第33届全国中学生物理竞赛决赛试卷

第33届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题

可能用到的物理常量和公式：

真空中的光速82.99810/c m s =?； 地球表面重力加速度大小为g ； 普朗克常量为h ，2h π

=； 2111ln ,1121x dx C x x x

+=+<--?。 1、（15分）山西大同某煤矿相对于秦皇岛的高度为c h 。质量为t m 的火车载有质量为c m 的煤，从大同沿大秦铁路行驶路程l 后到达秦皇岛，卸载后空车返回。从大同到秦皇岛的过程中，火车和煤总势能的一部分克服铁轨和空气做功，其余部分由发电机转换成电能，平均转换效率为1η，电能被全部存储于蓄电池中以用于返程。空车在返程中由储存的电能驱动电动机克服重力和阻力做功，储存的电能转化为对外做功的平均转换效率为2η。假设大秦线轨道上火车平均每运行单位距离克服阻力需要做的功与运行时（火车或火车和煤）总重量成正比，比例系数为常数μ，火车由大同出发时携带的电能为零。

（1）若空车返回大同时还有剩余的电能，求该电能E 。

（2）问火车至少装载质量为多少的煤，才能在不另外提供能量的条件下刚好返回大同？

（3）已知火车在从大同到达秦皇岛的铁轨上运行的平均速率为v ，请给出发电机的平均输出功率P 与题给的其它物理量的关系。

2、（15分）如图a ，AB 为一根均质细杆，质量为m ，长度为2l ；杆上端B 通过一不可伸长的软轻绳悬挂到固定点O ，绳长为1l 。开始时绳和杆均静止下垂，此后所有运动均在同一竖直面内。

（1）现对杆上的D 点沿水平方向施加一瞬时冲量I ，

若在施加冲量后的瞬间，B 点绕悬点O 转动的角速度

和杆绕其质心转动的角速度相同，求D 点到B 点的距离和B 点绕悬点O 转动的初始角速度0ω。

（2）设在某时候，绳和杆与竖直方向的夹角分别为1θ和2θ（如图b 所示），绳绕固定点

O 和杆绕其质心转动的角速度分别为1ω和2ω，

求绳绕固定点O 和杆绕其质心转动的角加速度1α和2α

3、（15分）火星大气可视为仅由很稀薄的2CO 组成，此大气的摩尔质量记为μ，且同一高度的大气可视为处于平衡态的理想气体。火星质量为m M （远大于火星大气总质量），半径为m R 。假设火星大气的质量密度与距离火星表面的高度h 的关系为

10()(1)n m

h h R ρρ-=+

其中0ρ为常量，(4)n n >为常数。 （1）求火星大气温度()T h 随高度h 变化的表达式。

（2）为了对火星表面进行探测，需将一质量为t m 、质量密度较大的着陆器释放到火星表面。在某一远小于m R 的高度处将该着陆器由静止开始释放，经过时间l t ，着陆器落到火星表面。在着陆器下降过程中，着陆器没有转动，火星的重力加速度和大气密度均可视为与它们在火星表面的值相等。当着陆器下降速度大小为v 时，它受到的大气阻力正比于大气密度和2

v 的乘积，比例系数为常量k 。求着陆器在着陆前瞬间速度的大小。 4、（15分）具有一定能量、动量的光子还具有角动量。圆偏振光的光子的角动量大小为。光子被物体吸收后，光子的能量、动量和角动量就全部传给物体。物体吸收光子获得的角动量可以使物体转动。科学家利用这一原理，在连续

的圆偏振激光照射下，实现了纳米颗粒的高速转动，获得

了迄今为止液体环境中转速最高的微尺度转子。

如图，一金纳米球颗粒放置在两片水平光滑玻璃平

板之间，并整体（包括玻璃平板）浸在水中。一束圆偏振激光从上往下照射到金纳米颗粒上。已知该束入射激光在真空中的波长830nm λ=，经显微镜聚焦后（仍假设为平面波，每个光子具有沿传播方向的角动量）光斑直径61.2010d m -=?，功率20.0P mW =。金纳米球颗粒的半径100R nm =，金的密度33

19.3210/kg m ρ=?。忽略光在介质界面上的反射以及玻璃、水对光的吸收等损失，仅从金纳米颗粒吸收光子获得角动量驱动其转动的角度分析下列问题（计算结果取3位有效数字）；

