间中的内点,极限点,开集闭集,闭包等. (3)理解并掌握列紧集及紧集的概念,紧集、列紧集上的连续映射的性质. (5)熟练掌握压缩映照原理及其应用. 3、重点、难点 重点：度量空间的紧性、不动点定理. 难点：具体度量空间上紧性的判别、压缩映射的构造及不动点定理的具体应用. (二)赋范线性空间(10学时) 1、具体内容 赋范空间的定义,范数的等价性,有限维赋范空间, Schauder基等. 2、基本要求 (1)理解线性空间和范数的概念以及相关的例子. (2)掌握范数的等价性及判别方法. (3)掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质. (4)线性连续泛函与Hahn-Banach保范延扩定理. 3、重点、难点 重点：有限维赋范空间的性质和Hahn-Banach保范延扩定理. 难点：Hahn-Banach保范延扩定理及其推论的应用. (三) 有界线性算子(10学时) 1、具体内容 第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空 间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1 | a i 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i B , n 为自然数}．首 先容易看出A 为包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有 A F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m 0，m 1． 若∑=m n n n t c 0 = 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2 中对任意的x = (x 1, x 2) 2，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2，|| x || = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的 线性子空间． [证明] x , y cl(L )，a ，存在L 中的序列{ x n }, { y n } 使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0 M ．证 女士们先生们，我是Strongart。记得在我24岁生日那天，曾经写过一段自学数学的小故事。现在又是一年多过去了，就再介绍一点回到家之后的情况吧，顺便把以前的故事精简一下。 其实我从小启蒙教育就比较好，倒不是有什么专门的培训，只是上小学之前都在家里，有意无意地从爷爷那里学了很多东西。到上小学的时候，我就已经能熟练掌握四则运算，可惜后来进了学校就停滞了，对数字的感觉明明已经非常敏锐了，还得跟他们一起背什么乘法口诀表！直到四年级的时候为准备竞赛，数学老师给我们几个数学好的学生开小灶。在不到一个学期的时间里学完了五六年级的数学，一点都不觉得有什么困难。 此后又是一段长期的停滞，直到一天我偶然发现一本书，是讲如何教育孩子成材的，其中有许多天才成长的故事深深打动了我。记得里面有一句大意是这样的：在孩子成熟之前，只要有一个小小的起点，让他体会到自己独特的价值并为之努力，那么他成年后将远远超过其他一般的人。那时我不知是初一还是初二，只是对这样的语句有一种模糊的体验。 后来，在放假前无意间有个顽皮的同学送了我一本高中的《立体几何》，促使我真正走上了自学数学的道路，再结合家里一些已经发黄了的中等数学教辅，到中考前已经完成相当于高中的数学课程。幸好当时能在大学附近的一个临时的小书店里买到了两本《数学分析》，然后就开始为按定义证明极限苦恼，能问老师吗？我不敢，因为直觉告诉我这是犯规的，可能这就是“潜规则”的压力了。 刚开始看《数学分析》真的很困难，手头只有一本教科书，习题只能做开头的几道。特别是极限初论讲完之后直接进入极限绪论，像有限覆盖定理之类的东西直到后来看到拓扑才真正明白。直到后来看到微分学，又在一堆中高考的辅导书里挖掘到一本微积分词典，才算是稍微送了口气。记得当时“违规”用导数做出道难题，反倒没办法讲给别人听，只轻轻说了“导数”两个字（据说现在高中数学讲导数了，很人性啊！那时的标准答案是用了一个BT的不等式的技巧），惹得他们看外星人一样的看我！ 回顾高中以前的经历，运气要占了很大的因素，可后来就没那么巧了。第一年没考上大学，又买不到合适的数学书，就这样看了大半年像什么概率统计、数学物理 数学教材推荐 2008-12-4 19:58:43 | 转载| 固定链接| 评论(4) | 浏览(948) 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经 验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且 是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是 对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大 四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单 的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。 3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 Hahn - Banach延拓定理及其应用 [论文摘要]本文首先概述Hahn - Banach延拓定理发展的历史、其对泛函分析及微分方程乃至物理学的重要意思，然后介绍了Hahn - Banach延拓定理包括它的推论和推广，最后以例题的形式给出了Hahn - Banach延拓定理的一些应用。 [关键字]Hahn - Banach定理Zorn引理延拓 [Abstract]In this passage,we introduce the history of Hahn-Banach theorem.Then we introduce the Hahn-Banach theorem and the deduction.At the end,we introduce some application of the Hahn-Banach theorem. [Key Word]Hahn-Banach theorem Zorn lemma application 目录 摘要 1目录 2 1 引言 3 1.1 选题背景 3 1.2 本文的主要内容 3 2 Hahn—Banach定理 5 2.1 Hahn—Banach定理的定义 5 2.2 Hahn—Banach定理的推论 6 3 Hahn—Banach定理的推广 13 4 Hahn—Banach定理的应用 43参考文献45 1引言 1.1 选题背景 Banach空间理论是由波兰数学家S.Banach在192O年创立的，数学分析及泛函分析中许多常用的空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。以Banach空间为基础的Hahn - Banach定理跟共鸣定理及闭图象定理是 泛函分析的三大基本定理。其应用十分广泛, 而且越来越深入地渗透于现代数学的各个领域乃至物理等其它学科。其中Hahn - Banach延拓定理，在泛函分析中扮演着重要的角色。该定理保证了赋范线性空间上具有“足够多”的连续线性泛函，并且还刻划了连续线性泛函的值可以事先被指定的程度，这就使得建立共轭空间具有实质性的意义。而这些理论也是赋范空间一般理论的根本部分。从这个意义上来说，Hahn－Banach定理是关于有界线性算子最重要的定理之一。 Hahn - Banach定理是1923年S.Banach在研究不变测度时，首先提出来的。在1929年S.Banach又得出了定理的一般形式。而Hahn在1927年及Ascoli在1932年也相互独立的得出了一般定理。随后H．F．Bahnenblust与Sobczyk(1938)将其推广到复向量空间上。从几何上看该定理表现成凸集的分离性质，而这个分离性质是研究与凸集有关的Banach空间几何学的基本出发点。由Hahn—Banach定理可以导出一些很有用的结果，如短量定理、最佳逼近的对偶关系和凸集分离定理等等，这些结果在泛函分析理论、远近论、控制论和数学规划中均有重要作用。而且Hahn - Banach延拓定理在偏微分方程及概率论等方面有着广泛的应用，而在确信一般的局部凸线性拓扑空间中非平凡连续线性泛函的存在时也要用到它。 1.2 本文的主要内容 本文拟对Hahn - Banach定理进行一点探讨, 分为三大部分。第一部分首先给出Hahn - Banach延拓定理，然后以推论的形式给出本定理的若干特殊形式。第二部分给出本定理的推广。第三部分则以例题的形式给出Hahn - Banach定理的一些应用。值得注意的是, Hahn-Banach 定理的推广实际上也是Hahn - Banach定理的重要应用。 南京师范大学实变函数与泛函分析考研复习讲义 专业课复习资料（最新版）封面 节第一节集合的概念节第二节集合的运算第一章集合 1. 集合的基本概念及运算} : { \ B x A x x B A B A 但或差：Pr.( ) ? A B B A ABcB A B A 注：A S A C s 余：（其中S为全集）,简记为A c交和、并、交（ Vehn 图） 2. 集簇的交和并} : { B x A x x B A 或} , : { A x x A 为指标集， } { } | { A A 或集簇：} {nA 特别当时，称集簇为集列，记为N } : { B x A x x B A 且} , : { A x x A 簇的交 例例注：在本书中我们未把0包含在N内, }, 1 1 : {1 1N n x x An n n 设] 0 , 1 [1nnA) 1 , 2 (1 nnA( ( ] ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 例( ( 用互相包含说明 ) ] [1] [1na fna fE E记设 }, ) ( : { , :] [a x f E x E R E fa f ( [a-1/n a) , ( ) , [11 nna a) (] [11na fnE)) , [ (11nna ( [ ( [ [a-1/ n-1 a-1/n a-1/ n+1 a 例例则记设 }, ) ( : { , :] [a x f E x E R E fa f] [1] [1na fna fE E( [a a+1/n) ) , ( (11nna) (] [11na fnE) , [ ) , (11nna a } , : ) , {( B b A a b a B A } , , , 2 , 1 , : ) , , , , {(2 11 n i A x x x x Ai i nii} , , 2 , 1 , : ) , , , {(2 11n i A x x x x Ai i nnii 3. c cA A ) (De Morgan公式注：通过取余集，使 A与A c c cA A ) ( } , , : {nA x N n N x 使是一个集合序列设 , , , ,2 1 nA A A4. 上、 下极限集( ){ : }{ : }limsuplimn nnnnn nA Ax x Ax A x A 在无限多个 1 N N nnA例：设A 2n =[0,1]A 2n+1 =[1,2];则上极 限集为[0,2］ 下极限集( ){ : }{ : }lim liminfn nnnnnA Ax x Ax n x A “泛函分析”课程教学大纲 （本教学大纲按适用专业分（A）、（B）两类） “泛函分析”课程教学大纲（A） 课程编号00834250 课程名称泛函分析 英文名称Functional Analysis 课程学分 4 课程学时数64 开课学期春季 适用专业数理学基地班, 数学与应用数学 先修课程数学分析，高等代数，实变函数 一、基本教学目的和任务 泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的数学分支学科，它综合函数论、几何和代数的观点与方法研究解决数学中提出的重要问题。泛函分析是大学数学系的一门重要的专业主干基础课。 本课程主要讲述线性泛函分析。使学生了解和掌握空间、线性算子以及线性算子空间、线性算子谱理论的基本概念和基本理论。本课程的基本目的是使学生把具体的分析、代数、几何中的问题抽象到一种更加纯粹的形式中加以研究，使学会综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法。