（1）求该束激光的频率υ和光强I （在传播方向上单位横截面积所传输的功率）。

（2）给出金纳米球颗粒的质量m 和它绕其对称轴的转动惯量J 的值。

（3）假设颗粒对光的吸收截面（颗粒吸收的光功率与入射光强之比）为20.123abs R σπ=，求该束激光作用在颗粒上沿旋转对称轴的力矩的大小M 。

（4）已知一个以角速度ω旋转的球形颗粒（半径为r ）在粘滞系数为η的液体中收到的

粘滞摩擦力矩大小为38f M r πηω=。已知水的粘滞系数48.0010a P s η-=??，求金纳米球

颗粒在此光束照射下达到稳定旋转时的转速（转数/秒）f

（5）取光开始照到处于静止状态的金纳米颗粒的瞬间为计时零点00t =，求在任意时刻t (0)t >该颗粒转速的表达式()f t 。

（6）若把入射激光束换成方波脉冲激光束，脉冲宽度为1T （此期间内光强仍为I ），脉冲之间的间歇时间为2T 。取第一个脉冲的光开始照到颗粒的时刻为计时零点00t =，求第n 个完整脉冲周期12()T T +后的瞬间颗粒的转速n f 的表达式，并给出转速极限n f →∞的表达式。

5、（20分）许多赛车上都装有可调节的导流翼

片，可以为水平道路上的赛车提供竖直向上或向下的

附加压力。如果赛车速度的大小为v ，则上述压力的

大小为2B B f c v =，B c 为一常量。当导流翼片的前方

上翘时，压力方向向上；当导流翼片的后方上翘时，压力方向向下。赛车在运动过程中受到

迎面空气的阻力，阻力大小为2A A f c v =，A c 为一常量。已知赛车质量为m ，轮胎与路面

之间的静摩擦系数为s μ(1)s μ<。

（1）赛车在水平直道上匀速行驶时，考虑到在运动过程中轮胎的形变，路面会对赛车形成阻力，阻力大小与车对路面的正压力大小成正比，比例系数为R μ()R s μμ<。若导流翼片被调至前方上翘，当赛车速度大小为多大时，赛车发动机输出功率最大？最大输出功率为多少？

（2）不考虑赛车在运动过程中轮胎的形变所引起的地面阻力，求当赛车在水平地面内沿半径为r 的圆形道路上匀速行驶、且不驶离路面发生滑动或者飞离地面时所允许的速率最大值max v 。在此情况下，导流翼片应被调至前方上翘还是后方上翘，max v 可以更大？假设赛车发动机的输出功率可以足够大。

6、（20分）Hyperloop 是一款利用胶囊状的运输车

在水平管道中的快速运动来实现超高速运输的系统（见图a ）。它

采用了“气垫”技术和“直线电动机”原理。

“气垫”技术是将内部高压气体从水平放置的运输车下半部的细孔快速喷出（见图b ），以至于整个运输车被托离管壁非常小的距

离，从而可忽略摩擦。运输车横截面是半径

为R 的圆，运输车下半部壁上均匀分布有沿

径向的大量细孔，单位面积内细孔个数为

(1)n n ，单个细孔面积为s 。运输车长

度为l ，质量为M 。气体的流动可认为遵从伯努利方程，且温度不变，细孔出口处气体的压强为较低的环境压强low P 。

如图c ，在水平管道中固定有两条平行的水平光滑供电导轨（粗实线），运输车上固定有与导轨垂直的两根导线（细实线）；导轨横截面为圆形，半径为d r ，电阻率为d ρ，两导轨轴线间距为2()d D r +；两根导线的粗细可忽略，间距为D ；每根导线电阻是长度为D 的

导轨电阻的2倍。两导线和导轨轴线均处于同一水平面内。导轨、导线电接触良好，且所有接触电阻均可忽略。

（1）求内部高压气体压强P 为多大时运输车才刚好能被托起？

（2）如图d 所示，当运输车进站时，运输车以速度0v 沿水平光滑导轨进匀强磁场区域，磁场边界与导线平行，磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨-导线平面向下。当两根导线全都进入磁场后，求运输车滑动速度的大小。

（3）当运输车静止在水平光滑导轨上准备离站时，在导线2后间距为D 处接通固定在导轨上电动势为ε的恒压直流电源（见图e ）。设电源体积及其所连导线的电阻可以忽略，求刚接通电源时运输车的加速度的大小。

已知某恒流闭合回路中的一圆柱型直导线段，电流沿横截面均匀分布，如图f 所示，其在空间中距导线轴线距离为0r 的某点产生的磁感应强度方向垂直于此点和导线轴线构成的平面，大小可用下式近似计算

0120

(cos cos )4I B r μθθπ=+ 其中I 为电流，12θθ、是此点与导线轴线两端连线与导线轴线的夹角。

可能用到的积分公式

b a =，其中a b

c 、、均为正数 7、（20分）爱因斯坦引力理论预言物质分布的变化会导致时空几何机构的波动——引力波。为简明起见，考虑沿z 轴传播的平面引力波。对于任意给定的z ，在x y -二维空间中两个无限近邻点(,)x y 和(,)x dx y dy ++之间的距离dr 的表达式为

dr =引力波体现为1f 和2f 的变化(波动)。

(1)假设一列平面引力波传来时，1f 和2f 可表示为

12sin[()],0;01z f A t f A c

ω=-=<

式中，A 和ω分别是波的振幅和频率，c 是引力波的传播速度(其值等于光速)。

(i) 无引力波穿过时，在x y -平面上，在原点O 处和与O 点距离为R 、与x 轴夹角为θ

处各放置一个微探测器。求当所考虑的引力波穿过时，两个探测器之间的距离相对

于R 的偏离的近似表达式。

(ii) 设无引力波穿过时，在x y -平面上，在以R 为半径、原点O 为圆心的圆周上放置

了一个微探测器阵列。当前述引力波存在时，可将空间坐标重新定义为(,)X Y ，使

得X Y -二维空间中近邻两点(,)X Y 和(,)X dX Y dY ++距离为

。求对于给定的时刻t ，微探测器阵列在新定义的坐标系中的分布

形状。

(iii) 若一列平面引力波

12sin[()],0z f A t f c

ω=-= 和另一列平面引力波

12sin[()],0,(02)z f A t f c

ωφφφπ=-+=≤< 同时沿z 轴正向传播，问φ、θ满足什么条件，可使引力波对原点O 处和x y -二维空间中坐标为(cos ,sin )R R θθ的点处的两个微探测器之间的距离的扰动的振幅达到最大或者最小？

(2)假定引力波的波源为双星系统。设双星系统两星体质量均为M 。取双星系统的质心为坐标原点O '，双星系统在x y ''-二维空间中旋转。已知在特定条件下，1f 和2f 可近似表示为

22112242428282[()],[()]G d l G d l f I t f I t c l dt c c l dt c

ππ=-=- 式中G 为引力常量，l 为在z '轴上引力波探测点到O '点的距离（远大于双星系统中两星体之间的距离），而

2211

2212()[()()],()()()I t x t x t M I t x t y t M ''''=+=

112

2((),())((),())x t y t x t y t ''、为两星体在其质心系中的坐标。已知该引力波的频率为ω，假设引力波辐射对双星系统轨道运动的影响可忽略，求1f 和2f 在探测点处的振幅。（双星运动轨道计算可应用牛顿力学）

8、（20分）电子偶素原子()Ps 是由电子e -

与正电子e +（电子的反粒子，其质量与电子相同，电荷与电子大小

相等、符号相反）组成的量子束缚体系，其能级可类比氢

原子能级得出。根据波尔氢原子理论，电子绕质子的圆周

运动轨道角动量的取值是量子化的，即为的整数倍。考

虑到质子的质量是有限的，氢原子量子化条件应修正为：电子与质子质心系中相对其质心的总轨道角动量取值为的整数倍。这一量子化条件可直接推广到其它两体束缚体系，如电子偶素等。以下计算结果均保留四位有效数字。

（1）写出电子偶素基态能量。

（2）电子偶素基态原子不稳定，可很快发生湮灭而生成两个光子：12Ps γγ→+

当基态电子偶素原子相对于实验室参照系以远小于光速的某速度运动时发生湮灭，在相对于该速度方向的偏角为1θ的方向上观测到生成的一个光子1γ，同时在相对于光子1γ速度反方向的偏角为(1)θθ??的方向上观测到另一个光子2γ，如图所示。

（i ）求基态电子偶素原子速度0v 的大小、两个光子1γ和2γ的能量1E 和2E 的表达式；并给出当13π

θ=、3

3.46410θ-?=?时0v 、1E 和2E 的值。 （ii ）求基态电子偶素原子静止时，求两个光子1γ、2γ各自的能量1E 、2E 与单个自由电子静能之差。

（3）当基态电子偶素原子相对于实验室参照系以与光速可比拟的速度0v 运动时湮灭生成两个光子，求生成的两个光子1γ和2γ的能量1E 和2E 、以及光子2γ的运动方向相对于0v 的方向的偏角2θ（如图所示）与1θ之间的关系式；并给出当02c v =

、13πθ=时1E 、2E 和2θ

的值。

已知：氢原子基态能量113.6H n E eV ==-，电子质量20.5110/e m MeV c =，质子与电子质

量之比为1836.