本课程在数学系的课程体系中具有承上启下的作用，可以使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题，为学生进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。 二、课程内容与建议学时 本课程的内容包括以下几个部分: 绪论、距离空间、赋范空间、内积空间与Hilbert空间、有界线性算子、共轭空间和共轭算子以及线性算子的谱理论。 绪论从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发，采用类比、归纳等方法引入无穷维空间、线性算子、谱理论这样一些抽象概念；通过数学分析、线性代数、微分方程中一些熟悉的例子，研究和探讨如何类比地建立起无穷维空间框架，把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。 第三章赋范空间 . 范数的概念 “线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。 为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢 向量的长度 为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。 图 三维欧氏空间中向量的大小和方向 矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,,)n x x x x =L 的如下三种长度（称为“范数”）： ● 2-范数（也称为欧氏范数）：2 21 n k k x x == ∑； ● 1- 范数：11 n k k x x ==∑； ● ∞-范数：1max k k n x x ∞ ≤≤=。 图 三种向量范数对应的“单位圆” 图 “单位圆”集合的艺术形式 下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。 我们注意到：通常将2?或3?中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此， 我对分析的认识 从大一到大三，我们依次学习了数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析。感觉这几门课层层深入，学到最后发现好多还是离不开数学分析。通过大二大三的学习，我发现实变函数和复变函数都是研究函数的数学性质的，虽然只是定义域不同，但两门课的内容大相径庭，实变函数可以看做是数学分析的后继课程，主要是分析（勒贝格积分理论）的内容，而复变函数的研究手段和课程内容对数学三大分支：分析（柯西积分理论），几何（黎曼面理论），代数（魏尔斯特拉斯级数理论）都有涉及，且都占有很重要的位置。 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它的基础是点集论。所谓点集论,就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。泛函就是定义域是一个函数集,而值域是实数集或者实数集的一个子集。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 通过学习知道了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不是黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数，连续函数必定可积。勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数。逼近理论,如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。实变函数是对于测度来讲，可测函数及其积分，学习重点是Lebesgue 测度展开的一些讨论，泛函分析呢是对于函数空间来讲，主要就是一系列空间 精 品 资 料 第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ? N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ? N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为 包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ? F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2 中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2 ，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2， || x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是2中的范数，并画出各自单位球的 图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ?x , y ∈cl(L )，?a ∈，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0? M ．证明： L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈}也是X 的闭线性子空间． [证明] 若a , b ∈，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ， [资源]【转帖】数学专业参考书整理推荐 ★★★★★ wuguocheng(金币+5,VIP+0): 很全10-11 09:28 cqsmath:标题高亮2010-11-11 23:24 lovibond:标题高亮2012-01-09 09:46 有增删 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链泛函分析讲义
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